2020-2021学年江苏省徐州市九年级上学期数学12月月考试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省徐州市九年级上学期数学12月月考试题及答案，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在一幅比例尺为1:500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地实际距离为（ ）
A. 125kmB. 12.5kmC. 1.25kmD. 1250km
【答案】A
【解析】
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离,列比例式即可求解.
【详解】设实际距离是xcm,则,
1:500000=25：x,
解得：x=12500000.
12500000cm=125km,
故选A
【点睛】本题考查了比例尺的定义,属于简单题,单位换算是解题关键.
2. 若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（ ）
A. 30°B. 50°C. 40°D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B=40°，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵∠A=30°，∠C=110°，
∴∠B=40°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B=40°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
3. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A. 1cm，2cm，3cm，4cmB. 1cm，2cm，2cm，4cm
C. 2cm，4cm，6cm，8cmD. 3cm，6cm，9cm，12cm
【答案】B
【解析】
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【详解】解：A、由于2×3≠4×1，所以不成比例，不符合题意；
B、由于2×2=1×4，所以成比例，符合题意；
C、由于2×8≠4×6，所以不成比例，不符合题意；
D、由于3×12≠6×9，所以不成比例，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
4. 如果抛物线 的开口向上，那么m的取值范围是 （ ）
A B. m≥1C. m＜1D. m≤1
【答案】A
【解析】
【详解】因为抛物线y=(m−1)x²的开口向上，
所以m−1>0，即m>1，故m取值范围是m>1，
故选A．
5. 下列命题正确的是( )
A. 所有等腰三角形都相似B. 所有的矩形都相似
C. 所有的菱形一定相似D. 有一对锐角相等的直角三角形一定相似
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似形的定义对应角相等，对应边成比例，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A. 所有的等腰三角形两边对应成比例，但这两边的夹角不一定相等，故本选项错误；
B. 所有的矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例，故本选项错误；
C. 所有的菱形对应边成比例，但对应角不一定对应相等，故本选项错误；
D. 有一对锐角相等的两个直角三角形相似，故此选项正确．
故选D
【点睛】此题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的形状必须完全相同进而判断是解题关键．
6. 在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（ ）
A. 不变B. 扩大5倍C. 缩小5倍D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，
故选：A．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的大小只与角的大小是解题的关键．
7. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A. 1．24米B. 1．38米C. 1．42米D. 1．62米
【答案】A
【解析】
【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
8. 如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC=，BC=2，则⊙O的半径为（ ）
A. 3B. 6C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】连接OC并延长交圆与,连接,可得∠A=∠,由sin∠BAC=，BC=2，可得⊙ O的半径.
【详解】解：如图：
连接OC并延长交圆与,连接,可得∠A=∠,
可得sin∠===,可得=,
即圆的直径为，圆的半径为，
故选A.
【点睛】本题主要考查圆周角定理与三角函数的综合，灵活构造辅助线是解题的关键.
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．请将正确答案填在答题纸上相应位置）
9. 方程的根是______．
【答案】，
【解析】
【分析】先利用解一元二次方程的方法求解即可得出答案．
【详解】解：．
移项，得．
两边同时开方，得．
则，．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键．
10. 若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】设=k, 可得x=2k,y=3k,z=4k,代入计算即可.
【详解】解：设=k,
∴x=2k,y=3k,z=4k,
∴= = ，
故答案为.
【点睛】本题考查了比例式的应用，关键是用k表示出x， y， z的值．
11. 在某一时刻，测得一根长为1.5m的标杆的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为16m，那么这根旗杆的高度为_______m．
【答案】8
【解析】
【分析】根据同时同地物高与影长成比相等，列式计算即可得解．
【详解】设旗杆高度为米，
由题意得：
解得.
故答案为8．
【点睛】本题考查投影，解题的关键是应用相似三角形．
12. 如图，在中，，，，则BC的值是________．
【答案】12
【解析】
【分析】由csB＝得BC＝ABcsB，据此可得．
【详解】在Rt△ABC中，∵csB＝，
∴BC＝ABcsB＝15×＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键．
13. 若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的_______倍．
【答案】16
【解析】
【分析】根据正方形的面积公式：和积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，由此解答．
【详解】解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4=16倍．
故答案为：16．
【点睛】此题考查相似图形问题，解答此题主要根据正方形的面积的计算方法和积的变化规律解决问题．
14. 二次函数的图像与x轴有________个交点．
【答案】2
【解析】
【分析】根据判别式进行判断即可.
【详解】a=-1，b=4，c=1，
，
故抛物线与x轴有两个交点.
故答案为：2
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点坐标问题，掌握判别式的取值与抛物线与x轴的交点的个数是解答此题的关键.
15. 如图，四边形ABCD为的内接四边形，已知，则的度数为_______°．
【答案】140
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°-∠BCD=70°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=140°，
故答案为：140．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式：即可求出结论．
【详解】解：由题意可得：弧长=
故答案为：．
【点睛】此题考查的是求弧长，掌握弧长公式是解决此题的关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O成位似关系，且相似比k＝．若B（2，1），则点E的坐标是_____．
【答案】（6，3）
【解析】
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：△ABC与△DEF关于原点O成位似关系，相似比k＝，
∵点E是点B的对应点，点B的坐标为（2，1），
∴点E的坐标为（2×3，1×3），即（6，3），
故答案为：（6，3）．
【点睛】本题考查位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
18. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且csα＝，则线段CE的最大值为_____．
【答案】6.4
【解析】
【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义计算出BG＝8，则BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣x2+x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值.
【详解】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG，
∵∠ADE＝∠B＝α，
∴csB＝csα＝＝，
∴BG＝×10＝8，
∴BC＝2BG＝16，
设BD＝x，则CD＝16﹣x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴，即，
∴CE＝﹣x2+x
＝﹣（x﹣8）2+6.4，
当x＝8时，CE最大，最大值为6.4.
故答案为：6.4.
【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，利用二次函数的性质求最值问题，正确掌握各知识并综合运用解题是关键.
三、解答题（本大题共8小题，共76分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），；（2），．
【解析】
【分析】（1）运用直接开平方法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）
∴或；
解得：，；
（2）
；
解得：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20. 求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）5；（2）1．
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值代入计算即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
21. 图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以格点为顶点，画出△ADC，使△ADC与△ABC全等，且点D与点B不重合．
（2）在图②中，以格点为顶点，画出△AFC，使△AFC与△ABC相似，且相似比不是1．（画出一个即可）
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】(1)根据条件画出图形即可.
(2)根据条件画出图形即可.
【详解】解：（1）如图①△ACD即为所求；
（2）如图所示，△ACF即为所求．
【点睛】本题考查相似作图能力,关键在于能读懂题意.
22. 如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD＝20m，CE＝40m，AD=100m，BE=20m，DE=45m，求A、B两地间的距离．
【答案】135m
【解析】
【分析】根据线段之间的比，求得三角形的相似，根据相似三角形的性质即可求解
【详解】解：∵CD=20m，CE=40m，AD=100m，BE=20m，
∴AC=CD+AD=120m，BC=CE+BE=60m．
∴CE：AC=40：120=1：3，CD：BC=20：60=1：3．
∴CE：AC=CD：BC．
∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CAB．
∴DE：AB=CD：BC=1：3．
∴AB=3DE=135m．
∴A、B两地间的距离为135m．
23. 二次函数的图像与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点．且点A的坐标为，，，求这个二次函数的解析式．
【答案】所求二次函数的解析式为．
【解析】
【分析】要求函数的解析式，需要求出B、C的坐标，根据点A的坐标及∠ABC、∠ACO的度数可以求出OB、OC的长度从而确定B、C的坐标，根据坐标利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
【详解】解：∵A（0，-3），
∴OA=3．
∵∠ABC=45°，∠ACB=60°，
∴∠ABO=45°，∠OAC=30°，
∴AO=BO，AC=2OC，
∴BO=3．
由勾股定理得：OC=，
∴B（-3，0），C（，0）
将A、B、C代入得，，得到；
所求二次函数的解析式为．
【点睛】本题是一道二次函数试题，考查了直角三角形、等腰三角形的性质的运用，待定系数法求函数的解析式以及在直角三角形中特殊角的运用．
24. 如图，AF是的高，点D、E分别在AB、AC上，且，DE交AF于点G．设，，．求点A到DE、BC的距离．
【答案】点A到DE、BC的距离分别为7.5、12.5．
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到得到AF⊥DE，根据DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，即
∴AG、AF的长分别为点A到DE、BC的距离
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴；
解得，，
∴
故点A到DE、BC距离分别为7.5、12.5．
【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25. 如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，且，，
（1）与相似吗？为什么？
（2）设的边BE上的高为，的边CD上的高为，的面积为3，的面积为1，求的值以及的面积．
【答案】（1），理由见解析；（2）＝，．
【解析】
【分析】（1）利用平行可得到∠A＝∠CED，∠BEA＝∠D，可证明△ABE∽△ECD；
（2）利用面积可求得相似比，再利用相似三角形对应边上的比等于相似比可求得，再根据△ABE和△BEC同底，可知其面积比等于，可求得△BCE的面积．
【详解】解：（1），理由如下：
，
，
，
，，
，，
；
（2），
∴＝＝＝，
∵S△ABE＝BE•h1，S△BCE＝BE•h2，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△BCE＝．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
26. 已知是边长为4的等边三角形，点D是线段BC上的动点（不与点B、C重合），将AD绕点A逆时针方向旋转得到AE，连接DE，CE．
（1）求证：
（2）当点D运动到什么位置时的面积最大？请求出这个最大值．
【答案】（1）见详解；（2）当时，即点D为BC中点时，的面积最大为．
【解析】
【分析】（1）根据题目条件可得，，；由此可证明；
（2）作的延长线于点H，设，由可分别表示出CD、CE的长，解可得EH的长，根据三角形的面积公式将面积用含的代数式表示出来并配方即可求解．
【详解】证明：由题意可得：
∵是边长为4的等边三角形
∴，，
∵将AD绕点A逆时针方向旋转得到AE
∴，
∴
；
（2）解： 作的延长线于点H，设，
∵是边长为4的等边三角形
∴
∵
∴
在中，
当时，即点D为BC中点时，的面积最大为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，配方法等知识点；理解题目条件，合理做出辅助线是解题的关键．