2020-2021学年江苏省扬州市江都区九年级上学期数学12月月考试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市江都区九年级上学期数学12月月考试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 所有的等腰三角形都相似
B. 所有的菱形都相似
C. 所有的矩形都相似
D. 所有的等腰直角三角形都相似
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】A、所有的等腰三角形，边的比不一定相等，对应角不一定对应相等，故错误，不符合题意；
B、所有的菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，故错误，不符合题意；
C、所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故错误，不符合题意；
D、所有的等腰直角三角形，边的比一定相等，而对应角也对应相等，故正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】考查相似多边形的判定，掌握相似多边形的判定定理是解题的关键.
2. 已知，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
3. 期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”．上面两位同学的话能反映出的统计量分别是( )
A. 众数和平均数B. 平均数和中位数
C. 众数和方差D. 众数和中位数
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念可得出结论.
【详解】一组数据中出现次数最多的数值是众数；将数据从小到大排列，当项数为奇数时中间的数为中位数，当项数为偶数时中间两个数的平均数为中位数；由题可知，小明所说的是多数人的分数，是众数，小英所说的为排在中间人的分数，是中位数.
故选为D.
【点睛】本题考查众数和中位数的定义，熟记定义是解题的关键.
4. 已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的侧面积为（ ）
A. 60B. 48C. 60πD. 48π
【答案】D
【解析】
【分析】圆锥的侧面积是一个扇形，扇形的面积就是圆锥的侧面积，根据计算公式计算即可.
【详解】解：圆锥的侧面积=•2π•6×8=48π．故选D．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )
A. x(x－1)＝2070B. x(x＋1)＝2070C. 2x(x＋1)＝2070D. ＝2070
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x=2070，
故选A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系是解决问题的关键．
6. 已知点、，在函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线，可知抛物线对称轴为x＝-1，开口向上，然后根据各点到对称轴的远近即可判断的大小．
【详解】解：∵=，
∴抛物线对称轴为x＝-1，开口向上，
又∵点离对称轴最远，点在对称轴上，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7. 抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a =2；④方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】先从二次函数图像获取信息，运用二次函数的性质一—判断即可．
【详解】解：∵二次函数与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，故①错误；
∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，且抛物线开口向下，
∴当x=1时,有y=a+b+c＜0，故②正确;
∵函数图像的顶点为（-1，2）
∴a-b+c=2，
又∵由函数的对称轴为x=-1，
∴=-1,即b=2a
∴a-b+c =a-2a+c=c-a=2，故③正确；
由①得b2-4ac>0，则 ax2+bx+c =0有两个不等的实数根，故④错误；
综上，正确的有两个．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，从二次函数图像上获取有用信息和灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．
8. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．由DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF，又EF=EA=2是定值，即可推出当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′-EF；
【详解】如图作点D关于BC的对称点D′,连接PD′,ED′.
在Rt△EDD′中,∵DE=6,DD′=8，
∴ED′= =10，
∵DP=PD′，
∴PD+PF=PD′+PF，
∵EF=EA=2是定值，
∴当E、 F、P、D′共线时,PF+PD′定值最小，最小值=10−2=8，
∴PF+PD的最小值为8，
故选B
【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解题关键在于作辅助线
二、填空题
9. 当______时，函数是关于的二次函数．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的定义可得且根据上式计算即可得到答案．
【详解】是关于的二次函数
且
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的知识，熟练掌握二次函数的二次项系数不为零是解题关键
10. 已知，且，则的值为_______．
【答案】6
【解析】
【分析】结合题意，计算得b、c关于a的表达式，并代入到，通过求解一元一次方程，即可得到答案．
【详解】∵
∴，
∴
∴
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、代数式的性质，从而完成求解．
11. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为_____cm．（精确到0.lcm）
【答案】12.4
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽，然后进行近似计算即可．
【详解】解：书的宽与长之比为黄金比，长为，
它的宽．
故答案为12.4．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍．
12. 若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2017的值为______.
【答案】2020
【解析】
【分析】把x＝m代入方程，求出2m2−3m＝1，再将原式变形后代入，即可求出答案．
【详解】解：∵m是方程2x2−3x−1＝0的一个根，
∴2m2−3m−1＝0，即2m2−3m＝1，
∴6m2−9m＋2017＝3（2m2−3m）＋2017＝3×1＋2017＝2020，
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能求出2m2−3m＝1是解此题的关键．
13. 把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．
【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分）
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为y=2（x+1）2﹣2．
考点：二次函数图象与几何变换．
14. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来．
【答案】600
【解析】
【详解】解：∵﹣1.5＜0，
∴函数有最大值．
∴，
即飞机着陆后滑行600米才能停止，
故答案为：600．
15. 抛物线y= ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
容易看出，（-2，0）是抛物线与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为_____.
【答案】（3，0）．
【解析】
【详解】根据（0，6）、（1，6）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，6）、（1，6）两点，
∴对称轴x=；
点（-2，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．
“点睛”本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题；函数图象上的每一个点都满足函数方程．
16. 如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，AB=5，AC=4，则BD=____.
【答案】
【解析】
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=5，AC=4，OD⊥AC于点D，
∴BC=，CD=AC=2，
∴BD=.
即答案为.
17. 若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为________．
【答案】或
【解析】
【分析】直接利用函数图象即可得出结论．
【详解】∵由函数图象可知，当x<1或x>3时，函数图象在x轴的下方，
∴函数y=a（x-2）2+b（x-2）+c的图象与x轴的交点为3，5，（把x-2作为一个整体，代入上面的函数中，）
∴不等式a（x-2）2+b（x-2）+c<0<0的解集为x<3或x>5，
故答案为x<3或x>5．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
18. 如图，的顶点在抛物线上,将绕点顺时针旋转得到，现将抛物线沿轴向上平移个单位，使得抛物线与边只有一个公共点，则的取值范围为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】把点A(-2，4)代入求得，利用旋转的性质求得点C(4，2)，点D(0，2)，观察图象，将抛物线沿y轴向上平移2个单位，经过点D时与线段CD恰好有二个交点，求得，当顶点在线段CD上时，可求得m的值即可求解．
【详解】把点A(-2，4)代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵点A(-2，4)，
∴OB=2，AB=4，
根据旋转的性质知：OD=OB=2，CD=AB=4，如图：
∴点C的坐标为(4，2)，点D的坐标为(0，2)，
设抛物线沿y轴向上平移个单位的解析式为，
当时，，
此时抛物线与线段CD只有一个交点，
将抛物线沿y轴向上平移2个单位，经过点D时与线段CD恰好有二个交点，
∴，抛物线与线段CD只有一个交点，
当抛物线顶点在线段CD上时，抛物线与线段CD只有一个交点，
此时：，解得：，
故答案为：或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了旋转变换的性质，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线顶点坐标公式等知识，利用数形结合、方程思想是解题的关键．
三、解答题
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】（1）根据配方法的性质求解一元二次方程，即可得到答案；
（2）根据公式法的性质求解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】（1）∵
∴
∴
∴
∴，；
（2）∵
∴
∴
∵
∴
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法、公式法的性质求解一元二次方程，从而完成求解．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若此方程的两根为不相等的整数，求正整数的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）的值为．
【解析】
【分析】（1）根据根与系数的关系即可解答．
（2）根据因式分解法解方程可得出，由此方程的两个根为不相等的整数即可得出为不等于1的整数，结合为整数即可求出的值．
【详解】（1）由题意可知：
方程一定有两个实数根．
（2）由题意得，解得
方程
或．
方程有两个不相等的整数根
正整数的值为．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式以及因式分解法解一元二次方程．
21. 某中学为了宣传防疫知识，在该校七、八两个年级开展了“防疫知识”大赛活动．为了了解参赛学生的成绩，从两个年级中各随机选取了名学生的成绩，数据如下：
七年级：92，97，88，92，94，95，92，95，97，98；
八年级：93，94，88，91，92，93，100，98，98，93．
通过整理，得到如下所示的数据分析表．
（1）填空：_______，_______；
（2）通过计算说明哪个年级的成绩更稳定；
（3）学校规定，成绩不低于分的选手可以获奖，若该校七年级有人参加比赛，请估计七年级有多少人获奖．
【答案】（1）94；93；（2）七年级学生的成绩更稳定；（3）七年级约有人获奖．
【解析】
【分析】(1)按照定义分别计算即可；
(2)先计算八年级的方差，比较方差的大小作出判断即可；
(3)利用样本估计总体的思路计算即可.
【详解】解：(1)根据题意，得
=94，
∴a=94；
∵93，94，88，91，92，93，100，98，98，93，
∴排序为88，91，92，93，93，93，94，98，98，100，
∴数据的中位数为第5，第6个数据的平均数即=93，
∴b=93；
故答案：94，93；
(2) 八年级的样本方差：
，
由样本方差估计总体的方差可得七年级学生的成绩更稳定；
(3)样本中七年级学生的成绩不低于分的人数有人，
估计七年级总体成绩不低于分的约有（人），
即七年级约有人获奖．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，方差以及由样本估计总体，熟记定义，并能熟练进行计算是解题的关键.
22. 防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小明从A测温通道通过的概率是________；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
【答案】(1) ;(2) ．
【解析】
【分析】(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是．
(2)根据题意画出树状图，再根据所得结果算出概率即可．
【详解】(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是，
故答案为：．
(2)由题意画出树状图：
由图可知，小明和小丽从同一个测温通道通过的概率=．
【点睛】本题考查概率的计算和树状图的画法，关键在于理解题意，由图得出相关概率．
23. 如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）相似；理由见解析.
【解析】
【详解】（1）根据等边三角形各边长相等和各内角为60°性质可以求证△ABD≌△BCE；
（2）根据全等三角形对应角相等性质可得∠BAD=∠CBE，进而可以求得∠EAF=∠EBA，即可求证△EAF∽△EBA，即可解题．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）答：相似；理由如下：
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，
∴∠EAF=∠EBA，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△EAF∽△EBA．
点睛：本题考查相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质.熟练应用三角形全等及相似的判定方法是解题的关键.
24. 如图，是圆的弦，是圆外一点，，交于点，交圆于点，且．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）直线BC与圆O相切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质分别证出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再利用直角三角形性质和对顶角可证得∠OBC=90º，即OB⊥BC,可判断直线BC与圆O相切；
（2）易证得△CPD为等边三角形，则有∠OCB=60º,∠BOC=30º,用含30º角的直角三角形求得OA、BC的长，然后用公式求得△OBC的面积和扇形OBD的面积，相加即可解得阴影面积．
【详解】（1）直线BC与圆O相切，理由为：
连接OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB
∴∠CBP=∠APO，
∵OA⊥OC，
∴∠A+∠APO=90º，
∴∠OBA+∠CBP=90º即∠OBC=90º，
∴OB⊥BC，
∴直线BC与圆O相切；
（2）∵OA⊥OC，∠A=30º，OP=1
∴OA=，∠APO=60º即∠CPB=60º，
∵CP=CB，
∴△PCB为等边三角形，
∴∠PCB=60º，
∵∠OBC=90º，
∴∠BOD=30º，
∴BC=OB·tan30º=1，
∴==，
答:图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，找到各知识点之间的联系，进而推理、探究、发现和计算．
25. 进入冬季，我市空气质量下降，多次出现雾霾天气．商场根据市民健康需要，代理销售一种防尘口罩，进货价为元/包，经市场销售发现：销售单价为元/包时，每周可售出包，每涨价元，就少售出包．若供货厂家规定市场价不得低于元/包，且商场每周完成不少于包的销售任务．
（1）试确定周销售量（包）与售价（元/包）之间的函数关系式并写出的取值范围；
（2）当售价（元/包）定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润（元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）（）；（2）当售价定为时，商场每周销售所获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接写出与之间的函数关系式；根据供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务列出不等式即可确定的范围．
（2）根据利润等于（售价-进价）销量，列出与的函数关系式，在结合的范围即可求解．
【详解】（1）由题意可得，
即周销售量（包）与售价（元/包）之间的函数关系式是：
市场价不得低于元/包，即
商场每周完成不少于包的销售任务，
由题意得：
即
售价的取值范围是
（2）由题意可得，
二次项系数，顶点的横坐标为：
当时，随的增大而增大
当时，取得最大值，
答：当售价定为时，商场每周销售所获得的利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是明确题意，可以写出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围进而求出函数的最值．
26. 如图，抛物线的顶点为，且抛物线与直线相交于两点，且点在轴上，点的坐标为，连接.
（1） ， ， （直接写出结果）；
（2）当时，则的取值范围为 （直接写出结果）；
（3）在直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出的最大面积及点坐标.
【答案】（1）1，-1，1；（2）；（3）最大值为，点.
【解析】
【分析】（1）将代入求得k值，求得点A的坐标，再将A、B的坐标代入即可求得答案；
（2）在图象上找出抛物线在直线下方自变量的取值范围即可；
（3）设点P的坐标为 ，则点Q的坐标为，求得的长，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）∵直线经过点，
∴，
解得：，
∵直线与x轴交于点A，
令，则，
点A坐标为，
∵抛物线与直线相交于两点，
∴，
解得：，
故答案为：，，；
（2）∵抛物线与直线相交于A，两点，
观察图象，抛物线在直线下方时，，
∴当时，则的取值范围为：，
故答案为：；
（3）过点P作y轴的平行线交直线于点Q，
设点P的坐标为 ，则点Q的坐标为，
∴，
，
∴，
当时，的面积有最大值为，此时P点坐标为；
故答案为：面积有最大值为，P点坐标为；
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用数形结合的思想解决数学问题．
27. 阅读下列材料，完成文后任务：
克罗狄斯·托勒密（约公元年—公元年），希腊著名的天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和．
用数学文字表示为：如图1，已知四边形内接于，则
任务：
（1）如图1，当为等边三角形时，与有怎样的数量关系？并说明理由；
（2）如图2，已知为直径，，，求的长；
（3）如图3，在四边形中，，，，则的面积为_________．
【答案】（1）AC=BC+CD；证明见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）由托勒密定理：及等边三角形的性质即可求得．
（2）由勾股定理可求得BD，进而可求CD，再由由托勒密定理：即可求得AC的长．
（3）由题意可得四边形ABCD在以BD为直径的圆上，设圆心为O，连接OC、OA，并作OE⊥AC于点E，则的面积即可由求得．
【详解】解：（1）
证：由题意得：
为等边三角形
即．
（2）为直径
．

．
由托勒密定理可知
．
（3）∵，，，
∴四边形ABCD在以BD为直径的圆上
且BD===6
CD===4
∵
代入AB、CD、BC、AD、AC可得
AC=
连接OA、OC，作OE⊥AC交于点E，如图：
BD=6，AD=3，
，
∴
∵OC=3，AC=
∴OE==
∴
∴
=
【点睛】本题考查了三角形和圆的综合问题，解题的关键是进行等量代换及作出辅助线．
28. 如图，在矩形中，点、点分别在轴和轴上，点．抛物线经过两点，交的延长线于点，与轴另一个交点为，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的一个动点，轴，，垂足为．
①猜想：与的数量关系，并证明你的猜想；
②设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式，并求的最大值．
（3）如果是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②的最大值为；（3）存在，点的坐标：，，．
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质，可得A，C，根据AE的长，可得E点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）①先求出点的坐标得，，由，所以，根据等腰直角三角形的性质，可得答案；
②根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PF，根据等腰直角三角线的性质，可得，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）分两种情况：平行四边形的边长或是对角线两种情况讨论，根据平行四边形的对角顶点的横坐标的和相等，可得点的横坐标，根据与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】解：（1）∵矩形中，点

设，
将代入得：，
，
（2）①
证：抛物线的对称轴为直线
由对称性可知点的坐标为
．
轴
②由题意，得
点的坐标为
直线的表达式：
由①得：为等腰直角三角形

的最大值为．
（3）存在，
理由如下： 抛物线的对称轴为，
设，如图所示，
以为边长的 ，
根据平行四边形的对角顶点的横坐标的和相等
在中，由，解得，
，
在中，由，解得，
，
以对角线的，
根据平行四边形的对角顶点的横坐标的和相等，
，解得，

综上，点N的坐标：（2，），（-4，），（-2，2）．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）①的关键是利用等腰直角三角形的性质；解②的关键是利用二次函数的性质；解（3）的关键是利用平行四边形的对角顶点的横坐标的和和相等得出点的横坐标，要分类讨论，以防遗漏．
x
..
-3
-2
- 1
0
1
...
y
...
-6
0
4
6
6
..
项目
平均分
中位数
众数
方差
七年级
八年级