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    河南省信阳市息县关店理想学校2023—2024学年人教版八年级数学上册期末优选卷(一)

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    河南省信阳市息县关店理想学校2023—2024学年人教版八年级数学上册期末优选卷(一)

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    这是一份河南省信阳市息县关店理想学校2023—2024学年人教版八年级数学上册期末优选卷(一),共12页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、选择题:(本题共10小题,共30分)
    1.下列图形中,不是轴对称图形的是( )
    A. B. C. D.
    2.若分式x2−9x−3的值为0,则x的值为( )
    A. 0B. 3C. −3D. 3或−3
    3.下列计算正确的是( )
    A. a+a=a2B. a2⋅a3=a6C. (−a3)2=−a6D. a7÷a5=a2
    4.刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一,中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功,5纳米就是0.000000005米.数据0.000000005用科学记数法表示为( )
    A. 5×10−8B. 5×10−9C. 0.5×10−8D. 50×10−9
    5.如图,已知AB=AD,添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
    A. CB=CD B. ∠BCA=∠DCA C. ∠BAC=∠DAC D. ∠B=∠D=90°
    6.已知点A,B,C是不在同一条直线上的三点,则下列判断正确的是( )
    A. AB−AC>BCB. AB+BCBCD. AB+BC=AC
    7.如图,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它的三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
    A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处
    8.将分式x2yx−y中的x,y的值同时扩大为原来的3倍,则分式的值( )
    A. 扩大6倍B. 扩大9倍C. 不变D. 扩大3倍
    9.下列各选项中,从左边到右边的变形正确的是( )
    A. ab=acbc B. −a−ba+b=−1 C. 0.5a+b0.2a−0.3b=5a+b2a−3b D. m−m−n=−mm−n
    10.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一,其中记录的一道题译为白话文是:把一份文件用慢马送到900里外的城市,需要的时间比规定时间多一天;如果用快马送,所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍,求两匹马的速度.设慢马的速度为x里/天,则可列方程为( )
    A. 900x+1=9002x+3 B. 900x−1=9002x−3 C. 900x+1=9002x−3 D. 900x−1=9002x+3
    二、填空题:(本题共5小题,共15分)
    11.要使分式2−xx−1有意义,则x的取值范围是______ .
    12.已知3a−b=0(b≠0),则分式3a+2bb的值为______ .
    13.若关于x的方程2x−2+x+m2−x=2无解,则m的值是______ .
    14.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,则下列结论:①DA平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④若AC=4BE,则S△ABC=9S△BDE.其中正确的有______ (填写正确的序号).
    15.如图,在平面直角坐标系xOy中,点B是y轴上一个定点,点A是x轴正半轴上的一个动点,以线段OA为边在x轴上方作等边三角形,以线段AB为边在AB上方作等边三角形,连接CD、BC,随着点A的移动,下列结论:①△AOB≌△ACD;②∠OCD=150°;③当∠OAB=30°时,点C恰好落在BD的中点上;④直线CD与x轴所夹的锐角随着OA的增大而增大.其中正确的结论是______ .(填写序号)
    三、解答题:本题共8小题,共80分
    16.(8分)计算:
    (1)a3⋅a+(−3a3)2÷a2; (2)(x−2y)2−(x+2y)(y−2x).
    17.(8分)先化简,再求值:(2aa+2−1)÷a2−4a+4a+2,其中a=1.
    18.(9分)在△ABC中,AB的垂直平分线l1交BC于点D,AC的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,△ADE的周长为6.
    (1)AD与BD的数量关系为______.
    (2)求BC的长.
    (3)分别连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为16,求OA的长.
    19.(9分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,−1),C(1,2).
    (1)请画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′,并直接写出A′的坐标;
    (2)求△ABC的面积;
    (3)在y轴上求作一点P,使PA+PB′最小.
    20.(10分)阅读下列材料:教科书中这样写道:“我们把a2+2ab+b2和a2−2ab+b2这样的式子叫做完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.即将多项式x2+bx+c(b、c为常数)写成(x+h)2+k(h、k为常数)的形式,配方法是一种重要的解决数学问题的方法,不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题.
    例1:分解因式:x2+2x−3;
    原式=(x2+2x+1)−1−3=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1);
    例2:求代数式x2−2x−5的最小值.
    原式=(x2−2x+1)−1−5=(x−1)2−6,所以当x=1时,代数式x2−2x−5有最小值,最小值是−6.请根据材料用配方法解决下列问题:
    (1)分解因式:x2−6x−16= ______ ;
    (2)求多项式y2+8y−2024的最小值;
    (3)已知m2+2mn+2n2−6n+9=0,求m,n的值.
    21.(10分)已知点C在线段BE上且△ABC和△DCE都是等边三角形,连接BD,AE,分别交AC,DC于点M,N.
    (1)求证:△AEC≌△BDC;
    (2)求证:CM=CN.
    22.(10分)2024年是中国农历甲辰龙年.春节前,市面上流行A和B两款“龙公仔”布偶,某商场用4000元购进一批A款“龙公仔”,用12000元购进一批B款“龙公仔”,两批共300个,每件B款“龙公仔”的进价是A款“龙公仔”的1.5倍.
    (1)该商场购A款“龙公仔”和B款“龙公仔”每件的进价分别是多少元?
    (2)如果两款“龙公仔”按进价的1.5倍标价销售,A款“龙公仔”很快售完,那么B款“龙公仔”至少要售出多少件后,剩余按五折优惠售出,才能使两款“龙公仔”全部售完总利润不低于5750元(不考虑其他因素)?
    23.(11分)综合与实践:数学活动课上,老师带领同学们以等腰三角形为背景,探究线段之间的关系.
    问题情境:已知,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是直线BC上的一个动点,连接AD,在直线AD的右侧作∠DAE=90°,且AE=AD,连接DE,CE.
    实践探究:(1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形,此时点D在线段BC上,请直接写出线段BD与CE的数量关系与位置关系:______ ,______ ;
    (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形,此时点D在线段BC的延长线上,请判断(1)中的结论是否成立,并说明理由;
    拓展应用:(3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题,在点D运动的过程中,如果BC=5,CE=2,请直接写出线段CD的长.
    参考答案
    1.【答案】D
    2.【答案】C
    3.【答案】D
    4.【答案】B
    解:0.000000005=5×10−9.
    5.【答案】B
    6.【答案】C
    7.【答案】D
    8.【答案】B
    解:∵把分式x2yx−y中的x与y同时扩大为原来的3倍,
    ∴原式变为:27x2y3x−3y=9x2yx−y=9×x2yx−y,
    ∴这个分式的值扩大9倍.
    9.【答案】B
    解:A、当c=0时,等式不成立,故A不符合题意.
    B、−a−ba+b=−(a+b)a+b=−1,故B符合题意.
    C、0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b,故C不符合题意.
    D、m−m−n=−mm+n,故D不符合题意.
    10.【答案】D
    解:设慢马的速度为x里/天,则快马的速度为2x里/天,
    根据题意,得900x−1=9002x+3.
    11.【答案】x≠1
    解:要使分式2−xx−1有意义,
    则x−1≠0,
    解得x≠1.
    12.【答案】3
    解:∵3a−b=0
    ∴3a=b,将3a=b代入分式3a+2bb,得到b+2bb=3bb=3
    13.【答案】0
    解:去分母,得:2−(x+m)=2(x−2),
    化简,得:m=−3x+6.
    ∵分式方程无解,即最简公分母为0,
    ∴x−2=0,即x=2,
    ∴m=−3×2+6=0.
    14.【答案】①②④
    解:∵AD平分∠BAC,
    ∴∠DAC=∠DAE,
    ∵∠C=90°,DE⊥AB,
    ∴∠C=∠DEA=90°,
    ∵AD=AD,
    ∴△DAC≌△DAE(AAS),
    ∴∠CDA=∠EDA,
    ∴①AD平分∠CDE正确;
    无法证明∠BDE=60°,
    ∴③DE平分∠ADB错误;
    ∵BE+AE=AB,AE=AC,
    ∵AC=4BE,
    ∴AB=5BE,AE=4BE,
    ∴S△ADB=5S△BDE,S△ADC=4S△BDE,
    ∴S△ABC=9S△BDE,
    ∴④正确;
    ∵∠BDE=90°−∠B,∠BAC=90°−∠B,
    ∴∠BDE=∠BAC,
    ∴②∠BAC=∠BDE正确.
    故答案是:①②④.
    15.【答案】①②③
    解:∵△ACO与△ABD是等边三角形,
    ∴AO=AC,AB=AD,∠OAC=∠BAD=60°,
    ∴∠OAB=∠CAD,
    在△AOB与△ACD中,
    AO=AC∠OAB=∠CADAB=AD,
    ∴△AOB≌△ACD(SAS),故①正确;
    ∴∠ACD=∠AOB=90°,
    ∵∠ACO=60°,
    ∴∠OCD=150°,故②正确;
    ∵∠BAO=30°,
    ∴∠OAB=∠CAB=30°,
    ∵AO=AC,AB=AB,
    ∴△AOB≌△ACB(SAS),
    ∴BC=OB=CD=12AB=12BD,故③正确;
    延长DC交x轴于G,
    ∵∠DCO=150°,
    ∴∠GCO=30°,
    ∵∠AOC=60°,
    ∴∠AGD=30°,
    ∴直线CD与x轴所夹的锐角是定值,故④错误,答案为:①②③.
    16.【答案】解:(1)原式=a4+9a6÷a2
    =a4+9a4
    =10a4;
    (2)原式=(x2−4xy+4y2)−(xy−2x2+2y2−4xy)
    =x2−4xy+4y2−xy+2x2−2y2+4xy
    =3x2−xy+2y2.
    17.【答案】解:原式=(2aa+2−a+2a+2)⋅a+2(a−2)2
    =a−2a+2⋅a+2(a−2)2
    =1a−2,
    当a=1时,原式=11−2=−1.
    18.【答案】解:(1)AD=BD
    (2)∵l2是线段AC的垂直平分线,
    ∴EA=EC,
    ∵△ADE的周长为6,
    ∴AD+DE+AE=6,
    ∴BD+DE+EC=6,即BC=6;
    (3)连接OA,OB,OC,如下图所示:
    l1是线段AB的垂直平分线,
    ∴OA=OB,
    ∵l2是线段AC的垂直平分线,
    OA=OC,
    ∴OB=OC,
    ∵△OBC的周长为16,BC=6,
    ∴OB+OC=10,
    ∴OA=OB=OC=5.
    解:(1)∵l1是线段AB的垂直平分线,
    ∴AD=BD,
    故答案为:AD=BD;
    (2)∵l2是线段AC的垂直平分线,
    ∴EA=EC,
    ∵△ADE的周长为6,
    ∴AD+DE+AE=6,
    ∴BD+DE+EC=6,即BC=6;
    (3)l1是线段AB的垂直平分线,
    ∴OA=OB,
    ∵l2是线段AC的垂直平分线,
    OA=OC,
    ∴OB=OC,
    ∵△OBC的周长为16,BC=6,
    ∴OB+OC=10,
    ∴OA=OB=OC=5.
    19.【答案】解:(1)如图,△A′B′C′即为所求.
    点A′的坐标为(3,−4).
    (2)△ABC的面积为12×(2+5)×4−12×2×2−12×2×5=14−2−5=7.
    (3)如图,取点A关于y轴的对称点A′′,连接A′′B′,交y轴于点P,连接AP,
    此时PA+PB′=PA′′+PB′=A′′B′,为最小值,
    则点P即为所求.
    20.【答案】(x+2)(x−8)
    解:(1)x2−6x−16=x2−6x+9−9−16=(x−3)2−52=(x−3+5)(x−3−5)=(x+2)(x−8);
    故答案为:(x+2)(x−8);
    (2)原式=(y2+8y+16)−16−2024
    =(y+4)2−2040,
    ∴多项式y2+8y−2024有最小值,最小值是−2040;
    (3)∵m2+2mn+2n2−6n+9=0,
    ∴(m2+2mn+n2)+(n2−6n+9)=0,
    即(m+n)2+(n−3)2=0,
    ∴m+n=0,n−3=0,
    解得:n=3,m=−3,
    ∴m的值为−3,n的值为3.
    21.【答案】证明:(1)∵△ABC和△DCE都是等边三角形,
    ∴AC=BC,EC=DC,∠BCA=60°,∠DCE=60°,
    则∠ACD=60°,
    ∴∠BCD=∠ACE=120°,
    ∴△AEC≌△BDC.
    (2)∵△AEC≌△BDC,
    ∴∠AEC=∠BDC,
    ∵∠DCE=∠ACD=60°,
    ∵CD=CE,
    ∴△NCE≌△MCD,
    ∴CM=CN.
    23.【答案】解:(1)设A款“龙公仔”每件的进价是x元,则B款“龙公仔”每件的进价是1.5x元,
    根据题意得:4000x+120001.5x=300,
    解得:x=40,
    经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意,
    ∴1.5x=1.2×40=60,
    答:A款“龙公仔”每件的进价是40元,B款“龙公仔”每件的进价是60元;
    (2)由(1)可知,该商场购买A款“龙公仔”的件数是4000÷40=100(件),则购买B款“龙公仔”的件数是300−100=200(件),
    设B款“龙公仔”售出m件后,剩余按五折优惠售出,才能使两款“龙公仔”全部售完总利润不低于5750元,
    根据题意得:(40×1.5−40)×100+(60×1.5−60)m+(60×1.5×0.5−60)(200−m)≥5750,
    解得:m≥150,
    答:B款“龙公仔”至少要售出150件后,剩余按五折优惠售出,才能使两款“龙公仔”全部售完总利润不低于5750元.
    23.【答案】BD=CE BD⊥CE
    解:(1)∵∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,
    ∴∠BAD=∠CAE,∠B=∠ACB=45°,
    在△ABD和△ACE中
    AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE,
    ∴△ABD≌△CAE(SAS),
    ∴BD=CE,∠B=∠ACE=45°,
    ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,
    ∴BD⊥CE,
    故答案为:BD=CE,BD⊥CE;
    (2)∵∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,
    ∴∠BAD=∠CAE,∠B=∠ACB=45°,
    在△ABD和△ACE中
    AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE,
    ∴△ABD≌△CAE(SAS),
    ∴BD=CE,∠B=∠ACE=45°,
    ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,
    ∴BD⊥CE,
    ∴BD=CE,BD⊥CE;
    (3)①当点D在BC上时,如图所示:
    由(1)证明可知:△ABD≌△ACE,
    ∴BD=CE,
    ∴CD=BC−BD=5−2=3,
    ②当点D在CB延长线上时,如图所示:
    由(2)证明可知:△ABD≌△ACE,
    ∴BD=CE,
    ∴CD=BC+BD=5+2=7,
    综上所述,CD=3或7.

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