河南省信阳市息县关店理想学校2023—2024学年人教版八年级数学上册期末优选卷（一）

这是一份河南省信阳市息县关店理想学校2023—2024学年人教版八年级数学上册期末优选卷（一），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本题共10小题，共30分）
1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若分式x2−9x−3的值为0，则x的值为( )
A. 0B. 3C. −3D. 3或−3
3.下列计算正确的是( )
A. a+a=a2B. a2⋅a3=a6C. (−a3)2=−a6D. a7÷a5=a2
4.刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米.数据0.000000005用科学记数法表示为( )
A. 5×10−8B. 5×10−9C. 0.5×10−8D. 50×10−9
5.如图，已知AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A. CB=CD B. ∠BCA=∠DCA C. ∠BAC=∠DAC D. ∠B=∠D=90°
6.已知点A，B，C是不在同一条直线上的三点，则下列判断正确的是( )
A. AB−AC>BCB. AB+BCBCD. AB+BC=AC
7.如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它的三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处
8.将分式x2yx−y中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值( )
A. 扩大6倍B. 扩大9倍C. 不变D. 扩大3倍
9.下列各选项中，从左边到右边的变形正确的是( )
A. ab=acbc B. −a−ba+b=−1 C. 0.5a+b0.2a−0.3b=5a+b2a−3b D. m−m−n=−mm−n
10.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度.设慢马的速度为x里/天，则可列方程为( )
A. 900x+1=9002x+3 B. 900x−1=9002x−3 C. 900x+1=9002x−3 D. 900x−1=9002x+3
二、填空题：（本题共5小题，共15分）
11.要使分式2−xx−1有意义，则x的取值范围是______ ．
12.已知3a−b=0(b≠0)，则分式3a+2bb的值为______ ．
13.若关于x的方程2x−2+x+m2−x=2无解，则m的值是______ ．
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC=4BE，则S△ABC=9S△BDE.其中正确的有______ (填写正确的序号)．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B是y轴上一个定点，点A是x轴正半轴上的一个动点，以线段OA为边在x轴上方作等边三角形，以线段AB为边在AB上方作等边三角形，连接CD、BC，随着点A的移动，下列结论：①△AOB≌△ACD；②∠OCD=150°；③当∠OAB=30°时，点C恰好落在BD的中点上；④直线CD与x轴所夹的锐角随着OA的增大而增大.其中正确的结论是______ .(填写序号)
三、解答题：本题共8小题，共80分
16.(8分)计算：
(1)a3⋅a+(−3a3)2÷a2； (2)(x−2y)2−(x+2y)(y−2x)．
17.(8分)先化简，再求值：(2aa+2−1)÷a2−4a+4a+2，其中a=1．
18.(9分)在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．
(1)AD与BD的数量关系为______．
(2)求BC的长．
(3)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
19.(9分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,−1)，C(1,2)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，并直接写出A′的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)在y轴上求作一点P，使PA+PB′最小．
20.(10分)阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把a2+2ab+b2和a2−2ab+b2这样的式子叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.即将多项式x2+bx+c(b、c为常数)写成(x+h)2+k(h、k为常数)的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
例1：分解因式：x2+2x−3；
原式=(x2+2x+1)−1−3=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
例2：求代数式x2−2x−5的最小值．
原式=(x2−2x+1)−1−5=(x−1)2−6，所以当x=1时，代数式x2−2x−5有最小值，最小值是−6.请根据材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2−6x−16= ______ ；
(2)求多项式y2+8y−2024的最小值；
(3)已知m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m，n的值．
21.(10分)已知点C在线段BE上且△ABC和△DCE都是等边三角形，连接BD，AE，分别交AC，DC于点M，N．
(1)求证：△AEC≌△BDC；
(2)求证：CM=CN．
22.(10分)2024年是中国农历甲辰龙年.春节前，市面上流行A和B两款“龙公仔”布偶，某商场用4000元购进一批A款“龙公仔”，用12000元购进一批B款“龙公仔”，两批共300个，每件B款“龙公仔”的进价是A款“龙公仔”的1.5倍．
(1)该商场购A款“龙公仔”和B款“龙公仔”每件的进价分别是多少元？
(2)如果两款“龙公仔”按进价的1.5倍标价销售，A款“龙公仔”很快售完，那么B款“龙公仔”至少要售出多少件后，剩余按五折优惠售出，才能使两款“龙公仔”全部售完总利润不低于5750元(不考虑其他因素)？
23.(11分)综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系．
问题情境：已知，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线BC上的一个动点，连接AD，在直线AD的右侧作∠DAE=90°，且AE=AD，连接DE，CE．
实践探究：(1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段BD与CE的数量关系与位置关系：______ ，______ ；
(2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由；
拓展应用：(3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，如果BC=5，CE=2，请直接写出线段CD的长．
参考答案
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
解：0.000000005=5×10−9．
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
解：∵把分式x2yx−y中的x与y同时扩大为原来的3倍，
∴原式变为：27x2y3x−3y=9x2yx−y=9×x2yx−y，
∴这个分式的值扩大9倍．
9.【答案】B
解：A、当c=0时，等式不成立，故A不符合题意．
B、−a−ba+b=−(a+b)a+b=−1，故B符合题意．
C、0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b，故C不符合题意．
D、m−m−n=−mm+n，故D不符合题意．
10.【答案】D
解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，
根据题意，得900x−1=9002x+3．
11.【答案】x≠1
解：要使分式2−xx−1有意义，
则x−1≠0，
解得x≠1．
12.【答案】3
解：∵3a−b=0
∴3a=b，将3a=b代入分式3a+2bb，得到b+2bb=3bb=3
13.【答案】0
解：去分母，得：2−(x+m)=2(x−2)，
化简，得：m=−3x+6．
∵分式方程无解，即最简公分母为0，
∴x−2=0，即x=2，
∴m=−3×2+6=0．
14.【答案】①②④
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠DEA=90°，
∵AD=AD，
∴△DAC≌△DAE(AAS)，
∴∠CDA=∠EDA，
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE=AB，AE=AC，
∵AC=4BE，
∴AB=5BE，AE=4BE，
∴S△ADB=5S△BDE，S△ADC=4S△BDE，
∴S△ABC=9S△BDE，
∴④正确；
∵∠BDE=90°−∠B，∠BAC=90°−∠B，
∴∠BDE=∠BAC，
∴②∠BAC=∠BDE正确．
故答案是：①②④．
15.【答案】①②③
解：∵△ACO与△ABD是等边三角形，
∴AO=AC，AB=AD，∠OAC=∠BAD=60°，
∴∠OAB=∠CAD，
在△AOB与△ACD中，
AO=AC∠OAB=∠CADAB=AD，
∴△AOB≌△ACD(SAS)，故①正确；
∴∠ACD=∠AOB=90°，
∵∠ACO=60°，
∴∠OCD=150°，故②正确；
∵∠BAO=30°，
∴∠OAB=∠CAB=30°，
∵AO=AC，AB=AB，
∴△AOB≌△ACB(SAS)，
∴BC=OB=CD=12AB=12BD，故③正确；
延长DC交x轴于G，
∵∠DCO=150°，
∴∠GCO=30°，
∵∠AOC=60°，
∴∠AGD=30°，
∴直线CD与x轴所夹的锐角是定值，故④错误，答案为：①②③．
16.【答案】解：(1)原式=a4+9a6÷a2
=a4+9a4
=10a4；
(2)原式=(x2−4xy+4y2)−(xy−2x2+2y2−4xy)
=x2−4xy+4y2−xy+2x2−2y2+4xy
=3x2−xy+2y2．
17.【答案】解：原式=(2aa+2−a+2a+2)⋅a+2(a−2)2
=a−2a+2⋅a+2(a−2)2
=1a−2，
当a=1时，原式=11−2=−1．
18.【答案】解：(1)AD=BD
(2)∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+DE+AE=6，
∴BD+DE+EC=6，即BC=6；
(3)连接OA，OB，OC，如下图所示：
l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
OA=OC，
∴OB=OC，
∵△OBC的周长为16，BC=6，
∴OB+OC=10，
∴OA=OB=OC=5．
解：(1)∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
故答案为：AD=BD；
(2)∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+DE+AE=6，
∴BD+DE+EC=6，即BC=6；
(3)l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
OA=OC，
∴OB=OC，
∵△OBC的周长为16，BC=6，
∴OB+OC=10，
∴OA=OB=OC=5．
19.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
点A′的坐标为(3,−4)．
(2)△ABC的面积为12×(2+5)×4−12×2×2−12×2×5=14−2−5=7．
(3)如图，取点A关于y轴的对称点A′′，连接A′′B′，交y轴于点P，连接AP，
此时PA+PB′=PA′′+PB′=A′′B′，为最小值，
则点P即为所求．
20.【答案】(x+2)(x−8)
解：(1)x2−6x−16=x2−6x+9−9−16=(x−3)2−52=(x−3+5)(x−3−5)=(x+2)(x−8)；
故答案为：(x+2)(x−8)；
(2)原式=(y2+8y+16)−16−2024
=(y+4)2−2040，
∴多项式y2+8y−2024有最小值，最小值是−2040；
(3)∵m2+2mn+2n2−6n+9=0，
∴(m2+2mn+n2)+(n2−6n+9)=0，
即(m+n)2+(n−3)2=0，
∴m+n=0，n−3=0，
解得：n=3，m=−3，
∴m的值为−3，n的值为3．
21.【答案】证明：(1)∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠BCA=60°，∠DCE=60°，
则∠ACD=60°，
∴∠BCD=∠ACE=120°，
∴△AEC≌△BDC．
(2)∵△AEC≌△BDC，
∴∠AEC=∠BDC，
∵∠DCE=∠ACD=60°，
∵CD=CE，
∴△NCE≌△MCD，
∴CM=CN．
23.【答案】解：(1)设A款“龙公仔”每件的进价是x元，则B款“龙公仔”每件的进价是1.5x元，
根据题意得：4000x+120001.5x=300，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.2×40=60，
答：A款“龙公仔”每件的进价是40元，B款“龙公仔”每件的进价是60元；
(2)由(1)可知，该商场购买A款“龙公仔”的件数是4000÷40=100(件)，则购买B款“龙公仔”的件数是300−100=200(件)，
设B款“龙公仔”售出m件后，剩余按五折优惠售出，才能使两款“龙公仔”全部售完总利润不低于5750元，
根据题意得：(40×1.5−40)×100+(60×1.5−60)m+(60×1.5×0.5−60)(200−m)≥5750，
解得：m≥150，
答：B款“龙公仔”至少要售出150件后，剩余按五折优惠售出，才能使两款“龙公仔”全部售完总利润不低于5750元．
23.【答案】BD=CE BD⊥CE
解：(1)∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAE，∠B=∠ACB=45°，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD=CE，BD⊥CE；
(2)∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAE，∠B=∠ACB=45°，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE，
∴BD=CE，BD⊥CE；
(3)①当点D在BC上时，如图所示：
由(1)证明可知：△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CD=BC−BD=5−2=3，
②当点D在CB延长线上时，如图所示：
由(2)证明可知：△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CD=BC+BD=5+2=7，
综上所述，CD=3或7．