+广东省东莞市松山湖实验中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份+广东省东莞市松山湖实验中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题一，解答题二，解答题四等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列事件中为必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．打开电视，正在播放广告
C．抛一枚硬币，正面向上
D．从三个黑球中摸出一个是黑球
3．（3分）抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣3）B．（﹣3，0）C．（﹣，0）D．（0，﹣）
4．（3分）若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k＞1C．0＜k＜1D．k≤1
5．（3分）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝4，OC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．6
7．（3分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
8．（3分）配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0应把它先变形为（ ）
A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝0
C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝
9．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（﹣2，10）
C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，10）
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共5小题，共15分。
11．（3分）已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝ ．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，连接OA，则△OAC面积为 ．
13．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：5，BD＝6，则BF的值是 ．
14．（3分）若抛物线y＝2x2﹣3x+c与直线y＝x+1没有交点，则c的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为 ．
三、解答题一（本大题共2小题，共10分）
16．（5分）解方程：x2﹣7x﹣8＝0．
17．（5分）一元二次方程x2﹣4x﹣c＝0的一个根是2，求另一个根及c的值．
四、解答题二（本大题共3小题，共21分）
18．（7分）如图，△ABC为等边三角形，将AC边绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠CBD的度数．
19．（7分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．
20．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）求出（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留π）．
五、解答题三（本大题共3小题，共24分）
21．（8分）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，它们除数字不同外，其他完全相同．
（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 ．
（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀．接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标．如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），D（0，1），求点M落在四边形ABCD内部（含边界）的概率．
22．（8分）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段MN（MN最长可用25m），用40m长的篱笆，围成一个矩形菜园ABCD．
（1）当AB长度为多少时，矩形菜园的面积为150m2？
（2）当AB长度为多少时，矩形菜园的面积最大？最大值是多少？
23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，3），B（3，n）．
（1）直接写出m＝ ；n＝ ；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集是 ；
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PAB是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
六、解答题四（本大题共2小题，共20分）
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），点B（0，3）
（1）求抛物线表达式和顶点C的坐标；
（2）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，
①直线PQ交x轴于点M，联结BQ、OP，如果S△BPQ＝2S△OPM，求PM的长；
②将上述抛物线向下平移，使得顶点C的对应点D恰好与点Q关于直线AB对称，求平移的距离．
2023-2024学年广东省东莞市松山湖实验中学教育集团九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解答本题的关键是掌握：轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）下列事件中为必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．打开电视，正在播放广告
C．抛一枚硬币，正面向上
D．从三个黑球中摸出一个是黑球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】解：A、购买一张彩票，中奖是随机事件；
B、打开电视，正在播放广告是随机事件；
C、抛一枚硬币，正面向上是随机事件；
D、从三个黑球中摸出一个是黑球是必然事件；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣3）B．（﹣3，0）C．（﹣，0）D．（0，﹣）
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣3，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（3分）若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k＞1C．0＜k＜1D．k≤1
【分析】反比例函数的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
【解答】解：∵双曲线的图象的一支位于第三象限，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1；
故选：B．
【点评】此题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y＝（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
5．（3分）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A正确；
∴，B错误；
∴，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝4，OC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．6
【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA，即可得出答案．
【解答】解：∵OC⊥AB，OC过O，
∴CD＝AB，
∵AB＝4，
∴AC＝2，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA＝＝，
即⊙O的半径是，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．
7．（3分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
8．（3分）配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0应把它先变形为（ ）
A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝0
C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝
【分析】方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程2x2﹣x﹣2＝0变形得：x2﹣x＝1，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（﹣2，10）
C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，10）
【分析】根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点D′到x轴、y轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点D′的坐标是多少即可．
【解答】解：因为点D（5，3）在边AB上，
所以AB＝BC＝5，BD＝5﹣3＝2；
（1）若把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′＝2，
所以D′（﹣2，0）；
（2）若把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′（2，10），
综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为（﹣2，0）或（2，10）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要注意分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴x＝﹣＜0，得出b＞0，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：因为二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴x＝﹣＜0，得出b＞0，
所以一次函数y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y＝经过二、四象限，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．
二、填空题：本题共5小题，共15分。
11．（3分）已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝ 1 ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：由点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，得
a＝﹣2，b＝3，
则a+b＝﹣2+3＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，连接OA，则△OAC面积为 1 ．
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC＝×2＝1．
【解答】解：∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A，AC⊥x轴于点C，
∴S△OAC＝×2＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，掌握过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积的计算方法是解本题的关键．
13．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：5，BD＝6，则BF的值是 21 ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，从而可计算出DF的长，然后计算BD和DF的和即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：5，
∴＝，
即＝，
∴DF＝15，
∴BF＝BD+DF＝6+15＝21，
故答案为：21．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
14．（3分）若抛物线y＝2x2﹣3x+c与直线y＝x+1没有交点，则c的取值范围是 c＞3 ．
【分析】根据两个函数的图象没有交点，则两个函数关系式组成方程组无解，从而得出答案．
【解答】解：因为抛物线y＝2x2﹣3x+c与直线y＝x+1没有交点，
所以一元二次方程2x2﹣3x+c＝x+1没有实数根，
即2x2﹣4x+c﹣1＝0无实数根，
所以16﹣8（c﹣1）＜0，
解得，c＞3，
故答案为：c＞3．
【点评】本题考查二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，理解两个函数图象没有公共点的意义是解决问题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为 ．
【分析】连接CP，过点C作CP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据直角三角形的性质求出CP′，根据勾股定理、垂线段最短解答即可．
【解答】解：连接CP，过点C作CP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当CP⊥AB时，CP最小，则PQ最小，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴CP′＝BC•sinB＝2×＝，
∴PQ的最小值为：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
三、解答题一（本大题共2小题，共10分）
16．（5分）解方程：x2﹣7x﹣8＝0．
【分析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：∵x2﹣7x﹣8＝0，
∴（x+1）（x﹣8）＝0，
则x+1＝0或x﹣8＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝8．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
17．（5分）一元二次方程x2﹣4x﹣c＝0的一个根是2，求另一个根及c的值．
【分析】设方程另一个根为x1，先利用两根之和计算出x1，然后利用两根之积求出c的值．
【解答】解：设方程另一个根为x1，
根据题意得x1+2+＝4，x1•（2+）＝﹣c，
∴x1＝2﹣，
∴﹣c＝（2﹣）（2+）＝4﹣3＝1，
∴c＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
四、解答题二（本大题共3小题，共21分）
18．（7分）如图，△ABC为等边三角形，将AC边绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠CBD的度数．
【分析】由旋转的性质可得∠ACD＝40°，AC＝CD＝BC，由等边三角形的性质可求∠CBD＝40°，即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵将AC边绕点C顺时针旋转40°，
∴∠ACD＝40°，AC＝CD＝BC，
∴∠BCD＝100°，
∴∠CBD＝∠D＝40°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
19．（7分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定解答即可；
（2）由相似三角形的性质可得，可求BC的长，从而可得到CD的值．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA；
（2）∵△ABD∽△CBA，
∴，
∵AB＝6，BD＝3，
∴，
∴BC＝12，
∴CD＝BC﹣BD＝12﹣3＝9．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到三角形相似是解决本题的关键．
20．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）求出（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留π）．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）由于点C旋转到C1所经过的路径为以0为圆心，OC为半径，圆心角为90度的弧，所以利用弧长公式可计算出点C旋转到C1所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作三角形：
（2）根据题意得：
OC＝＝5，
所以C点旋转到C1点所经过的路径长为：＝2.5π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，掌握旋转的性质是解题的关键．
五、解答题三（本大题共3小题，共24分）
21．（8分）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，它们除数字不同外，其他完全相同．
（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 ．
（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀．接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标．如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），D（0，1），求点M落在四边形ABCD内部（含边界）的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）在﹣2，﹣1，0，1中正数有1个，
∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是，
故答案为：．
（2）列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的有：
（﹣2，0）、（﹣1，﹣1）、（﹣1，0）、（0，﹣2）、（0，﹣1）、（0，0）、（0，1）、（1，0）这8个，
所以点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段MN（MN最长可用25m），用40m长的篱笆，围成一个矩形菜园ABCD．
（1）当AB长度为多少时，矩形菜园的面积为150m2？
（2）当AB长度为多少时，矩形菜园的面积最大？最大值是多少？
【分析】（1）设AB＝x m，则BC＝（40﹣2x）m，根据矩形花园的面积为150m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙MN最长可利用25m，即可确定结论；
（2）设当AB长度为a m时，S最大，列出函数关系式，推理求解即可．
【解答】解：（1）设当AB长度为x m时，矩形菜园的面积为150m2，
根据题意得：x（40﹣2x）＝150，
解得：x＝5或x＝15，
∵当x＝5时，40﹣2x＝30，不符合题意，
∴x＝5舍去，
答：当AB长度为15m时，矩形菜园的面积为150m2．
（2）设当AB长度为a m时，S最大，
S＝a（40﹣2a）
S＝40a﹣2a2．
∴AB＝﹣＝10（m），
S＝＝200（m），
答：当AB长度为10m时，矩形菜园的面积最大，最大值是200m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，3），B（3，n）．
（1）直接写出m＝ 3 ；n＝ 1 ；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集是 x＜0或1＜x＜3 ；
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PAB是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值；
（2）根据图象即可求得；
（3）分AP＝AB，BP＝AB，AP＝BP三种情况考虑，根据等腰三角形的性质或利用两点间的距离公式列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过A（1，3），
∴3＝，则m＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝，
又∵点B（3，n）在反比例函数y＝的图象上．
∴n＝1，
故答案为：3，1；
（2）∵A（1，3），B（3，1），
观察图象可知，不等式kx+b＞的解集为x＜0或1＜x＜3，
故答案为：x＜0或1＜x＜3；
（3）在y轴上存在一点P，使△PAB是等腰三角形；理由如下：
∵A（1，3），B（3，1），
∴AB＝＝2，
设点P坐标为（0，p），
①当PA＝AB时，得：＝2，
解得：p＝3+或3﹣，
此时点P坐标为（0，3+）或（0，3﹣）；
②当PB＝AB时，得：＝2，
此时无解；
③当PA＝PB时，得：＝，
解得：p＝0，
此时点P坐标为（0，0），
综上，点P的坐标为（0，3+）或（0，3﹣）或（0，0）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的突破口，也是解题的关键．
六、解答题四（本大题共2小题，共20分）
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
【分析】（1）先连接OD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE＝BE，推出∠EDB＝∠EBD，∠ODB＝∠OBD，即可求出∠ODE＝90°，根据切线的判定推出即可．
（2）首先证明AC＝2DE＝20，在Rt△ADC中，DC＝12，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+122，在Rt△ABC中，BC2＝（x+16）2﹣202，可得x2+122＝（x+16）2﹣202，解方程即可解决问题；．
【解答】（1）证明：连接OD，∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
又∵OD＝OB，
∴∠B＝∠BDO，
∵∠ADE＝∠A，
∴∠ADE+∠BDO＝90°，
∴∠ODE＝90°．
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，∵∠ADE＝∠A，
∴AE＝DE．
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°．
∴EC是⊙O的切线．
∴DE＝EC．
∴AE＝EC，
又∵DE＝10，
∴AC＝2DE＝20，
在Rt△ADC中，DC＝
设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+122，
在Rt△ABC中，BC2＝（x+16）2﹣202，
∴x2+122＝（x+16）2﹣202，解得x＝9，
∴BC＝．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），点B（0，3）
（1）求抛物线表达式和顶点C的坐标；
（2）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，
①直线PQ交x轴于点M，联结BQ、OP，如果S△BPQ＝2S△OPM，求PM的长；
②将上述抛物线向下平移，使得顶点C的对应点D恰好与点Q关于直线AB对称，求平移的距离．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①设点P的横坐标为m，则Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，0），用待定系数法求出直线AC的解析式，从而得出点P坐标，根据S△BPQ＝2S△OPM，列出关于m的方程，解方程即可；
②根据OA＝OB，PQ⊥x轴，得出∠QPB＝∠OBA＝45°，再根据点D恰好与点Q关于直线AB对称，得出PD∥x轴且PQ＝PD，然后列出关于m的方程，求出m，即点P坐标即可．
【解答】解：（1）将A（3，0），点B（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点C的坐标为（1，4）；
（2）①设点P的横坐标为m，则Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
将A（3，0），C（0，3）代入得，
，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴P（m，﹣m+3），
∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，PM＝﹣m+3，
∵S△BPQ＝2S△OPM，
∴PQ•OM＝2×OM•PM，
∴PQ＝2PM，
即﹣m2+3m＝2（﹣m+3），
解得m＝2，
∴PM＝﹣m+3＝1；
②如图：对称轴CD交AB于E，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵PQ⊥x轴，
∴∠QPB＝∠OBA＝45°，
∵D，Q关于AB对称，DQ⊥AB，
∴△PQF≌△PDF，
∴PQ＝PD，∠QPF＝∠DPF＝45°，
∴∠QPD＝90°，
∴PD∥x轴，
∴PD＝m﹣1，PQ＝﹣m2+3m，
∴m﹣1＝﹣m2+3m，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴P（1+，2﹣），
∴yD＝2﹣，
∴CD＝yC﹣yD＝4﹣（2﹣）＝2+．
即平移的距离为2+．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，用点的坐标表示线段长度，二次函数的几何变换等知识，关键是对二次函数性质的掌握和运用．
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