2021-2022学年北京平谷区初三上学期数学期末试卷及答案

这是一份2021-2022学年北京平谷区初三上学期数学期末试卷及答案，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1. 如果3x=5y，则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两内项之积等于两外项之积，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、由得5x=3y，故本选项不正确；
B、由得3x=5y，故本选项正确；
C、由得5x=3y，故本选项不正确；
D、由得5x=3y，故本选项不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
2. 如图，在△ABC中，DE//BC，=2， 若AE=6，则EC的值为（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴==2，
∵AE=6，
∴EC=3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A. ；B. ；
C. ；D. .
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
4. 如图，角在边长为1的正方形网格中，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】网格中的三角函数问题，根据网格的特点，先找到直角三角形，进而根据定义求解即可
【详解】解，如图
故选A
【点睛】本题考查了正切的定义，网格问题，理解正切的定义是解题的关键．在中，．
5. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．
【详解】解：连接OC，如图
∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．
6. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，作∠CAD=30°，CD⊥AD于D，若△ADC的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据30度的锐角三角形函数，△ADC的面积为1，分别用表示出，进而根据三角形面积公式求解即可
【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∠CAD=30°，CD⊥AD于D，
在中，,
,
△ADC的面积为1，
即,
故选C
【点睛】本题考查了解直角三角形，将都用表示出来是解题的关键．
7. 为了解不等式“”，明明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该不等式的解集为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式“”的解集即为直线的图像在反比例函数的图像上方的自变量的取值范围，进行求解即可．
【详解】解：由函数图像可知，不等式“”的解集即为直线的图像在反比例函数的图像上方的自变量的取值范围，
∴不等式“”的解集即为或，
故选D．
【点睛】本题主要考查了利用图像法求不等式的解集，解题的关键在于能够根据题意得到，不等式“”的解集即为直线的图像在反比例函数的图像上方的自变量的取值范围．
8. 用长为2米的绳子围成一个矩形，它的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系为（ ）
A. 正比例函数关系B. 反比例函数关系
C 一次函数关系D. 二次函数关系
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得矩形的一边长为米，则另一边长为米，根据矩形的面积公式计算即可求得则S与x的函数关系
【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一边长为米，
则
则S与x的函数关系为二次函数关系
故选D
【点睛】本题考查了二次函数的识别，表示出矩形的另一边的长是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 函数中，自变量x的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2；
故答案为x≠2．
10. 如图，在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠AOB=70º，那么∠C的度数为_______．
【答案】35°##35度
【解析】
【分析】利用圆周角定理求出所求角度数即可．
【详解】解：与都对，且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
11. 如图，若点P在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则矩形PMON的面积为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】设PN＝a，PM＝b，根据P点在第二象限得P（﹣a，b），根据矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：设PN＝a，PM＝b，
∵P点在第二象限，
∴P（﹣a，b），代入y＝中，得
k＝﹣ab＝﹣3，
∴矩形PMON的面积＝PN•PM＝ab＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，即S矩形PMON=
12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果csA=，AC=2，那么AB的长为________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据余弦的定义可得，代入AC=2即可求得
【详解】解：如图，
故答案为：6
【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在中，．
13. 如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为12m．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，则旗杆的高度为________．（单位：m）
【答案】9
【解析】
【分析】如图，BC=2m，CE=12m，AB=1.5m，利用题意得∠ACB=∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．
【详解】解：如图，
BC=2m，CE=16m，AB=1.5m，
由题意得∠ACB=∠DCE，
∵∠ABC=∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴，即，
∴DE=9．
即旗杆的高度为9m．
故答案为：9
【点睛】本题考查了相似三角形应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
14. 若二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_______．
【答案】m＜1
【解析】
【分析】根据△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点，列出不等式即可解决问题．
【详解】解：∵二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴4-4m＞0，
∴m＜1．
故答案为：m＜1．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是记住△=0⇔抛物线与x轴只有一个交点，△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点，△＜0⇔抛物线与x轴没有交点，属于中考常考题型．
15. 如图，是的切线，是切点．若，则______________．
【答案】130°
【解析】
【分析】由题意易得，然后根据四边形内角和可求解．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∴由四边形内角和可得：，
∵，
∴；
故答案为130°．
【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16. 某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1-8月份这种药材售价（元）与月份之间存在如下表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断_____ 月份出售这种药材获利最大．
【答案】5
【解析】
【分析】分别求出售价与月份之间的函数关系式、成本与月份之间的函数关系式以及利润与售价、成本之间的关系，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：设每千克的售价是y元，月份为x，则可设
把（3，8），（6，6）代入得，
解得，
∴
设每千克成本是z元，根据图象可设
把（3，4）代入，得
∴
∴
∴设利润为w，则有：

∵
∴有最大值，
∴当x=5时，w有最大值，
∴5月份出售这种药材获利最大．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值、二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】解：原式，
．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
18. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，
（1）求证：△ABC∽△ACD
（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据∠ABC=∠ACD，∠A=∠A即可证明,
（2）由上一问列出比例式,代入求值即可.
【详解】证明：
（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A

∴△ABC∽△ACD
（2）解：△ABC∽△ACD
∴
∵AD=2, AB=5
∴
∴AC=
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,列比例式是解题关键.
19. 已知二次函数．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（4）结合函数图象，直接写出当时，x取值范围．
【答案】（1）顶点坐标（-1，-4）；（2）抛物线与x轴交点为（-3，0），（1，0）；抛物线与y轴交点为（0，-3）；（3）见解析；（4）．
【解析】
【分析】（1）将函数关系式运用配方法配成顶点式即可解答；
（2）令y=0，得一元二次方程，求出x的值，可得函数图象与x轴的交点，令x=0，可得y的值，从而可得函数图象与y轴的交点；
（3）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象，可以写出x的取值范围．
【详解】解：（1）
∴顶点坐标（-1，-4）
（2）令y=0，得
解得，
∴抛物线与x轴交点为（-3，0），（1，0）；
令x=0，则y=-3
∴抛物线与y轴交点为（0，-3）
（3）如图所示．
（4）根据图象可得，当时，x的取值范围是：
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
20. 如图，A是上一点，过点A作的切线．
（1）①连接OA并延长，使AB=OA；
②作线段OB的垂直平分线；使用直尺和圆规，在图中作OB的垂直平分线l（保留作图痕迹）．
（2）直线l即为所求作的切线，完成如下证明．
证明：在中，∵直线l垂直平分OB
∴直线l经过半径OA的外端，且__________，
∴直线l是的切线（____________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）l⊥OA，经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．
【解析】
【分析】（1）根据题中给出的作图步骤完成作图即可；
（2）根据切线的判定定理证明即可
【详解】（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形如图所示；
（2）完成下面的证明
证明：在中，∵直线l垂直平分OB
∴直线l经过半径OA的外端，且l⊥OA，
∴直线l是的切线(经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线) ．
【点睛】本题考查了做垂线，切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键．
21. 如图，二次函数的图象过点A（0，3），B（2，3），C（-1，0）则
（1）该抛物线的对称轴为_________；
（2）该抛物线与x轴的另一个交点为_______；
（3）求该抛物线的表达式．
【答案】（1）x=1；（2）（3，0）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据坐标即可确定对称轴，根据函数值相等即可确定对称轴；
（2）根据对称轴以及C点的坐标即可确定另一个交点；
（3）根据待定系数法求解析式即可．
【详解】（1） A（0，3），B（2，3）
该抛物线的对称轴为x=1
故答案为：
（2），对称轴为
该抛物线与x轴的另一个交点为（3,0）;
故答案为：（3,0）
（3）∵抛物线过点（03）、（-1,0）、（2,3）
设二次函数的解析式为
由题意得，
解得，
∴
【点睛】本题考查了根据二次函数的对称性求对称轴，根据对称轴求与轴的交点问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22. 因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得点A恰好位于点B北偏东70°方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量，AB=10千米．你能否经过计算得出AC之间的距离．（精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34）
【答案】AC之间的距离约为12.8千米．
【解析】
【分析】过B作BH⊥AC于H，利用三角函数求出AH=9.4千米，BH=3.4千米，再根据CH=BH=3.4千米，求出AC之间的距离即可．
【详解】（1）过B作BH⊥AC于H，由题意，
∠BHC=∠BHA=90°，∠ABH=70°，∠CBH=45°，AB=10千米，
在Rt△ABH中，
∵sin∠ABH=，
∴AH=9.4千米
∵cs∠ABH=
∴BH=3.4千米
在Rt△BHC中，
∵∠BHC=90°，
∠HBC=∠C=45°
∴CH=BH=3.4千米
∴AC=9.4+3.4=12.8（千米）
答：AC之间的距离约为12.8千米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练构建直角三角形，利用解直角三角形解决问题．
23. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点．
（1）求a、的值；
（2）已知点，过点作垂直于轴的直线，与反比例函数图象交于点，与直线交于点．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记反比例函数图象在点，之间的部分与线段，围成的区域（不含边界）为Ｗ．
①当时，直接写出区域Ｗ内的整点个数；
②若区域Ｗ内的整点恰好为2个，结合函数图象，直接写出的取值范围．
【答案】（1）a=2，k=4；（2）①区域Ｗ内的整点个数为2个；②或．
【解析】
【分析】（1）把代入求得，然后根据待定系数法即可求得的值；
（2）①当时，得到为，，，，结合图象于是得到结论；
②分两种情况，根据图象即可得到结论．
【详解】解：（1）反比例函数的图象与直线交于点．
，
，
反比例函数的图象经过，
；
（2）①当时，则为，，
在区域内有2个整数点：，；
②由图可知，若区域内的整点恰好为2个，当点在点的右方时，则；
当点在点的左方时，则，
综上所述，若区域内恰有2个整点，的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，解题的关键是利用数形结合及分类讨论进行求解．
24. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，半径OD弦BC．
（1）求证：弧AD=弧CD；
（2）连接AC、BD相交于点F，AC与OD相交于点E，连接CD，若⊙O的半径为5，BC=6，求CD和EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）CD=，EF=1．
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据圆的性质，得到OB=OC；根据等腰三角形的性质，得到；根据平行线的性质，得到；在同圆和等圆中，根据相等的圆心解所对的弧等即得证．
（2）根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB=90°，根据平行线的性质求得∠AEO=∠ACB=90°，利用勾股定理求出AC=8，根据垂径定理求得EC=AE=4，根据中位线定理求出OE，在Rt△CDE中，根据勾股定理求出CD，因为，所以△EDF∽△BCF，最后根据似的性质，列方程求解即可．
【详解】（1）解：连结OC．
∵
∴∠1=∠B
∠2=∠C
∵OB =OC
∴∠B=∠C
∴∠1=∠2
∴弧AD=弧CD
（2）∵AB是的直径
∴∠ACB=90°
∵
∴∠AEO=∠ACB=90°
Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵BC=6，AB=10
∴AC=8
∵半径OD⊥AC于E
∴EC=AE=4
OE=
∴ED=2
由勾股定理得，CD=
∵
∴△EDF∽△CBF
∴
设EF=x，则FC=4-x
∴EF=1，经检验符合题意.
【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的有关性质：圆的半径相等；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等；直径所对的圆周角是直角；垂径定理；平行线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质等知识，正确理解圆的相关性质是解题的关键．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，过点C作CE∥AB，过点A作AE∥CD，两线相交于点E，连接DE．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）DE=5．
【解析】
【分析】（1）先证明四边形AECD是平行四边形，再根据CD⊥AB于D，即可证明；
（2）根据矩形的性质，得出∠BCD=∠ACE，再根据，得出，得出，在中即可得出．
【详解】证明：（1）CE∥AB，AE∥CD，
四边形AECD是平行四边形，
CD⊥AB于D，
∠CDA=90°，
四边形AECD是矩形；
（2）四边形AECD是矩形，
∠DCE=∠AEC=90°，AC=DE，
∠ACB=90°，
∠DCB+∠ACD=90°，
∠ACE+∠ACD=90°，
∠BCD=∠ACE，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的证明，锐角三角形的求解问题，解题的关键是根据正弦值求线段的长．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）用含a的式子表示b；
（2）若当－2≤x≤3时，y的最大值是7，求a的值；
（3）若点A（-2，m），B（3，n）为抛物线上两点，且mn