【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题03 不等式（14大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-

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知识聚焦
考点聚焦
知识点1 不等式关系与不等式
1、不等式的概念
用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫作不等式。
2、不等式中文字语言与符号语言之间的转换
知识点2 等式与不等式的的性质
1、等式的性质
2、不等式的性质
知识点3 基本不等式
1、两个不等式
重要不等式：,（当且仅当时取号）.
常见变形公式：、
基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.
常见变形公式： ；
【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2、由基本不等式引申出的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
3、利用基本不等式求最值
（1）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.
①一正：各项均为正数；
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.
（2）积定和最小，和定积最大
= 1 \* GB3 ①设x,y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为eq \f(s2,4).
= 2 \* GB3 ②设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2eq \r(p).
知识点4 一元二次函数、方程和不等式
1、一元二次不等式的相关概念
（1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
（2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）
（3）一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解；
一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集；
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。
2、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
3、解一元二次不等式的一般步骤
（1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；
（2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根；
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图；
（4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。
口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间
知识点5 其他不等式的解法
1、分式不等式的解法：解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。
设A、B均为含x的多项式
（1） （2）
（3） （4）
【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。
2、高次不等式的解法
如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：
（1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；
（2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正；
（3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）
（4）穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）
（5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；
若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间
3、含绝对值不等式
（1）绝对值的代数意义
正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
（3）两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．
（4）绝对值不等式：
= 1 \* GB3 ①的解集是，如图1．
= 2 \* GB3 ②的解集是，如图2．

= 3 \* GB3 ③．
= 4 \* GB3 ④或
考点剖析
考点1 不等式的性质及判断
【例1】（2023秋·湖北襄阳·高一校考阶段练习）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022秋·山东枣庄·高一校考阶段练习）如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）（多选）若，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·江苏泰州·高一校考阶段练习）（多选）已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式1-4】（2023秋·陕西·高一校考阶段练习）（多选）已知，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
考点2 求代数式的取值范围
【例2】（2023秋·湖北襄阳·高一宜城市第一中学校考阶段练习）已知，，则的取值范围是 ．
【变式2-1】（2023秋·四川南充·高一校考阶段练习）已知，，则的取值范围是 ．
【变式2-2】（2022秋·青海海东·高一校考阶段练习）（多选）已知，则的取值可以为（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【变式2-3】（2023秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2023秋·全国·高一专题练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点3 作差法与作商法比大小
【例3】（2023秋·湖北襄阳·高一校考阶段练习）已知，若，，则A与B的大小关系是（ ）
A．AB C．A＝B D．不确定
【变式3-1】（2023秋·四川南充·高一校考阶段练习）已知，设，，则有（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023秋·四川南充·高一校考阶段练习）设，则 （填“”､“”､“”或“”）.
【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）若，则、、、中最小的是 .
【变式3-4】（2020·高一课时练习）若实数，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
考点4 基本不等式成立的条件
【例4】（2022秋·广东珠海·高一校考阶段练习）对于，y取最小值时x的值为 ．
【变式4-1】（2023·全国·高一专题练习）若，，则当且仅当 时取等号．
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）不等式中等号成立的条件是 ．
【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023秋·广东广州·高一校考期末）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．时，的最小值是2
B．存在实数，使得不等式成立
C．若，则
D．若，且，则
考点5 无条件型不等式求最值
【例5】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式5-1】（2023秋·贵州黔西·高三校考阶段练习）的最小值为（ ）
A．4 B．7 C．11 D．24
【变式5-2】（2023秋·天津·高三校考期末）已知，则的最小值是 ．
【变式5-3】（2023·江苏·高一专题练习）已知，，则的最小值为 ．
【变式5-4】（2023秋·四川·高一校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．10
考点6 有条件型不等式求最值
【例6】（2023秋·广东佛山·高一校考开学考试）已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023秋·河北邢台·高三联考9月月考）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．13 B．16 C．9 D．12
【变式6-2】（2023秋·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）设正实数x、y、z满足，则的最大值为 .
【变式6-3】（2023秋·安徽亳州·高一校考阶段练习）设均为正数且，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
【变式6-4】（2023秋·全国·高一专题练习）已知且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
考点7 基本不等式恒成立问题
【例7】（2023秋·广西南宁·高二校考开学考试）若，，且，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式7-1】（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023秋·全国·高一专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【变式7-3】（2023秋·河北邢台·高三上9月月考）不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
考点8 基本不等式的实际应用
【例8】（2023·全国·高一专题练习）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于克 B．小于克 C．大于等于克 D．小于等于克
【变式8-1】（2023·全国·高一专题练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ）
A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米
【变式8-2】（2023·全国·高一专题练习）奋进新征程，建功新时代．某单位为提升服务质量，花费万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023·全国·高一专题练习）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（ ）
A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元
B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元
C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元
D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元
【变式8-4】（2023秋·高一单元测试）某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（ ）．
A．36平方米 B．48平方米 C．64平方米 D．72平方米
考点9 解不含参的一元二次不等式
【例9】（2023秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）一元二次不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2022秋·天津·高一统考期中）不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式9-2】（2022秋·广东茂名·高一校考期中）不等式的解集是 ．
【变式9-3】（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）解下列一元二次不等式．
（1）；
（2）.
【变式9-4】（2023秋·湖北宜昌·高一校考阶段练习）解下列不等式
（1）
（2）
考点10 解含参一元二次不等式
【例10】（2023秋·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2023秋·湖北荆州·高一校考阶段练习）若，则关于的不等式的解集为 ．
【变式10-2】（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式：().
【变式10-3】（2022秋·高一单元测试）解关于x的不等式，．
考点11 解分式不等式与高次不等式
【例11】（2023秋·河北保定·高一校考开学考试）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（2023秋·北京石景山·高一统考期末）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】（2022秋·河北张家口·高一校考期中）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-3】（2022秋·陕西宝鸡·高二统考期中）不等式解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
【变式11-4】（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为 .
考点12 解含绝对值的不等式
【例12】（2023秋·四川雅安·高一校考开学考试）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【变式12-2】（2023秋·江苏南京·高一校考阶段练习）不等式的解为 .
【变式12-3】（2023·上海虹口·高三校考模拟预测）不等式的解集为 .
【变式12-4】（2023秋·福建宁德·高一校考开学考试）解不等式：
（1）；
（2）；
考点13 由一元二次不等式的解集求参
【例13】（2023春·新疆喀什·高一校考阶段练习）若不等式的解集为，则实数（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式13-1】（2023·高一课时练习）已知不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】（2023·全国·高一专题练习）关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式13-3】（2023·江苏·高一专题练习）（多选）若关于的不等式的解集为，则的值不可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-4】（2022秋·全国·高一期中）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
考点14 一元二次不等式恒成立问题
【例14】（2022秋·江西南昌·高一校考阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式14-1】（2023秋·上海静安·高三校考开学考试）设不等式对一切都成立，则的取值范围是 .
【变式14-2】（2023秋·四川雅安·高一校考开学考）（多选）当时，不等式恒成立，则m的范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式14-3】（2023·江苏·高一专题练习）不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式14-4】（2023秋·全国·高一专题练习）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
过关检测
1．（2023秋·全国·高一专题练习）已知，下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高一专题练习）设，则有（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河北·高一校联考阶段练习）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·安徽宣城·高一校考阶段练习）已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
5．（2022秋·高一单元测试）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．36 B．42 C．49 D．6
6．（2022秋·全国·高一校联考阶段练习）若，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．或 C．或 D．
7．（2022秋·全国·高一阶段练习）（多选）下列函数最小值为2的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·全国·高一校联考阶段练习）（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
9．（2023秋·高一单元测试）（多选）不等式对任意的恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·高一单元测试）不等式的解集为 ．
11．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的取值范围为 .
12．（2022秋·湖北武汉·高一武钢三中校考阶段练习）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 ．
13．（2023秋·高一单元测试）求解下列不等式的解集：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）.
14．（2023秋·高一单元测试）已知关于的不等式的解集为或
（1）求，的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
15．（2022秋·高一单元测试）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．文字语言
大于、高于、超过
小于、低于、少于
大于或等于、
至少、不低于
小于或等于、至多、
不多于、不超过
符号语言
性质
文字表述
性质内容
注意
1
对称性
可逆
2
传递性
同向
3
可加、减性
可逆
4
可乘性
同向
5
可除性
同向
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b⇔b可逆
2
传递性
a>b，b>c⇒a>c
同向
3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc
a>b，c<0⇒acc的符号
5
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
6
正数同向可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向
7
正数乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
同正
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅