【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题06 幂指对函数的图象与性质（10大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-

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知识聚焦
考点聚焦
知识点1 根式与指数幂
1、根式
（1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）的次方根的表示
当n是奇数时，，的值仅有一个，记为
当n是偶数， = 1 \* GB3 ①时，的有两个值，且互为相反数，记为；
= 2 \* GB3 ②时，不存在
（3）根式的性质（，且）：；
2、分数指数幂
（1）正分数指数幂：规定：
（2）负分数指数幂：规定：
（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3、指数幂的运算性质
（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
（2）指数幂的运算性质
①． ②． ③．
知识点2 对数与对数运算
1、对数的概念与性质
（1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，lgaN叫做对数式。
（2）对数的性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝lgaN(a>0，且a≠1)；
= 1 \* GB3 ①lga1＝0， = 2 \* GB3 ②lgaa＝1， = 3 \* GB3 ③algaN＝N， = 4 \* GB3 ④ lgaaN＝N (a>0，且a≠1).
指数式与对数式的关系
2、对数的的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0
= 1 \* GB3 ①lga(M·N)＝lgaM＋lgaN = 2 \* GB3 ②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN = 3 \* GB3 ③lgaMn＝nlgaM(n∈R)
3、换底公式
（1）lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。
（2）换底公式的三个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)； (2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab； (3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
知识点3 幂函数的图象与概念
1、幂函数的概念与图象
（1）定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（2）幂函数的特征： = 1 \* GB3 ①xα的系数是1； = 2 \* GB3 ②xα的底数x是自变量； = 3 \* GB3 ③xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数．
（3）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象(如图)．
2、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
知识点4 指数函数的图象与性质
1、指数函数的概念
（1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，
其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
（2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：
= 1 \* GB3 ①如果，当
= 2 \* GB3 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．
= 3 \* GB3 ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．
2、指数函数的图象与性质
3、指数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围
（2）形如（，且）的函数求值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
知识点5 对数函数的图象与性质
1、对数函数的概念
（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
（2）特殊的对数函数
= 1 \* GB3 ①常用对数函数：以10为底的对数函数.
= 2 \* GB3 ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
2、对数函数的图象与性质
【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，
又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴.
3、对数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。
（2）形如（，且）的函数的值域
换元法:令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
考点剖析
考点1 指数式与对数式化简
【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）将化成指数式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】把对数式化成指数式，为．故选：A．
【变式1-1】（2023·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将两边平方，得，即，
所以.故选：A.
【变式1-2】（2023·甘肃武威·高一统考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故选:B.
【变式1-3】（2023·广东韶关·高一校考阶段练习）已知，是方程的两根，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由韦达定理可得：，.
所以.故选：D
【变式1-4】（2023·湖北·高一洪湖市第一中学校联考阶段练习）求值：
（1）.
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式；
（2）原式.
考点2 幂指对函数定义与解析式
【例2】（2023·宁夏吴忠·高一校考阶段练习）给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为指数函数的形式为且，
所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误.故选：C.
【变式2-1】（2023·高一课时练习）下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；
函数是对数函数，C是；
函数的底数含有参数，
而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.故选：C
【变式2-2】（2023·江西新余·高一校考期中）（多选）若函数是指数函数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因为函数是指数函数，
所以，解得或.故选：AB
【变式2-3】（2023·云南·高一云南师大附中校考期末）已知函数是幂函数，则 .
【答案】8
【解析】函数是幂函数，∴ 所以.
【变式2-4】（2023·高一课时练习）已知函数是对数函数，则 ．
【答案】1
【解析】因为函数是对数函数，
则，解得．
考点3 求幂指对函数的定义域
【例3】（2023·山西吕梁·高一校联考阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】是幂函数，设，将代入解析式，
得，解得，故，则，
故，解得故选：B
【变式3-1】（2023·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为幂函数的定义域为R，故，解得，
又，所以，检验，时，，即，满足题意．故选：C
【变式3-2】（2023·四川成都·高一盐道街中学校考期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域满足，解得且.
【变式3-3】（2023·贵州毕节·高一校考阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要使函数有意义需满足，解得，则函数的定义域为.故选：A.
【变式3-4】（2023·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【解析】要使有意义，则应有，解得且.故选：D.
考点4 求幂指对函数的值域
【例4】（2023·广东云浮·高一云安中学校考阶段练习）函数（且）的值域是，则实数（ ）
A．3 B． C．3或 D．或
【答案】C
【解析】函数（且）的值域为，
又由指数函数的单调性可知，
当时，函数在上单调递减，值域是
所以有，即 ，解得；
当时，函数在上单调递增，值域是
所以有，即 ，解得.
综上所述，或.故选：C.
【变式4-1】（2023·重庆·高一南开中学校考阶段练习）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．函数的值域为 B．函数的值域为
C．函数的值域为 D．函数的值域为
【答案】BCD
【解析】对于选项A：因为，
且在上单调递减，可得，
所以函数的值域为，故A错误；
对于选项B：令，解得，
可知函数的定义域为，
因为在上单调递增，且，可得，则，
所以函数的值域为，故B正确；
对于选项C：令，则，可得，
因为开口向上，对称轴为，
可得在上单调递增，且，
所以的值域为，
即函数的值域为，故C正确；
对于选项D：由题意可得的定义域为，
因为，即，可得，
所以函数的值域为，故D正确；故选：BCD.
【变式4-2】（2023·高一课时练习）函数在区间上的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上是减函数，，即值域为.故选：A.
【变式4-3】（2023·江苏苏州·高一昆山震川高级中学校考阶段练习）已知，则的值域是 ．
【答案】
【解析】因为，
所以的定义域满足，解得，
因为在上单调递增，所以令，
又，
则，
易知在上单调递增，
则当时，；当时，，
所以的值域为.
【变式4-4】（2023·广东·高一校联考期中）已知函数.
（1）求方程的根；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，可得，整理可得，
分解因式可得，由，解得，则.
（2）由，根据函数在上单调递增，则，
令，，
根据二次函数的性质，则，
由函数在上单调递增，则.
考点5 幂指对函数的图象问题
【例5】（2023·陕西西安·高一校考阶段练习）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，，，四个值，与曲线、、、相应的依次为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】A
【解析】由图象可知，曲线在第一象限单调递增，
且增长速度越来越快，故，所以，
曲线在第一象限单调递增，且增长速度越来越慢，故，故，
曲线和在第一象限均单调递减，故，
其中当时，，，而，
故为的图象，为的图象.故选：A
【变式5-1】（2023·安徽·高一校联考阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，当时，二次函数对称轴为，
对选项A：根据确定，二次函数开口向下，对称轴在轴右边，满足；
对选项B：根据确定，二次函数开口向下，不满足；
对选项C：根据确定，二次函数开口向上，对称轴在轴左边，满足；
对选项D：取，则，，满足图像；故选：B
【变式5-2】（2023·辽宁阜新·高一阜新市高级中学校考阶段练习）（多选）在同一平面直角坐标系中，函数与（且）的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】函数与的图象都过定点，故D错误；
又因为与单调性相反，故B错误，AC正确.故选：AC.
【变式5-3】（2023·广西柳州·高一柳州高级中学校考期中）要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数，
要使图象不经过第一象限，则，解得.故选：B.
【变式5-4】（2023·河南周口·高一周口恒大中学校考期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D
考点6 幂指对函数过定点问题
【例6】（2022·上海·高一市西中学校考期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ．
【答案】
【解析】因为，故当，即时，，
即函数恒过定点.
【变式6-1】（2023·广东佛山·高一统考期中）函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则 .
【答案】
【解析】对于函数，令，解得，此时，
所以函数的图象恒过定点，
设幂函数，
代入可得，解得，
则，所以.
【变式6-2】（2023·海南·高一校考阶段练习）函数（，）的图象经过定点，若点也在函数的图象上，则 .
【答案】
【解析】由，解得，，所以，
所以，
所以，所以.
【变式6-3】（2023·江苏无锡·高一校联考期中）已知函数的图像恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】∵恒过定点
∴，∴，
∴为减函数，且过点，大致图像如图所示
∴的函数图象不经过第三象限．故选：C
【变式6-4】（2023·福建莆田·高一校考期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】函数的图象恒过定点，所以 ,
因为，所以，
当时，的最小值为4.
考点7 幂指对函数的单调性问题
【例7】（2023·云南保山·高一腾冲市第一中学校联考阶段练习）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，为上的减函数，A不是；
对于B，为上的减函数，B不是；
对于C，在上不单调，C不是；
对于D，为上的增函数，D是.故选：D
【变式7-1】（2023·海南海口·高一海南中学校考阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于函数，解得或，
故函数的定义域为，
函数的开口向上，对称轴为；
函数在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是.故选：D
【变式7-2】（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则t在上递减，在上递增，
又在R上递增，所以的单调递减区间为，故选：B
【变式7-3】（2023·上海·高一建平中学校考阶段练习）已知幂函数在上是严格减函数，则 .
【答案】
【解析】由题意知
当时,,在上不是严格减函数,不符合,舍去;
当时,,在上是严格减函数，符合题意.
.
【变式7-4】（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第十五中学校考阶段练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知函数由复合而成，
在上为增函数，由复合函数的同增异减性，
可知需为R上的增函数，
故，∴，∴或，故选：D.
【变式7-5】（2023·贵州毕节·高一校考阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由在区间上单调递增，在上单调递增，
故在上单调递增，即有，即，
又在上恒成立，故，即，综上，，
即实数的取值范围为.
考点8 幂指对比较大小
【例8】（2023·河南郑州·高一省实验中学校考阶段练习）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，
故.故选：D
【变式8-1】（2023·天津·高一杨柳青第一中学校考期末）已知，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
而，即，所以.故选：D.
【变式8-1】（2023·湖北襄阳·高一校考期末）若已知，， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，且，即；
且，即；
且，即；所以.故选：A.
【变式8-2】（2023·四川凉山·高一校联考期末）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，，
由，则，
根据函数在上单调递减，所以，
根据函数在上单调递减，由，则，
根据函数在上单调递增，由，则.故选：A.
【变式8-3】（2023·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】；
；
；
故.故选：C.
考点9 幂指对函数解不等式
【例9】（2023·广东韶关·高一校考阶段练习）求满足下列条件的的取值范围．
（1）；
（2）（，且）．
【答案】（1）；（2）当时，；当时，.
【解析】（1）因为，所以，
又因为在上单调递减，所以，
所以的取值范围为；
（2）当时，在上单调递减，
因为，所以，即，解得或，
所以的取值范围为；
当时，在上单调递增，
因为，所以，即，解得，
所以的取值范围为；
综上所述，当时，；当时，.
【变式9-1】（2023·云南昭通·高一校联考阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，定义域为，
，
所以由指数函数与对数函数性质得在 上单调递减，
，
故 为奇函数， 在 上单调递减，
原不等式可化为, 即,
得，解得，故选：B.
【变式9-2】（2023·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为恒成立，故恒成立，故的定义域为.
令，则，
故，故为上的奇函数.
在上，均为增函数，故在上为增函数，
又在上为奇函数，且在上为增函数，
故为奇函数，且在上增函数，所以在上单调递增，
由可得：，
即也就是，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
故，即m的取值范围为.
【变式9-3】（2023·江西新余·高一校考期中）已知指数函数且，经过点．
（1）求的解析式及的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）指数函数经过点，则且，得，
故，则.
（2）因为，即，
又函数在R上是增函数，有，解得，
所以x取值范围为.
【变式9-4】（2023·广西钦州·高一校考期中）已知是幂函数.
（1）求、的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为是幂函数，
所以，解得；
（2）由（1）可知，定义域为，且，
所以是上的单调递增函数，
又因为，
所以，解得，
所以的取值范围是.
考点10 幂指对函数的综合问题
【例10】（2023·福建龙岩·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，．
（1）若，求；
（2）已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）对于幂函数，得，解得或，
又当时，不为偶函数，，
，，，解得；
（2）关于x的不等式在上恒成立，
即在上恒成立，即，
先证明在上单调递增：
任取，
则，
，，，又，
，
，即，
故在上单调递增，，
，又，解得.
【变式10-1】（2023·四川成都·高一校联考期末）若函数为定义在上的奇函数.
（1）求实数的值，并证明函数的单调性；
（2）若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），证明见解析；（2）
【解析】（1）因为函数为定义在上的奇函数，
所以，解得，
经检验符合题意，
所以，
证明：任取，，且，
则
因为，所以，
所以，， ，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（2）因为，在上的奇函数，
所以，
由（1）知函数在上单调递增，
所以，成立，
即，成立，
设，则，
所以，，
所以，，
设，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以，所以.
【变式10-2】（2023·浙江温州·高一浙江省平阳中学校联考期中）设函数.
（1）若函数为奇函数，求方程的实根；
（2）若函数在上的最大值为，求实数的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为函数为奇函数，
所以即，
所以，因为，所以，即，
所以，则方程即，
化简得，解得或（舍去），
所以，所以方程的实根为.
（2），设，由得，
令，则，，函数的对称轴为，
当即时，，所以；
当即时，，所以，不合题意舍去；
综上，实数的值为.
【变式10-3】（2023·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知函数.
（1）求函数的定义域，
（2）判断并证明函数的奇偶性，
（3）判断函数的单调牲（只写出结论即可），并求当时，函数的值域.
【答案】（1）；（2）奇函数；证明见解析.；（3）增函数；.
【解析】（1）由，即，解得，所以此函数定义域为.
（2）奇函数，证明如下：
由（1）知函数定义域为，
，所以为奇函数.
（3），
由函数在定义域上单调递增，函数也是增函数，
所以由复合函数单调性知函数为单调递增函数.
故在其定义域内为增函数；
当时，，即的值域为.
【变式10-4】（2023·山东潍坊·高一统考阶段练习）已知函数，且是定义在上的奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为为奇函数，
所以，
即，即，
所以，解得，，
因为，所以，，
当时，，定义域为，不符合要求；
当时，，满足要求；所以；
（2）因为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以在上的值域为，
因为对任意，存在，使得成立，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，所以，所以．
过关检测
1．（2023·安徽安庆·高一安庆一中校考期中）已知函数是幂函数，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】由题知，解得，，故选：C.
2．（2023·云南昆明·高一昆明一中校考阶段练习）若幂函数图象过点，且，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知条件可得，解得，则，
所以，函数在上为增函数，
由可得，解得.故选：B.
3．（2023·安徽安庆·高一安庆一中校考期中）函数 的定义域为（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】A
【解析】由题知，解得或，
即函数的定义域为{或}.故选：A.
4．（2023·广西玉林·高一博白县中学校考阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，易得函数的定义域为，
且，
所以函数为偶函数，故排除B,D;
又，故A正确，D错误，故选:A.
5．（2023·天津·高一杨柳青第一中学校考期末）已知函数，则（ ）
A．为奇函数，且在是增函数 B．为偶函数，且在是增函数
C．为奇函数，且在是减函数 D．为偶函数，且在是减函数
【答案】A
【解析】已知函数的定义域为,且，
所以函数为奇函数，则B,D错误；
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上是增函数，故A正确，C错误，故选:A.
6．（2023·河南驻马店·高一校联考阶段练习）已知函数，实数，满足，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】，
所以的定义域为，
，
所以是奇函数，由可得.故选：B
7．（2023·四川成都·高一校联考期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在区间上单调递增，
所以在上恒成立，且在上单调递增，
所以，故选：D.
8．（2023·浙江宁波·高一鄞州中学校考阶段练习）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于，得，
因为函数在定义域上单调递增，，所以，
由于，得，
因为函数在定义域上单调递增，，所以，
且，得，
由于，函数在定义域上单调递减，所以，
总之，，即成立.故选：C.
9．（2023·四川成都·高一期末）（多选）已知函数，当是函数图象上的点时，是函数图象上的点，则（ ）
A．
B．若，则的取值范围为
C．若，则的取值范围为
D．
【答案】AC
【解析】设，则，
所以，故A正确，D错误；
，
则，故B错误，C正确.故选：AC
10．（2023·江苏徐州·高一校考阶段练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数是定义在R上的偶函数
B．函数在定义域内既是奇函数又是减函数
C．若，为奇函数，则
D．若的值域为
【答案】CD
【解析】对于A：的定义域为R，因为，
所以函数是定义在R上的奇函数，故A错误.
对于B：取则，，与减函数不符，故B错误.
对于C：由题设，，且，
故，即，故，故C对；
对于D：由，则，
所以在上有零点即可，
只需，即，即值域为，
此时，对称轴，故在上有零点，故D对.故选：CD.
11．（2023·江西新余·高一校考期中）已知幂函数过定点，且满足，则的范围为 ．
【答案】
【解析】设，则，解得，
所以，函数的定义域为且为增函数，
，为奇函数，
所以，即，
所以，解得或，
故的取值范围为.
12．（2023·安徽亳州·高一蒙城县第六中学校考阶段练习）已知函数是偶函数，则实数= .
【答案】
【解析】,
由于是偶函数，
所以，
故，即，所以，
当时，，定义域为,满足题意，
所以.
13．（2023·四川成都·高一期末）已知函数，，则在区间上的最大值与最小值之和为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
在上函数满足：
奇函数在区间上的最大值与最小值互为相反数，其和为.
14．（2023·江苏徐州·高一校考阶段练习）化简求值：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）2
【解析】（1）.
（2）
．
15．（2023·山西·高一校联考期中）已知函数（且，为常数）的图象经过点，.
（1）求的值；
（2）设函数，求在上的值域.
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）因为的图象经过点，，
所以，两式相减得，
又且，解得或（舍去），则.
（2）由（1）得，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，
，
故在上的值域为.
16．（2023·河南郑州·高一河南省实验中学校考阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值.
（2）试判断的单调性，并用定义证明.
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）单调递减，证明见解析；（3）
【解析】（1）定义域为的函数是奇函数，则，，
，，，函数为奇函数；
（2）函数在上单调递减.
设，则，
，，故，故，
即，故函数在上单调递减.
（3）是定义在上的减函数和奇函数，
，即，即，
，即，解得.
图象
性质
定义域
值域
过定点
单调性
在上是增函数
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化
当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
单调性
是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数