【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题07 三角函数的概念与诱导公式（12大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-

专题07 三角函数的概念与诱导公式知识聚焦考点聚焦知识点1 任意角与弧度制1、任意角的定义（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。（2）角的表示： = 1 \* GB3 ①始边：射线的起始位置． = 2 \* GB3 ②终边：射线的终止位置． = 3 \* GB3 ③顶点：射线的端点O． = 4 \* GB3 ④记法：图中的角可记为“角”或“”或“”．（3）角的分类： = 1 \* GB3 ①正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； = 2 \* GB3 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； = 3 \* GB3 ③零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角2、象限角与轴线角（1）象限角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。（2）轴线角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。3、角度制与弧度制（1）角度制与弧度制的定义 = 1 \* GB3 ①规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. = 2 \* GB3 ②弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. = 3 \* GB3 ③弧度制与角度制的区别与联系（2）角度制与弧度制的换算（3）一些特殊角的度数与弧度数的对应表4、弧长与扇形面积公式设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：知识点2 三角函数的定义与符号1、三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，叫做的正弦函数，记作.即；叫做的余弦函数，记作.即；叫做的正切函数，记作.即。【补充】三角函数另一种定义设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，.三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关2、三角函数的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点3 同角三角函数的基本关系1、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：， 文字表述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1（2）商数关系：， 文字表述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切2、三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．3、三角函数恒等式证明证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或eq \f(左边,右边)＝1(右边≠0)．④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．知识点4 诱导公式1、诱导公式（一~六）诱导公式一：，，，其中诱导公式二： ，，，其中诱导公式三： ，，，其中诱导公式四：，，，其中诱导公式五：，，其中诱导公式六：，，其中【小结】诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.2、用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．3、用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．（3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．考点剖析考点1 任意角与弧度制的概念【例1】（2023·上海·高一建平中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2023·高一单元测试）如果第一象限角，锐角，小于的角，那么三者之间的关系是（ ）．A． B． C． D．【变式1-2】（2023·江西萍乡·高一安源中学校考期中）（多选）下列说法中正确的是（ ）A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【变式1-3】（2023·浙江杭州·高一统考期末）军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的所对的圆心角的大小，.若角密位，则（ ）A． B． C． D．【变式1-4】（2023·甘肃白银·高一靖远县第一中学校考期末）春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气．它将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24等份，每等份为一个节气，2022年10月8日为寒露，经过霜降､立冬､小雪及大雪后，便是冬至，则从寒露到冬至，地球公转的弧度数约为（ ）A． B． C． D．考点2 终边相同的角的表示【例2】（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）下列各角中，与角终边重合的是（ ）A． B． C． D．【变式2-1】（2023·福建莆田·高一莆田第五中学校考阶段练习）与终边相同的最小正角是（ ）A． B． C． D．【变式2-2】（2023·浙江杭州·高一校考阶段练习）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）A． B． C． D．【变式2-3】（2023·湖南长沙·高一长沙市第十五中学校联考阶段练习）与角终边相同的角可以表示为（ ）A．， B．，C．， D．，【变式2-4】（2023·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）A． B．C． D．考点3 根据图形写出角的范围【例3】（2023·海南·高一校考阶段练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）A． B． C． D．【变式3-1】（2023·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）A． B． C． D． 【变式3-2】（2022·高一课时练习）若角的终边与函数的图象相交，则角的集合为（ ）A． B．C． D．【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）用弧度写出终边落在如图阴影部分（不包括边界）内的角的集合．【变式3-4】（2023·全国·高一期末）用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边重合于x轴的非负半轴、终边落在阴影部分内（包括边界）的角的集合.  考点4 确定n倍角与n分角的象限【例4】（2023·北京·高一北师大二附中校考期中）设是第二象限角，则的终边在（ ）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【变式4-1】（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）如果是第三象限角，则是（ ）A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【变式4-2】（2023·吉林长春·高一实验中学校考期末）（多选）若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（ ）A． B． C． D．【变式4-3】（2023·全国·高一校联考开学考试）（多选）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在第二象限，则角2的终边可能在（ ）A．x轴的负半轴上 B．y轴的负半轴上 C．第三象限 D．第四象限【变式4-4】（2023·高一单元测试）（多选）角的终边在第三象限，则的终边可能在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限考点5 扇形的弧长与面积问题【例5】（2023·吉林·高一吉林一中校考期末）已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角的弧度为（ ）A． B． C．2 D．4【变式5-1】（2023·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知扇形的圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4，则该扇形的面积为（ ）A． B． C． D．【变式5-2】（2023·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台.”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形环（扇形环是一个圆环被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打开时，其扇形环扇面尺寸（单位：）如图所示，则该扇面的面积为（ ）A． B． C． D．【变式5-3】（2023·山东青岛·高一校考阶段练习）《九章算术》中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，弧田是由弧和弦所围成的弓形部分（如图阴影部分）.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为（ ）A． B． C． D．【变式5-4】（2023·全国·高一期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R.（1）若，，求扇形的面积；（2）若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数；（3）若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值.考点6 利用定义求三角函数值【例6】（2023·河南郑州·高一郑州十一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（ ）A． B． C． D．【变式6-1】（2023·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）已知角的终边过点，则的值为（ ）A． B． C． D．【变式6-2】（2023·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知角的顶点为平面直角坐标系的原点，始边与x轴非负半轴重合，若角的终边所在直线的方程为，则的值为（ ）A． B． C．3 D．5【变式6-3】（2023·江苏淮安·高一校考阶段练习）（多选）若角的终边经过点，且，则（  ）A．0 B．1 C． D．2【变式6-4】（2023·福建莆田·高一莆田第五中学校考阶段练习）（多选）直角坐标系中中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（ ）A． B． C． D．是第四象限角考点7 三角函数的符号判断【例7】（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）（多选）下列函数值符号为正的是（ ）A． B． C． D．【变式7-1】（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知为第三象限角，则（ ）A． B． C． D．【变式7-2】（2023·广东惠州·高一惠州一中校考阶段练习）已知角的终边位于第二象限，则点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式7-3】（2023·河南郑州·高一实验中学校考阶段练习）命题：是第二象限角或第三象限角，命题：，则是的（ ）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式7-4】（2023·陕西西安·高一校考阶段练习）在下列各选项中，角为第二象限角的充要条件是（ ）A． B． C． D．考点8 圆上的动点与旋转点【例8】（2023·四川·校联考模拟预测）已知点为角终边上一点，绕原点将顺时针旋转，点旋转到点处，则点的坐标为（ ）A． B． C． D．【变式8-1】（2022·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M，N同时从点出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向旋转，速度为弧度/秒，点N按顺时针方向旋转，速度为弧度/秒，则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为（ ）A． B． C． D．【变式8-2】（2023·江苏无锡·高一泰州中学校联考阶段练习）（多选）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标可以为（ ）A． B． C． D．【变式8-3】（2022·全国·高三专题练习）设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是 ．【变式8-4】（2023·北京·高三广渠门中学校考阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则 ．考点9 sina、cosa、tana知一求二【例9】（2023·江苏盐城·高一伍佑中学校联考阶段练习）已知，且，则（ ）A． B． C． D．【变式9-1】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）若角为第二象限角，，则（ ）A． B． C． D．【变式9-2】（2023·江苏·高一专题练习）已知为第三象限角，且，则的值为（ ）A．－ B． C．－ D．【变式9-3】（2023·高一课时练习）（多选）下列命题是真命题的是（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式9-4】（2023·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考阶段练习）（1）已知，且为第二象限角，求的值；（2）已知，求的值.考点10 正余弦齐次式的应用【例10】（2023·福建泉州·高一泉港区第一中学校联考阶段练习）已知，则等于（ ）A． B．2 C．0 D．【变式10-1】（2022上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）已知，则（ ）A． B． C．或1 D．或1【变式10-2】（2023·广西·高一校联考阶段练习）若角终边经过点，则的值为（ ）A． B．1 C． D．【变式10-3】（2023·海南·校联考模拟预测）若，且，则（ ）A． B． C． D．【变式10-4】（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知点在角的终边上，且．（1）求和的值；（2）求的值．考点11 sina·cosa、sina±cosa关系【例11】（2023·广东汕头·高一校考期中）已知，，则（ ）A． B． C． D．【变式11-1】（2022·安徽亳州·高一校考期末）设，则（ ）A． B． C． D．【变式11-2】（2023·江苏·高一期末）（多选）已知，，则下列等式正确的是（ ）A． B． C． D．【变式11-3】（2023·山东济宁·高一嘉祥第一中学校考阶段练习）已知角的终边经过点，（1）求的值；（2）若是方程的两个根，求的值.【变式11-4】（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知关于x的方程的两个根为和，（1）求的值；（2）求m的值.考点12 利用诱导公式化简求值【例12】（2023·四川宜宾·高一统考阶段练习）（ ）A． B． C． D．【变式12-1】（2023·天津·高一校考阶段练习）的值为 ．【变式12-2】（2023·全国·高一专题练习）化简：（1）；（2）.【变式12-3】（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）已知．（1）化简；（2）若为第三象限角，且，求的值．【变式12-4】（2023·广东广州·高一天河中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角．（1）求；（2）求的值；过关检测1．（2023·河北保定·高一清苑中学校考阶段练习）已知，且，则（ ）A． B． C． D．2．（2023·安徽安庆·高一安庆一中校考期中）已知是关于的一元二次方程的两个实根，若，则角的大小为（ ）A． B． C． D．3．（2023·福建龙岩·高一长汀县第一中学校考阶段练习）的值为（ ）A． B． C． D．4．（2023·四川成都·高一成都列五中学校考阶段练习）若角的终边过点，则( )A． B． C． D． 5．（2023·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2023·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知，则（ ）A． B． C． D．27．（2022·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（ ） A． B． C． D．8．（2023·福建泉州·高一德化第一中学校联考阶段练习）若角与角的终边相同，则（ ）A． B．C． D．9．（2023·云南昆明·高一校考阶段练习）（多选）下列说法中，正确的是（ ）A．是第二象限角B．第三象限角大于第一象限角C．若角为第三象限角，那么为第二象限角D．若角与角的终边在一条直线上，则10．（2023·四川成都·高一校联考期末）（多选）已知，则下列结论正确的有（ ）A． B． C． D．11．（2023·湖北·高一仙桃中学校联考阶段练习）若一个扇形的面积为，则当半径为 时扇形的周长最小.12．（2023·甘肃白银·高一靖远县第一中学校考期末）已知，则实数 ．13．（2023·山东青岛·高一青岛二中校考阶段练习）已知O为坐标原点，点P的初始位置坐标为，线段绕点O顺时针转动后，点P所在位置的坐标为 .14．（2023·山东泰安·高一新泰市第一中学校考阶段练习）（1）（2）若，化简15．（2023·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知关于的方程的两个根分别为和，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求方程的两根及的值．16．（2023·河南开封·高一杞县高中校联考期中）已知函数，其中为第三象限角且（1）求的值；（2）求的值.象限角集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角角的终边位置集合表示轴的非负半轴轴的非正半轴轴上轴非负半轴轴非正半轴轴上区别（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同.联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝eq \f(π,180) rad≈0.017 45 rad1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq \f(π,180)＝弧度数弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长扇形的面积