【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题07+向量的应用（8大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-讲义

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知识聚焦
考点聚焦
知识点1 向量在几何中的应用
1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
2、利用向量证明平面几何的两种经典方法
（1）线性运算法
第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）；
第二步：利用基底表示相关向量；
第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。
（2）坐标运算法
第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）；
第二步：把相关向量坐标化；
第三步：用向量的坐标运算找到相应关系；
第四步：利用向量关系回答几何问题。
知识点2 向量在物理中的应用
1、向量在物理应用中的主要解题思路
（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；
（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；
（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；
（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。
2、力学问题的向量处理方法
（1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；
（2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。
3、速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成
（1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论；
（2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。
3、功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。
考点剖析
考点1 利用向量证明线段证明
【例1】（2023·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．
【变式1-1】（2023·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．
（1）求重心E的坐标；
（2）用向量法证明：．
【变式1-2】（2023·海南·高一校考期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.
（1）设，，用，表示，；
（2）猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
【变式1-3】（2023·河南信阳·高一校联考期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．

（1）请用，表示向量；
（2）若，设，的夹角为，若，求证：．
考点2 利用向量证明线段平行
【例2】（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形．
【变式2-1】（2023·高一课时练习）设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点
（1）试用向量证明：PQAB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.
【变式2-2】（2023·河北保定·高一校联考期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．
（1）求的最小值．
（2）若点满足，证明：．
【变式2-3】（2023·广东·高二校联考阶段练习）如图，三点不共线，，，设，.
（1）试用表示向量；
（2）设线段的中点分别为，试证明三点共线.
考点3 用向量求线段长度
【例3】（2023·福建·高一校联考期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·海南海口·高一海口一中校考期中）在中，内角的对边分别为，，，且满足，若为边上中线，，，则 .
【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是
【变式3-3】（2023·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在中，.
（1）求的长；
（2）求的长.
考点4 用向量求几何夹角
【例4】（2023·江苏·高一专题练习）若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·山东聊城·高一统考期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．
【变式4-2】（2023·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点
（1）若，求AE的长；
（2）若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．
【变式4-3】（2023·福建厦门·高一统考期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．
（1）判断四边形的形状，并给出证明；
（2）若，，与的夹角为，为中点，求．
考点5 用向量判断多边形形状
【例5】（2023·全国·高一随堂练习）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【变式5-1】（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期中）已知中，，，则此三角形为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【变式5-2】（2023·高一课时练习）在四边形中，若，则四边形为（ ）
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
【变式5-3】（2023·全国·高一随堂练习）在四边形中，，则四边形的形状是 .
考点6 力的合成
【例6】（2023·全国·高一随堂练习）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为，）
A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5
【变式6-1】（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态．若，，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式6-2】（2023·全国·高一随堂练习）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .（注：重力加速度取，精确到0.01N）
【变式6-3】（2023·陕西西安·高一校考阶段练习）如图，1kg的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态，已知两根细绳与水平线分别成30°与60°角，则两根细绳受到的拉力分别为 ．（取g=10m/s2）
考点7 速度与位移的合成
【例7】（2023·河南·高一济源第一中学校考阶段练习）已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为 .
【变式7-1】（2023·广东清远·高一校考阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h
【变式7-2】（2023·全国·高一随堂练习）飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东60°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移．
【变式7-3】（2023·全国·高一随堂练习）一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移．
考点8 功与动量的计算
【例8】（2023·江苏淮安·高一统考期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（ ）
A． B．23 C． D．19
【变式8-1】（2023·广西·高一校联考期中）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知两个力作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中分别是轴正方向､轴正方向上的单位向量，力的单位：，位移的单位：）．试求：
（1）分别对质点所做的功；
（2）的合力对质点所做的功．
【变式8-3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
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一、单选题
1．（2023·云南·高一校联考阶段练习）已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为（ ）
A．9 B． C．21 D．
2．（2023·河南新乡·高一统考期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在中，是边的中点，且对于边上任意一点，恒有，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．（2023·广东佛山·高一校考期中）若非零向量与满足，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．（2023·河南信阳·高一信阳高中校考期末）已知非零向量，满足，且，则为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．（2023·山东菏泽·高一统考期中）一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度，水流速度，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为（ ）
A．5 B．10 C．8 D．
7．（2023·吉林长春·高一校考期中）某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·北京·高一校考期中）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：
①越大越费力，越小越省力；②的范围为；
③当时，；④当时，.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、多选题
9．（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则点的轨迹不可能经过的外心
B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心
C．若，则点的轨迹可能经过的重心
D．若，则点的轨迹可能经过的内心
10．（2023·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）已知正的边长为，中心为O，P是的内切圆上一点，则（ ）
A． B．满足的点只有1个
C． D．满足的点有2个
11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期中）已知向量，，记向量，的夹角为θ，则（ ）
A．λ>2时θ为锐角 B．λ<2时θ为钝角 C．λ＝2时θ为直角 D．无λ使θ为零角
12．（2023·湖北十堰·高一校考期中）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变
三、填空题
13．（2023·高一单元测试）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则 .
14．（2023·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）平面上三个力作用于同一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为45°，则的大小为 N．
15．（2023·福建厦门·高一校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .
16．（2023·河北石家庄·高一石家庄市第四中学校考阶段练习）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 .
四、解答题
17．（2023·全国·高一随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.
18．（2023·广东·高一校联考阶段练习）在中，，且．
（1）求A；
（2）已知E为BC的中点，点D为AC上一点，且，BD与AE相交于点P，求．
19．（2023·陕西西安·高一统考期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.
（1）请用、表示向量；
（2）设和的夹角为，若，且，求证：.
20．（2023·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

（1）求的余弦值．
（2）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
21．（2023·全国·高一随堂练习）如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．
（1）分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；
（2）求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；
（3）求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？
22．（2023·山西阳泉·高一阳泉市第十一中学校校考期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向.
（1）若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；
（2）当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？