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    【寒假作业】(人教A版2019)高中数学 高一数学寒假巩固提升训练 专题04+与指数函数、对数函数有关的复合函数及函数方程综合应用+(十大题型)-讲义
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    【寒假作业】(人教A版2019)高中数学 高一数学寒假巩固提升训练 专题04+与指数函数、对数函数有关的复合函数及函数方程综合应用+(十大题型)-讲义

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    思维导图
    核心考点聚焦
    考点一、判断复合函数的单调性
    考点二、已知复合函数单调性求参数范围
    考点三、求复合函数的值域
    考点四、求复合函数的最值
    考点五、与复合函数有关的不等式问题
    考点六、判断复合函数的奇偶性
    考点七、零点问题
    考点八、函数嵌套问题
    考点九、共零点问题
    考点十、等高线问题
    知识点一、根式的概念和运算法则
    1、次方根的定义:
    若,则称为的次方根.
    为奇数时,正数的奇次方根有一个,是正数,记为;负数的奇次方根有一个,是负数,记为;露的奇次方根为零,记为.
    为偶数时,正数的偶次方根有两个,记为;负数没有偶次方根;零的偶次方根为零,记为.
    2、两个等式
    (1)当且时,;
    (2)
    知识点二、分数指数幂的概念和运算法则
    为避免讨论,我们约定,,,且为既约分数,分数指数幂可如下定义:
    知识点三、有理数指数幂的运算
    1、有理数指数幂的运算性质
    (1)
    (2)
    (3)
    当,为无理数时,是一个确定的实数,上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
    2、指数幂的一般运算步骤
    有括号先算括号里的;无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质.在化简运算中,也要注意公式:,,,,的运用,能够简化运算.
    知识点四、无理数指数幂
    一般地,无理数指数幂(,为无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
    【注意】(1)对于无理数指数幂,我们只需要了解两点:
    ①它是一个确定的实数;
    ②它是有理数指数幂无限逼近的结果.
    (2)定义了无理数指数幂之后,幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围.
    知识点五、实数指数幂的运算性质
    ①.
    ②.
    ③.
    知识点六、指数函数的图象及性质:
    知识点七、指数函数底数变化与图像分布规律
    (1)
    ①,②,③,④,则:
    又即:时,(底大幂大)
    时,
    (2)特殊函数
    ,,,的图像:
    知识点八、对数概念
    1、对数的概念
    如果,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:.其中叫做对数的底数,叫做真数.
    知识点诠释:
    对数式中各字母的取值范围是:且,,.
    2、对数(且)具有下列性质:
    (1)0和负数没有对数,即;
    (2)1的对数为0,即;
    (3)底的对数等于1,即.
    3、两种特殊的对数
    通常将以10为底的对数叫做常用对数,.以e(e是一个无理数,)为底的对数叫做自然对数,简记为.
    4、对数式与指数式的关系
    由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.
    由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
    知识点九、对数的运算法则
    已知,(且,、)
    (1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和;
    推广:
    (2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数;
    (3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数;
    知识点十、对数公式
    1、对数恒等式:
    2、换底公式
    同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0,a≠1,M>0的前提下有:
    (1)
    令,则有,,即,即,即:.
    (2),令,则有,则有
    即,即,即
    当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.
    知识点十一、对数函数的图象与性质
    知识点十二、底数对对数函数图象的影响
    1、底数制约着图象的升降.
    如图
    知识点诠释:
    由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降(即函数的单调性),因此在解与对数函数单调性有关的问题时,必须考虑底数是大于1还是小于1,不要忽略.
    2、底数变化与图象变化的规律
    在同一坐标系内,当时,随a的增大,对数函数的图像愈靠近x轴;当时,对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)
    知识点十三、反函数
    1、反函数的定义
    设分别为函数的定义域和值域,如果由函数所解得的也是一个函数(即对任意的一个,都有唯一的与之对应),那么就称函数是函数的反函数,记作,在中,是自变量,是的函数,习惯上改写成()的形式.函数()与函数()为同一函数,因为自变量的取值范围即定义域都是B,对应法则都为.
    由定义可以看出,函数的定义域A正好是它的反函数的值域;函数的值域B正好是它的反函数的定义域.
    2、反函数的性质
    (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.
    (2)若函数图象上有一点,则必在其反函数图象上,反之,若在反函数图象上,则必在原函数图象上.
    知识点十四:函数的零点
    1、函数的零点
    (1)一般地,如果函数在实数处的值等于零,即,则叫做这个函数的零点.
    知识点诠释:
    ①函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零;
    ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标;
    ③函数的零点就是方程的实数根.
    归纳:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
    (2)二次函数的零点
    二次函数的零点个数,方程的实根个数见下表.
    (3)二次函数零点的性质
    ①二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.
    ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
    引伸:对任意函数,只要它的图象是连续不间断的,上述性质同样成立.
    2、函数零点的判定
    (1)利用函数零点存在性的判定定理
    如果函数在一个区间上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点,使,这个也就是方程的根.
    1、与指数函数、对数函数有关的复合函数,主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数,求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题,一般采用换元思想,把复杂的复合函数化成简单的初等函数.
    考点剖析
    考点一、判断复合函数的单调性
    例1.(2023·宁夏吴忠·高一校考阶段练习)函数的单调递减区间是( )
    A.B.C.D.
    例2.(2023·广东佛山·高一校联考阶段练习)函数的单调递增区间是( )
    A.B.
    C.D.
    例3.(2023·海南海口·高一海南中学校考阶段练习)函数的单调递增区间是( )
    A.B.C.D.
    例4.(2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习)函数的单调递减区间是( )
    A.B.C.D.
    考点二、已知复合函数单调性求参数范围
    例5.(2023·全国·高三校联考期中)若函数在上单调递减,则实数的取值范围为( )
    A.B.
    C.D.
    例6.(2023·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习)已知的值城为,且在上是增函数,则的范围是( )
    A.B.
    C.D.
    例7.(2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第十五中学校考阶段练习)已知函数在区间上是增函数,则的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    例8.(2023·四川成都·高三校联考阶段练习)已知函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    考点三、求复合函数的值域
    例9.(2023·贵州六盘水·高一统考阶段练习)已知函数.
    (1)若,求的值域;
    (2)若关于x的方程有解,求a的取值范围.
    例10.(2023·宁夏吴忠·高一校考阶段练习)已知函数
    (1)求函数的值域;
    (2)解不等式.
    例11.(2023·山西·高一校联考期中)已知函数(且,为常数)的图象经过点,.
    (1)求的值;
    (2)设函数,求在上的值域.
    例12.(2023·黑龙江绥化·高一校考阶段练习)已知函数
    (1)若的值域为,求实数的取值范围;
    (2)若在内为单调函数,求实数的取值范围.
    考点四、求复合函数的最值
    例14.(2023·广东佛山·高一统考期中)已知函数是定义在上的偶函数,当时,.
    (1)求时,的解析式;
    (2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
    例15.(2023·河南·高一济源高中校联考期中)已知函数,且.
    (1)求的值;
    (2)证明:在上单调递增;
    (3)求在上的最小值.
    例16.(2023·高一课时练习)已知函数,且).
    (1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称,且点在函数的图象上,求实数的值;
    (2)已知函数,.若的最大值为8,求实数的值.
    例17.(2023·山东德州·高一德州市第一中学校考阶段练习)已知,,m为实数,
    (1)当时,求函数的最大值;
    (2)求函数的最大值的解析式.
    考点五、与复合函数有关的不等式问题
    例18.(2023·广西·高一校联考阶段练习)函数,则关于的不等式的解集为 .
    例19.(2023·上海奉贤·高一校考期末)不等式的解集为 .
    例20.(2023·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习)若关于的不等式在上有解,则实数的最小值为 .
    例21.(2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十九中学校考阶段练习)不等式与不等式是同解不等式,则
    例22.(2023·辽宁阜新·高一校考期末)不等式的解集为 .
    考点六、判断复合函数的奇偶性
    例23.(2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习)函数为奇函数,且,若,则 .
    例24.(2023·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习)定义在上的奇函数,当时,,则的值为 .
    例25.(2023·湖北恩施·高一校联考阶段练习)函数是定义在上的奇函数,则 .
    例26.(2023·山西·高一校联考期中)若为偶函数,则 .
    考点七、零点问题
    例27.(2023·浙江温州·高一浙江省平阳中学校联考期中)若不等式的解集为,则函数的零点为( )
    A.和B.和C.2和D.和
    例28.(2023·四川凉山·高一统考期末)函数,则函数的所有零点之和为( )
    A.0B.3C.10D.13
    例29.(2023·安徽马鞍山·高一统考期末)已知函数,,的零点分别为,则( )
    A.B.
    C.D.
    考点八、函数嵌套问题
    例30.已知函数若方程有4个不同的零点,且,则( )
    A.10B.8C.6D.4
    例31.设函数,若函数有且只有2个不同的零点,则的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    考点九、共零点问题
    例32.若关于的方程有三不等的实数根,,,且满足其中两根,,则的取值范围是
    A.B.,C.D.
    例33.(2023•永州校级月考)已知函数,且(1)(2)(3),则的取值范围是
    A.B.C.D.
    考点十、等高线问题
    例34.已知函数,若存在四个实数a,b,c,d,满足,,则的取值范围为( )
    A.(0,+∞)B.C.D.
    例35.已知函数,若存在四个实数,,,,满足,,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    过关检测
    一、单选题
    1.(2023·广东佛山·高一校考阶段练习)函数的单调递减区间为( )
    A.B.
    C.D.
    2.(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习)设函数,则关于x的不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    3.(2023·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习)若函数在上单调递减,则实数的取值范围是( ).
    A.B.
    C.D.
    4.(2023·江苏连云港·高一校考阶段练习)已知函数在上单调递减,则实数的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    5.(2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习)已知函数在区间上单调递减,则的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    6.(2023·辽宁·高三校联考阶段练习)已知函数(且)在区间上单调递增,则a的取值范围为( )
    A.B.
    C.D.
    7.(2023·全国·高一专题练习)已知定义在上的是单调函数,且对任意恒有,则函数的零点为( )
    A.B.C.2D.4
    8.(2023·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习)若二次函数的两个零点为2,3,则二次函数的零点是( )
    A.B.C.D.
    二、多选题
    9.(2023·全国·高一专题练习)已知函数和在上的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
    A.方程有且只有6个不同的解B.方程有且只有3个不同的解
    C.方程有且只有5个不同的解D.方程有且只有4个不同的解
    10.(2023·四川成都·高一校考期中)已知函数,则下列说法正确的是( )
    A.是偶函数B.是奇函数
    C.在上是增函数D.在上是减函数
    11.(2023·广西·高一校联考阶段练习)已知函数(,为自然对数的底数),则( )
    A.函数至多有2个零点B.,使得是R上的增函数
    C.当时,的值域为D.当时,方程有且只有1个实数根
    12.(2023·陕西商洛·高一校考阶段练习)给出下列结论,其中正确的结论是( )
    A.函数的最大值为
    B.函数的单调递增区间是
    C.若,则的徝为1
    D.已知定义在上的奇函数在内有1010个零点,则函数的零点个数为2021
    三、填空题
    13.(2023·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习)已知函数,则满足不等式的的取值范围是 .
    14.(2023·河南开封·高一河南大学附属中学校考阶段练习)已知a为正实数,且函数是奇函数.则的值域为 .
    15.(2023·广东茂名·高一校联考阶段练习)函数是定义在上的奇函数,并且当时,,那么 .
    16.(2023·河北·高一河北师范大学附属中学校联考阶段练习)写出一个函数的解析式,满足:①是定义在上的偶函数;②时,,则 .
    17.(2023·广东佛山·高一校联考阶段练习)若函数是定义在上偶函数,,则 .
    四、解答题
    18.(2023·河南郑州·高一校联考期中)已知函数.
    (1)当时,求的值域;
    (2)若的最大值为9,求a的值.
    19.(2023·陕西商洛·高一校考阶段练习)已知函数
    (1)若函数的定义域为,求实数的取值范围
    (2)若,求函数的值域
    20.(2023·天津静海·高一静海一中校考阶段练习)已知函数
    (1)若的定义域为,求的取值范围.
    (2)若的值域为,求的取值范围.
    21.(2023·重庆·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)已知定义在上的偶函数和奇函数满足,
    (1)求的最小值.
    (2)若对任意的,恒成立,则实数的取值范围.
    22.(2023·江西南昌·高一江西师大附中校考期中)已知函数().
    (1)若关于的不等式的解集为,求的值;
    (2)已知,当时,恒成立,求实数的取值范围.
    23.(2023·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期中)已知函数.
    (1)求函数的最大值;
    (2)若关于的不等式对于任意的恒成立,求正实数的取值范围.
    时图象
    时图象
    图象
    性质
    ①定义域,值域
    ②,即时,,图象都经过点
    ③,即时,等于底数
    ④在定义域上是单调减函数
    ④在定义域上是单调增函数
    ⑤时,
    时,
    ⑤时,
    时,
    ⑥既不是奇函数,也不是偶函数
    图象
    性质
    定义域:
    值域:
    过定点,即时,
    在上增函数
    在上是减函数
    当时,,
    当时,
    当时,,
    当时,
    判别式
    方程的根
    函数的零点
    两个不相等的实根
    两个零点
    两个相等的实根
    一个二重零点
    无实根
    无零点
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