【寒假作业】高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题01+平面向量的概念（四大考点）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一、向量的基本概念
考点二、向量的表示方法
考点三、利用向量相等或共线进行证明
考点四、向量知识在实际问题中的简单应用
知识点一：向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
知识点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
知识点二：向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等．
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
知识点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
知识点三：向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．
知识点诠释：
（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量．
知识点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
知识点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．
规定：与任一向量共线．
知识点诠释：
1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
考点剖析
考点一：向量的基本概念
例1．（2024·山西阳泉·高一阳泉市第十一中学校校考）下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度､速度､位移､功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.
故选：A.
例2．（2024·高一课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】A
【解析】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，
（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.
故选：A.
例3．（2024·高一课时练习）下列各式中不表示向量的是（ ）
A．B．C．D．，，且
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，是向量的数乘运算结果仍为向量；
对于B，，是向量的加法，结果是向量，
对于C，是向量的模，是实数，不是向量；
对于D，向量的数乘运算结果仍为向量；
故选：C．
变式1．（2024·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（ ）
A．频率B．拉力C．体积D．距离
【答案】B
【解析】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故选：B
考点二：向量的表示方法
例4．（2024·全国·高一随堂练习）用有向线段表示下列物体运动的速度．
(1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）；
(2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）．
【解析】（1），
以为起点，向右作有向线段，它的长度是3cm，
（2），时，，
以为起点，向下作有向线段，长度为：
例5．（2024·全国·高一随堂练习）用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）．
【解析】如图，有向线段表示方向向上、大小为20N的力，有向线段表示方向向下、大小为30N的力，
例6．（2024·全国·高一随堂练习）在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移．
【解析】
如图，有向线段表示A到B的位移，有向线段表示B到C的位移，有向线段表示C到A的位移.
变式2．（2024·全国·高一随堂练习）画图表示小船的下列位移（用的比例尺）：
(1)由A地向东北方向航行15km到达B地；
(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地；
(3)由C地向正南方向航行20km到达D地．
【解析】（1）根据的比例尺，即图上，作图如下，
（2）根据的比例尺，即图上，作图如下，
（3）根据的比例尺，即图上，作图如下，
考点三：利用向量相等或共线进行证明
例7．（2024·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
【解析】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：
(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：
例8．（2024·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与共线的向量；
(2)确定与相等的向量；
(3)与相等吗？
【解析】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.
（2）由于与长度相等且方向相同，所以.
（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.
例9．（2024·高一校考课时练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心.

(1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个?
(2)图中所示的向量中与共线的向量有几个?
【解析】（1）因为ABCDEF为正六边形，所以中心O到各顶点的距离相等，且均等于正六边形的边长.
因此题图中所示的向量中与 的模相等的向量有，，， ，，，，，，，，共11个.
（2）由题知，图中所示的向量中与 共线的向量有，、、，共4个.
变式3．（2024·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量，使；
(2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？
【解析】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等．
图如下所示：
（2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．
考点四：向量知识在实际问题中的简单应用
例10．（2024·全国·高一随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．

【解析】由题意，
所以向量的长度为2 n mile．
例11．（2024·高一课时练习）某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．
【解析】根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，，
则向量，和如下所示：
例12．（2024·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．
（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，
∴在中，，故为平行四边形，
∴，则（海里）．
变式4．（2024·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，
为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
过关检测
一、单选题
1．（2024·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动B．是单位向量，则
C．D．若，则
【答案】D
【解析】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；
由单位向量对于可知，，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为两个向量不能比较大小，故D错误；
故选：D
2．（2024·陕西西安·高一校考阶段练习）下列各命题中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．与非零向量共线的单位向量是
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若，则
【答案】C
【解析】对于A选项，若，则、的方向关系无法确定，A错；
对于B选项，与非零向量共线的单位向量是，B错；
对于C选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，C对；
对于D选项，若，但向量、不能比大小，D错.
故选：C.
3．（2024·高一校考课时练习）如果将平面内所有单位向量的起点放在同一点，那么它们的终点构成的图形是（ ）
A．正方形B．圆C．线段D．点
【答案】B
【解析】把所有单位向量的起点平行移动到同一点，向量终点的集合是距离点为单位长的点，那么它们的终点构成的图形是圆.
故选：B.
4．（2024·高一课时练习）在下列结论中，正确的结论为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．，，则
【答案】D
【解析】对于A项，若，则，故A项错误；
对于B项，根据向量的模的概念，可知B项错误；
对于C项，若，则方向不确定，故C项错误；
对于D项，根据向量的概念，可知D项正确.
故选：D.
5．（2024·高一课时练习）设是正方形ABCD的中心，则（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
【答案】D
【解析】
对于A项，，不共线，故A项错误；
对于B项，显然不平行，且三点不共线，故B项错误；
对于C项，根据正方形的性质，可知，，，的长度相等，故C项错误；
对于D项，根据正方形的性质，方向相同，方向相同.
又，，，的长度相等，所以，，故D项正确.
故选：D.
6．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为矩形
C．若，且，则四边形为矩形
D．若，且，则四边形为梯形
【答案】A
【解析】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确；
选项，如图
，但是四边形不是矩形，错误；
选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误．
选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.
故选：A
7．（2024·陕西渭南·高一统考期末）设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
【答案】B
【解析】因为，，
所以，即，，
所以四边形是平行四边形，
因为，即，
所以四边形是菱形.
故选：B
8．（2024·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错；
因为，则，则，则，
即，即，
，则，，即为的中点，
所以，，C错，D对.
故选：D.
二、多选题
9．（2024·四川眉山·高一校考）给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
C．若与同向，且，则；
D．为实数，若，则与共线.
【答案】ACD
【解析】对于A，两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，所以它们不一定是共线向量，所以A错误，
对于B，当是不共线的四点，若，则四边形是平行四边形，若四边形是平行四边形，则，
所以是四边形为平行四边形的充要条件，所以B正确，
对于C，当与同向，且时，因为两个向量不能比较大小，所以C错误，
对于D，为实数，若，则与不一定共线，如时，与是任意的，所以D错误，
故选：ACD
10．（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考）给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ）
A．
B．零向量与任意向量平行
C．是向量的充分不必要条件
D．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上
【答案】AB
【解析】对选项A：，正确；
对选项B：零向量与任意向量平行，正确；
对选项C：当时，；当，不能得到，
故是向量的必要不充分条件，错误；
对选项D：向量与向量是共线向量，
则或点在同一条直线上，错误；
故选：AB.
11．（2024·广西贺州·高一统考期末）以下选项中，能使成立的条件有（ ）
A．B．或
C．D．与都是单位向量
【答案】BC
【解析】对于A、D：不妨取分别为x、y轴上的单位向量，满足“”，满足“与都是单位向量”，但是不成立.故A、D错误；
对于B：由零向量与任何向量平行，可知或时，.故B正确；
对于C：因为，所以.故C正确.
故选：BC
三、填空题
12．（2024·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 （填序号）．
【答案】②③④
【解析】由零向量的定义可知，①正确；
时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误；
两个向量共线，与模是否相等无关，③错误；
当时，满足，，但不能得到，④错误.
故答案为：②③④
13．（2024·高一课时练习）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.

【答案】3
【解析】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个.
故答案为：3
14．（2024·高一课时练习）如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.

【答案】2
【解析】由题意∥AB可知，，所以，所以.
因为，所以，，
所以，，所以.
又M，O，N三点共线，
所以，，故相等向量有2对.
故答案为：2.
15．（2024·高一课时练习）某人从A点出发向西走了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，最后又改变方向，向东走了到达点，则的模= ．
【答案】
【解析】如图示，由题意可得向量共线，且，
则四边形为平行四边形，故，
故答案为：
四、解答题
16．（2024·全国·高一随堂练习）在矩形中，，点、分别为和的中点，在以、、、、、为起点或终点的向量中，相等的非零向量共有多少对？
【解析】在矩形中，，点、分别为和的中点，
所以和为边长相等的正方形，
如图所示，
由题意得，，有3对（即、、）；
，有6对（即、、、、、）；
，有1对；
，有1对，有1对，共有对；
加上它们的方向相反的向量也有12对，
所以总共有对．
17．（2024·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1．
(1)试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使．
(2)在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？
【解析】（1）如图，感觉向量相等的定义，与的方向相同，长度相等，即，即可得到向量；
（2）如图，画出一个满足条件的向量，点的轨迹是以点为圆心，半径的圆.
18．（2024·高一课时练习）如图，四边形和四边形都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量．
【解析】（1）∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，
∴.
故与向量相等的向量是，.
（2）由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.