【寒假作业】高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题03+平面向量基本定理及坐标表示（六大考点）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：平面向量基本定理
考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
考点三：平面向量的坐标运算
考点四：平面向量平行的坐标表示
考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算
考点六：平面向量数量积的综合应用
知识点一：平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
这说明如果且，那么．
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．
2、如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1、正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
2、如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示
1、平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则∥，即，或．
知识点诠释：
若，则∥不能表示成因为分母有可能为0．
2、三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线．
知识点五：向量数量积的坐标表示
1、已知两个非零向量，，
2、设，则或
3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．
向量在几何中的应用
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件
（3）求夹角问题，利用
（4）求线段的长度，可以利用或
考点剖析
考点一：平面向量基本定理
例1．（2024·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
又，∴，
∵B，P，D三点共线，∴，∴.
故选：A.
例2．（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考）在中，为边上的中线，为的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以．
故选：B
例3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【解析】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误；
对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误；
对于C，，
和共线，不能作为一组基底，C正确；
对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误.
故选：C.
变式1．（2024·广东佛山·高一校考）如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意在中，，点是的中点，
故
，
故选：A
变式2．（2024·山东泰安·高一泰安一中校考）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（ ）

A．2B．3C．D．5
【答案】A
【解析】因为点是的中点，
所以，
又因为
所以，
因为三点共线，
所以，
所以.
故选：A
考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例4．（2024·全国·高一随堂练习）如图，在中，点M为AB的中点，点N在BD上，.

求证：M，N，C三点共线.
【解析】设，
则
所以，
又因为有公共起点C，所以M，N，C三点共线.
例5．（2024·全国·高一专题练习）设两个非零向量与不共线．
(1)若，求证：三点共线；
(2)试确定实数，使和反向共线．
【解析】（1），
，
、共线，
又它们有公共点，、、三点共线．
（2）与反向共线，存在实数，使，
即，
．
、是不共线的两个非零向量，
，，，
，．
例6．（2024·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，在中，．

(1)用，表示，；
(2)若点满足，证明：，，三点共线．
【解析】（1）因为，
，
.
（2）由，
可得，
所以，，即，
所以，，三点共线.
变式3．（2024·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设.

(1)用向量与表示向量；
(2)若，求证：三点共线.
【解析】（1）是的中点，
；
.
（2），
与平行，
又与有公共点，
三点共线.
变式4．（2024·安徽六安·高一毛坦厂中学校考）已知向量，不共线，，，.
(1)若，，求x，y的值；
(2)若A，P，Q三点共线，求实数t的值.
【解析】（1）当时，，，，
所以，解得，.
（2），，
由于A，P，Q三点共线，所以存在，使，
则，
整理，得.
因为a，b不共线，
所以，解得
故实数t的值为1.
考点三：平面向量的坐标运算
例7．（2024·天津和平·高一耀华中学校考阶段练习）的三个顶点，，，则顶点的坐标为 .
【答案】
【解析】设，在中，，
又，，
解得
所以顶点的坐标为.
故答案为：.
例8．（2024·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考阶段练习）已知点，则与向量方向相同的单位向量为 .
【答案】
【解析】因为，所以，则与向量方向相同的单位向量为.
故答案为：.
例9．（2024·高一课时练习）如图，向量，，的坐标分别是 ， ， ．
【答案】
【解析】将向量，，分别向基底，所在的直线分解，
则，，，
所以，，，
故答案为：；；.
变式5．（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】点在线段的延长线上，与方向相反，
由，则有，
设，则，即，
解得，故点的坐标为.
故答案为：
变式6．（2024·辽宁抚顺·高一校联考）若，，C为AB的中点，D为AB上更靠近A的三等分点，则C的坐标为 ，D的坐标为 ．
【答案】
【解析】根据中点坐标公式，的坐标为，
，则．因为，所以的坐标为．
故答案为：，
考点四：平面向量平行的坐标表示
例10．（2024·贵州毕节·高一校考）已知向量，，则与向量共线的向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，
对选项A：因为，所以两向量共线，A正确；
对选项B：因为，所以两向量不共线，B错误；
对选项C：因为，所以两向量不共线，C错误；
对选项D：因为，所以两向量不共线，D错误；
故选：A.
例11．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为向量，，，所以，得到，
所以，得到，
故选：A.
例12．（2024·四川成都·校联考一模）已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【答案】B
【解析】若存在非零实数使得，即，又，，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故选 ：B
变式7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考）已知，，，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】,,
由得，，解得，
故选：C.
变式8．（2024·贵州安顺·高一统考期末）若三点、、共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知三点、、共线，则，，
由题意可知，所以，，解得.
故选：D.
变式9．（2024·河北唐山·高一校联考）已知，，，且，，三点共线，则 .
【答案】
【解析】三点共线，.
，
.
故答案为：.
考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算
例13．（2024·天津和平·高一统考期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【解析】向量，则，
所以向量在方向上的投影向量为
故答案为：
例14．（2024·湖南邵阳·高一校考阶段练习）已知向量，则 .
【答案】
【解析】，
，
，
故答案为：.
例15．（2024·云南昆明·高一校考阶段练习）设x，，向量，，，且，，则向量与的夹角大小为 ．
【答案】
【解析】由题意得，解得，
故，，
则，
因为，所以.
故答案为：
变式10．（2024·广东佛山·高一校联考阶段练习）已知向量，则与夹角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】由题意可得：，，
所以与夹角的余弦值.
故答案为：.
变式11．（2024·河北邢台·高一统考）已知向量，，且，的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】
【解析】向量，，且，的夹角为钝角
且，不共线，
则,解得：且，
故答案为：.
变式12．（2024·新疆喀什·高一校考期末）已知，，，分别求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】（1）原式
（2）原式
（3），∴.
变式13．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考）已知向量，且与的夹角为.
(1)求及；
(2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围.
【解析】（1）由于与的夹角为，
所以，解得，
则，
所以
（2），
由于与所成的角是锐角，
所以，，
解得且.
考点六：平面向量数量积的综合应用
例16．（2024·全国·高一课堂例题）如图，已知点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点B的坐标为，作，垂足为点D．

(1)求，，；
(2)求；
(3)将绕点逆时针旋转到，求点的坐标；
(4)求；
(5)求．
【解析】（1）由题意，可得，，
所以，
可得，，．
（2）因为，
所以．
（3）记，与轴正方向的夹角为，则，
，
由于点的坐标为，那么，．
因此，即点的坐标为．
（4）将向量投影到上，得到投影向量，则，
而就是在方向上的投影的绝对值，
则．
（5）因为，
法1：．
法2：
例17．（2024·江苏连云港·高一统考）已知直角梯形的三个顶点分别为，，，且．
(1)求顶点的坐标；
(2)若为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点，求．
【解析】（1）设，因为，，，
则，，，
在直角梯形中，，且，
所以A，为直角，则，即，
解得，，所以顶点的坐标为；
（2）
因为为线段上靠近点的三等分点，则，
设，则，
所以，，所以，
又因为为线段的中点，则，
所以，，
则，
所以
例18．（2024·广东珠海·高一统考）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为
(1)在斜坐标系中的坐标，已知，求
(2)在斜坐标系中的坐标，已知，，求的最大值.
【解析】（1）由题意可知： ,
,
∴.
（2）由题意可知,
∴,
由（1）可得：,
令 ,
又因为,
且，所以，
，∴，
又因为函数在单调递增，
即：时，函数取到最大值3，
即，则有，
∴当时，的最大值为.
变式14．（2024·四川眉山·高一校考）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义如下：若（其中分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为.此时有，试在该斜坐标系下探究以下问题：

(1)，求的坐标；
(2)，求的值；
(3)求与同向的单位向量的坐标.
【解析】（1）由及得，
存在使得，即，
故，解得，即.
（2）若，则
，
故.
（3）由，
故，
所以与同向的单位向量为，即坐标为.
变式15．（2024·湖南益阳·高一安化县第二中学校考阶段练习）已知，，，设是直线上的一点（其中为原点）．
(1)若，，求点坐标；
(2)求取最小值时向量的坐标．
【解析】（1）是直线上的一点，
设，
由得，，即，
，解得，
；
（2）由（1）得，，
时，取最小值，此时．
变式16．（2024·福建福州·高一校联考）在平面直角坐标系中，已知点，，，点是直线上的一个动点.
(1)若为的中点，求的值；
(2)求的最小值.
【解析】（1）因为M为的中点，所以，
因为，，，
所以，
所以；
（2）由题意可得，
因为点是直线上的一个动点，所以，
所以，
，
，
所以当时，取得最小值0.
过关检测
一、单选题
1．（2024·青海·高三校联考阶段练习）已知向量，则（ ）
A．10B．5C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以.
故选：C
2．（2024·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知向量，，若与的夹角的余弦值为，且，则可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】向量，，若与的夹角的余弦值为，
则有，解得，则有，
设，由，则有，解得，B选项符合.
故选：B
3．（2024·贵州六盘水·高二统考）已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【解析】
.
故答案选：A.
4．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】法一：用坐标表示向量
由题意可知，，
由得，
，
整理得，，
所以．则A对；
法二：因为向量，
所以，
又，
所以，
所以.
故选：A．
5．（2024·河北石家庄·高一校考）已知平行四边形中，，若，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】在中，，即是的中点，则，
又，即，
因此，
而，不共线，
所以，.
故选：D
6．（2024·广西玉林·高一博白县中学校考开学考试）如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（ ）

A．3∶2B．2∶1C．3∶1D．4∶3
【答案】B
【解析】因为为的中线，所以，
设，则，
故，所以，
因为，所以，
因为三点共线，可设，则，
故，
故，相加得，
解得，故.
故选：B
7．（2024·安徽·高二合肥一中校联考阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
因为，所以，解得，
故，
则.
故选：B
8．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
故选：C.
二、多选题
9．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考）已知向量则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得
B．当时，与垂直
C．对任意，都有
D．当时，
【答案】BC
【解析】A选项，若，则，
不成立，所以A选项错误.
B选项，当时，，
则与垂直，所以B选项正确.
C选项，，
所以对任意，都有，所以C选项正确.
D选项，当时，
，
所以或，即或，所以D选项错误.
故选：BC
10．（2024·江苏淮安·高一校联考）已知为直角三角形，且，则实数的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】当时，，解得；
当时，，
解得；
当时，，
无实解，
综上可得，或-1.
故选：AC.
11．（2024·江苏淮安·高一校联考）下列命题正确的是（ ）
A．
B．已知向量的夹角是钝角，则的取值范围是
C．已知单位向量满足，则
D．若，则在上的投影向量为
【答案】AD
【解析】，故A正确；
因为与的夹角为钝角，所以且和不反向共线，
当和反向共线时，，解得，，所以B错；
由题意得，所以，故C错；
若，在上的投影向量为，当向量与同向或反向时都满足，故D正确.
故选：AD.
12．（2024·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知向量，且则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是45°
D．向量在向量上的投影向量坐标是
【答案】AC
【解析】因为，所以，
则，解得：，所以，故A正确；
，所以，故B错误；
，
又因为，故向量与向量的夹角是45°，故C正确；
向量在向量上的投影向量坐标是：，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．（2024·四川绵阳·统考模拟预测）已知点，若向量与的方向相反，则 ．
【答案】
【解析】由题意，点，则，
∵向量与的方向相反，即与共线，
∴，解得：或，
当时，，，与的方向相同，故舍去；
当时，，，与的方向相反，所以，
∴，，
∴.
故答案为：.
14．（2024·上海长宁·高三上海市延安中学校考阶段练习）已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为 .
【答案】8
【解析】如图，
因为，为的中点，
所以，
因为三点共线，所以，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为8.
故答案为：8
15．（2024·安徽安庆·高一安徽省怀宁中学校考阶段练习）已知向量，满足，，，则 .
【答案】
【解析】因为向量，满足，，，
所以，
又 ，
，
所以.
故答案为：.
16．（2024·甘肃临夏·高一统考期末）在中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出使得成立的，的一组数据为 ．

【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意知，而，
故,
则，
又点为的延长线上一点，故,
可取，则，
故使得成立的，的一组数据为，
故答案为：（答案不唯一）.
四、解答题
17．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考）如图，在中，，E是AD的中点，设，．

(1)试用，表示，；
(2)若，与的夹角为，求．
【解析】（1）因为，所以，
所以.
因为E是AD的中点，
所以
.
（2）因为，与的夹角为，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
18．（2024·广西南宁·高一南宁三中校考）已知向量，向量．
(1)若，求与的夹角；
(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，，与的夹角为.
（2）因为与的夹角为钝角，所以，解得，
当与反向共线，即时，，解得，
综上，实数的取值范围为.
19．（2024·甘肃临夏·高一统考期末）已知点及平面向量，，．
(1)当点P在x轴上时，求实数m的值；
(2)当时，求实数k的值．
【解析】（1）,
因为点P在x轴上，
所以，解得.
（2），，
又因为，
所以，
解得.
20．（2024·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）在中，D是的中点，E在边上，，与交于点O，
(1)设，求的值；
(2)若，求的值．
【解析】（1）∵，
∴；
（2）因为E，O，C三点共线，不妨设,
所以，
再设，所以，
所以，
所以，，
因为，
∴得，即．
运 算
坐标语言
加法与减法
记，
，
实数与向量的乘积
记，则=（，）