【寒假作业】人教A版2019 高中数学 高二寒假提升训练专题01 导数的概念及其意义 （九大题型）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：函数的平均变化率
考点二：求瞬时速度
考点三：求函数在某点处的导数
考点四：求切线方程
考点五：求切点坐标
考点六：利用图象理解导数的几何意义
考点七：过某点的曲线的切线
考点八：利用定义求导函数
考点九：导数的几种形式
知识点一：平均变化率问题
1、变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；
2、平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：
知识点诠释：
①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为
②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小．
对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度．
高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度．
3、如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即．
知识点诠释：
（1）是的一个“增量”，可用代替，同样．
（2）是一个整体符号，而不是与相乘．
（3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则．
知识点二：导数的概念
定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数．
②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．
即存在一个常数与无限接近．
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．
知识点三：求导数的方法：
求导数值的一般步骤：
①求函数的增量：；
②求平均变化率：；
③求极限，得导数：．
也可称为三步法求导数．
知识点四、曲线的切线
（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：
①求出切点的坐标；
②求出函数在点处的导数
③得切线方程
（2）在点处的切线与过点的切线的区别．
在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程．
知识点五、导数的概念
导函数定义：
由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或，
即：
知识点诠释：
函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系．
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．
（2）函数的导数，是指某一区间内任一点而言的，也就是函数的导函数．
（3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值．
导函数也简称导数，所以
所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值．
导函数求法：
由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：
（1）求函数的改变量．
（2）求平均变化率．
（3）取极限，得导数．
知识点一、导数几何意义
1、平均变化率的几何意义——曲线的割线
函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率．
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率．
事实上，．
换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有．
知识点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率．
2、导数的几何意义——曲线的切线
图1
如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线．
定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率．
即：．
知识点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．
（2）切线斜率的本质———函数在处的导数．
（3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性．
①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直．
②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减．
（4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点；
为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？”
过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线都用“与有且只有一个公共点”来定义的切线呢？如图的曲线是我们熟知的正弦曲线的一部分，直线2显然与曲线有唯一公共点，但我们不能说直线2与曲线相切；而直线1尽管与曲线有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线在点处的切线．
知识点二、导数的定义的几种形式：
割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如：
；（或：；；）
．
知识点诠释：只要是时，极限式所表示的是割线的斜率（或其若干倍），就能表示为导数式．
考点剖析
考点一：函数的平均变化率
例1．（2024·高二课时练习）函数从到的平均变化率为（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2024·高二课时练习）函数，当自变量由改变到时，的变化为（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2024·全国·高二专题练习）函数，则自变量从变到时函数值的增量为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（2024·辽宁阜新·高二校考期末）若函数，则函数从到的平均变化率为（ ）
A．6B．3C．2D．1
考点二：求瞬时速度
例4．（2024·北京·高二校考期中）函数在处的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·高二课时练习）有一机器人的运动方程为，是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2024·内蒙古赤峰·高二统考期末）某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（ ）
A．从时刻到物体的平均速度B．从时刻到位移的平均变化率
C．当时刻为时该物体的速度D．该物体在时刻的瞬时速度
变式2．（2024·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）一质点做直线运动，其位移与时间的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（ ）
A．B．C．D．
考点三：求函数在某点处的导数
例7．（2024·全国·高二课堂例题）设，求．
例8．（2024·高三课时练习）利用导数的定义求函数在点x＝2022处的导数．
例9．（2024·高二课时练习）已知函数，求在处的导数.
变式3．（2024·高二课时练习）利用导数的定义，求在处的导数f ′(1).
考点四：求切线方程
例10．（2024·高二课时练习）求双曲线在点处的切线方程．
例11．（2024·高二课时练习）求抛物线f(x)＝3x2－4x－1在点(2，3)处的切线方程.
例12．（2024·高二课时练习）求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程.
变式4．（2024·高二课时练习）求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程.
考点五：求切点坐标
例13．（2024·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知曲线的一条切线的斜率是，则切点的坐标为 ．
例14．（2024·高二课时练习）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ．
例15．（2024·高二课时练习）已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为 .
变式5．（2024·高二课时练习）曲线的一条切线的斜率为，则切点坐标为 .
考点六：利用图象理解导数的几何意义
例16．（2024·山东日照·高二校联考期末）如图所示，函数的图像在点P处的切线方程是，则的值为（ ）
A．0B．1C．-1D．2
例17．（2024·河南洛阳·高二统考期中）函数的图象如下图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是
A．B．C．D．
例18．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A．B．
C．D．
变式6．（2024·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（ ）

A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强
考点七：过某点的曲线的切线
例19．（2024·全国·高二单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率．
例20．（2024·四川·富顺第二中学校高二阶段练习）求函数的图象上过原点的切线方程．
例21．（2024·湖南·高二课时练习）求曲线y＝x3过点（－1，－1）的切线方程．
变式7．（2024·全国·高二课时练习）已知函数，直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
考点八：利用定义求导函数
例22．（2024·高二课时练习）用导数的定义求函数的导数．
例23．（2024·高二课时练习）已知，用割线逼近切线的方法求．
例24．（2024·高二课时练习）求函数y＝在x0(x0>－1)处的导数．
变式8．（2024·高二课时练习）在函数y＝f(x)＝x2＋3的图像上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)．
求：(1)；
(2)f′(1)．
考点九：导数的几种形式
例25．（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知函数在处的导数为，则（ ）
A．B．C．D．
例26．（2024·湖南衡阳·高二校考期末）设，则（ ）
A．B．C．3D．12
例27．（2024·重庆·高二统考期末）若函数的满足，则（ ）
A．2B．1C．0D．
变式9．（2024·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知函数，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
过关检测
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·高二统考阶段练习）设函数在处存在导数为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·高二课时练习）已知函数的图象上一点及附近一点，则（ ）
A．4B．C．D．
4．（2024·高二课时练习）函数在处的导数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·北京·高二清华附中校考期中）已知函数，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·安徽滁州·高二校考阶段练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是
（ ）

A．
B．
C．
D．
7．（2024·高二单元测试）如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A．B．C．2D．1
8．（2024·福建·高二校联考期中）若一射线从处开始，绕点匀速逆时针旋转（到处为止），所扫过的图形内部的面积是时间的函数，的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
10．（2024·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（ ）

A．B．
C．D．
11．（2024·山东聊城·高二校考阶段练习）已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024·山东德州·高二德州市第一中学校考阶段练习）如果曲线在点处的切线过点，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2024·高二课时练习）若函数在点处的导数是，那么过点A的切线方程是 ．
14．（2024·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）设函数在处可导且，则 ．
15．（2024·陕西延安·高二子长市中学校考期末）已知函数在处的导数为1，则 .
16．（2024·北京·高二清华附中校考期中）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则 ， ．

四、解答题
17．（2024·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知函数
(1)写出；
(2)求出；
(3)求出；
(4)写出，，
18．（2024·高二课时练习）某一运动物体，在时离开出发点的距离（单位：m）是.
(1)求在第s内的平均速度；
(2)求在第s末的瞬时速度；
(3)经过多少时间该物体的运动速度达到m/s?
19．（2024·高二课时练习）利用导数的定义求函数在处的导数．
20．（2024·全国·高二课堂例题）求曲线在点处切线的斜率．