【寒假作业】人教A版2019 高中数学 高二寒假提升训练专题03 函数的单调性（五大考点）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：利用导数求函数的单调区间
考点二：函数图象与导函数图象的关系
考点三：已知单调性求参数的取值范围
考点四：判断、证明函数的单调性
考点五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
情形二：函数为准一次函数
情形三：函数为二次函数型
1、可因式分解
2、不可因式分解型
情形四：函数为准二次函数型
知识点一、函数的单调性与导数的关系
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若，则在这个区间上单调递增；
②若，则在这个区间上单调递减；
③若恒有，则在这一区间上为常函数．
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
知识点诠释：
1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减．
2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）．
即在某区间上，在这个区间上单调递增；
在这个区间上单调递减，但反之不成立．
3、在某区间上单调递增在该区间；
在某区间上单调递减在该区间．
在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如：，，，而在R上递增．
4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数．
5、注意导函数图象与原函数图象间关系．
知识点二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数在区间内可导，
（1）如果恒有，则函数在内单调递增；
（2）如果恒有，则函数在内单调递减；
（3）如果恒有，则函数在内为常数函数．
知识点诠释：
（1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则．
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或．
知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；
（4）确定的单调区间．
或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号．
知识点诠释：
1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集．
2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确．
讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
考点剖析
考点一：利用导数求函数的单调区间
例1．（2024·河南省直辖县级单位·高二校考期末）的单调增区间为 .
【答案】
【解析】函数定义域是，
由已知，由得，
所以递增区间为.
故答案为：．
例2．（2024·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是 .
【答案】
【解析】易知的定义域为，
则，令，解得；
即可知函数在区间上是单调递减的，
所以函数的单调递减区间是.
故答案为：
例3．（2024·福建漳州·高二漳州三中校考）函数的增区间为 ．
【答案】
【解析】有题知，函数的定义域为，
因为，所以，
令，解得，
故函数的增区间为
故答案为：
变式1．（2024·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）函数的单调递减区间为 .
【答案】/
【解析】函数的定义域为，
，
由得，由得，
所以在区间上单调递减．
故答案为：
考点二：函数图象与导函数图象的关系
例4．（2024·高二课时练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图可知，当x＜0时，即在(－∞,0)上单调递减；
当0＜x＜2时，即在(0,2)上单调递增；
当x＞2时，即在(2,＋∞)上单调递减.
结合各选项，只有D符合要求.
故选：D
例5．（2024·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考）已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项.
当时，从左向右，是递增、递减、递增，
对应导数的符号为，由此排除C选项，
所以A选项正确.
故选：A
例6．（2024·四川乐山·高二校考）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由函数的图象可知当或时，；
当时，，
等价于或，
故不等式的解集为，
故选：A
变式2．（2024·内蒙古乌兰察布·高二校考阶段练习）已知是函数的导数．若的图象如图所示，则的图象最有可能是
（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由的图象可知当和时，，
则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
结合选项，可知C中图象符合题意，
故选：C
考点三：已知单调性求参数的取值范围
例7．（2024·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
故选：A.
例8．（2024·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题可知，在上恒成立，
显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：D．
例9．（2024·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．m>1
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
且，
令，得，
因为在区间上不单调，
所以，解得：
故选：B.
变式3．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】A
【解析】由，由已知递减区间，则得：，
故，1是的两根，，，
故选：A
变式4．（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由已知，函数的定义域为，.
由在定义域内单调递减，所以在上恒成立，
即，可转化为在上恒成立，所以．
因为，所以，所以．
因此实数a的取值范围是．
故选：D．
考点四：判断、证明函数的单调性
例10．（多选题）（2024·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由在上是增函数，故A正确；
对于函数，当时，，当时，，所以在定义域上不是增函数，故B错误；
函数的定义域为，所以在定义域上是增函数，故C正确；
，
定义域为，
在定义域内不是增函数，故D错误；
故选：AC.
例11．（2024·全国·高二随堂练习）讨论函数在区间内的单调性．
【解析】由于在上恒成立，
故在上单调递增.
例12．（2024·高二课时练习）已知函数．讨论的单调性．
【解析】因为，所以，
令，，故单调递增．
又，
所以当时，，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
变式5．（2024·河南省直辖县级单位·高二校考）已知，且，证明函数在内是减函数．
【解析】因为，
当时，因为，，
所以，即函数在内单调递减；
当时，因为，，
所以，即函数在内单调递减；
综上所述，函数在内是减函数.
考点五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
例13．（2024·全国·高二专题练习）已知函数，求函数的单调区间．
【解析】由题意知：定义域为，；
①当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
例14．（2024·四川眉山·高二校考）已知函数．
(1)若在上单调递增，求的取值范围．
(2)求的单调区间.
【解析】（1）的定义域为，，
当时，，在单调递增，满足题意；
当时，令，解得（舍去）或，要使在上单调递增，则，所以.
综上，的取值范围为.
（2）由（1）可知，当时，在单调递增，
当时，在单调递增，
令，解得，在单调递减.
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
例15．（2024·甘肃武威·高二统考）已知函数.
(1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；
(2)求函数的单调区间．
【解析】（1）由已知可得，.
根据导数的几何意义可知，，即，所以.
（2）由（1）知，，的定义域为.
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，由可得，.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
综上所述，当时，则在上单调递增；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
变式6．（2024·高二课时练习）已知函数，其中，.讨论函数的单调性；
【解析】由题意知：的定义域为，；
当时，，在上恒成立，
在上单调递增；
当时，令，解得：，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
情形二：函数为准一次函数
例16．（2024·云南师大附中模拟预测）已知函数，其中．
讨论的单调性；
【解析】
函数的定义域为，．
当时，由于在上单调递增，所以至多有一解；
又，则当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
例17．（2024·云南师大附中高三阶段练习）已知函数．
讨论的单调性；
【解析】
函数的定义域为，．
令，解得，
则有当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
例18．（2024·高二课时练习）已知函数 设是的导函数，讨论函数的单调性；
【解析】由，得，
设，
，
①当时，在上恒成立，
在上递增，
②当时，令得，
得，
在上递减，在上递增，
综上所述：当时，是上的增函数，
当时，在是减函数，在上是增函数.
情形三：函数为二次函数型
1、可因式分解
例19．（2024·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
【解析】（1）当时，，
，所以，曲线在处的切线方程为.
（2），
①当时，，所以函数在上单调递增；
②当时，令，则(舍)或，
，当时，函数单调递减；
，当时，函数单调递增.
③当时，令，则或(舍)，
，当时，函数单调递减；
，当时，函数单调递增.
综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增；
当时，当时，函数单调递减
当时，函数单调递增；
当时，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增
例20．（2024·广东江门·高二校考）已知函数．
(1)当时，求函数的单调增区间．
(2)当时，讨论函数的单调性．
【解析】（1）当时，，对其求导得，
令，注意到的定义域为，由此可以列出以下表格：
因此由以上表格可知：函数的单调增区间为和.
（2）对函数求导，得，
令，接下来对分两种情形来讨论：
情形一：当时，有，即在上单调递增.
情形二：当时，有，结合以上分析可列出以下表格：
由以上表格可知：在单调递增，在单调递减，在单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
例21．（2024·河北沧州·高二校考阶段练习）讨论函数的单调性
【解析】的定义域为，
，
，
当时，，
时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
时，，
当时，，
时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
时，，在上单调递增，
当时，，
时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增.
例22．（2024·高二课时练习）已知函数．求函数的单调区间．
【解析】的定义域为，，
当时，令，即，得；
令，即，得．
当时，令，即，得；
令，即，得或．
当时，在恒成立．
当时，令，即，得；
令，即，得或．
综上所述：
当时，的单调减区间为，单调增区间为；
当时，的单调减区间为，单调增区间为，；
当时，的单调增区间为，无单调减区间；
当时，的单调减区间为，单调增区间为，．
2、不可因式分解型
例23．（2024·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性．
【解析】由题意知，定义域为，；
令，则.
①当，即时，（当且仅当，时取等号），
在上单调递减；
②当，即时，令，解得，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
变式7．（2024·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)在上是增函数，求a的取值范围；
(2)讨论函数的单调性．
【解析】（1）因为，所以的定义域为，
则，
因为在上是增函数，即在上恒成立，
则在上恒成立，
因为在上恒成立，所以在上恒成立，
即在上恒成立，即，
因为，所以，则，
所以，则.
（2）由（1）得，
当时，，则在上是增函数；
当时，，
所以；
或；
，
所以在上是减函数，在和上是增函数.
变式8．（2024·高二课时练习）讨论函数的单调性．
【解析】的定义域为，；
①当时，在上恒成立，在上单调递增；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
情形四：函数为准二次函数型
例24．（2024·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知函数.
(1)证明:，有；
(2)设，讨论的单调性.
【解析】（1）因为，
所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以.
（2）因为,
所以，
因为，令，得或，
若，则，时，，单调递减；
和时，，单调递增；
若，则，，在上单调递增；
若，则，时，，单调递减；
和时，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减；在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增.
例25．（2024·福建泉州·统考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【解析】（1）由已知，则，
当时，，，
则曲线在处的切线方程为，即
（2）由（1）知，，
①当时，，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
②当时，由，得，
（ⅰ）当时，，
当时，，在，单调递增；
当时，，在单调递减；
（ⅱ）当时，，，在单调递增；
（ⅲ）当时，，
当时，，在，单调递增；
当时，，在单调递减；
综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减；
②当时，在，单调递增，在单调递减；
③当时，在单调递增；
④当时，在，单调递增，在单调递减.
例26．（2024·全国·高二专题练习）已知函数，其中，．求函数的单调区间；
【解析】；
①当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
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一、单选题
1．（2024·陕西西安·高二校考期末）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】定义域为，，
令，解得：，
故函数的单调递减区间是.
故选：A
2．（2024·河北沧州·高二校考阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，定义域为，令，解得，所以在上单调递减.
故选：D.
3．（2024·重庆江北·高二重庆十八中校考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
由题意可知：存在，使得，整理得，
且在上单调递减，则，可得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
4．（2024·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）函数在区间上是单调减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数在区间上是单调减函数，则在区间上恒成立，所以，
故选：B．
5．（2024·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数，求导得，
依题意，，，即，
而函数在上单调递减，则，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：D
6．（2024·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考）已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，为奇函数，则函数的图像关于原点对称，排除选项B、D，
令，，
当，，也就是在递减，排除A，故C正确.
故选：C．
7．（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，关于原点对称，且，
所以函数为奇函数，排除A，B；
当时，函数，则，
当时，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，排除D．
故选：C
8．（2024·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
且函数的定义域为，所以是偶函数.
当时，因为函数，所以.
令，则.
因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.
因为，所以，即在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增.
因为函数是偶函数，所以在上单调递减.
所以不等式等价于，两边平方得，化为，
即，解得.
所以不等式的解集为.
故选：A
二、多选题
9．（2024·高二课时练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在区间上是减函数
B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数
D．在区间上是增函数
【答案】AC
【解析】对A：由导函数的图象知在区间上，，故在区间上单调递减，故A项正确；
对B、D：在区间，上分别有大于零和小于零的部分，故在区间，上不单调，故B、D项错误；
对C：在区间上，，所以函数在区间上单调递增，故D项正确.
故选:AC.
10．（2024·山东淄博·高二校考阶段练习）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．的单调递减区间为
C．在处的切线方程为D．的单调递增区间为
【答案】BC
【解析】对于AC，，由，得，
所以切线的斜率，所以在处的切线方程为，所以A错误，C正确，
对于BD，函数的定义域为，，
由，得，解得，
由，得，解得，
所以在上递增，在上递减，所以B正确，D错误，
故选：BC
11．（2024·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）设函数，都是单调函数，其导函数分别为，，令，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．若，，则单调递增B．若，，则单调递增
C．若，，则单调递减D．若，，则单调递减
【答案】AD
【解析】，若，则单调递增，故A正确；
若，则单调递减，故D正确；
取，则满足，，显然是常函数，不单调递增，故B不一定正确；
取，，则满足，显然是常函数，不单调递减，故C不一定正确．
故选：AD．
12．（2024·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，，，且，若，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】ABC
【解析】设，则，
由于，所以为偶函数，
且当时，，所以在单调递减，在单调递增，且，
故由可得，所以，
故选：ABC
三、填空题
13．（2024·上海·高二校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】函数在区间上单调递减，
在区间上恒成立，
即，又，
故，即实数的取值范围为.
故答案为：
14．（2024·高二课时练习）函数在上的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】由题意得，则，又，
解得，所以函数的单调递增区间为，
故答案为：.
15．（2024·江苏镇江·高二校考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】.
【解析】易知，且，
即为奇函数，
又，
当且仅当时取得等号，故为增函数，
对于，
所以，
故答案为：.
16．（2024·北京海淀·高二统考期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可知在上恒成立，所以在上恒成立，
记，
当单调递增，当单调递减，故当取极小值也是最小值，且，
故，即，所以，
故答案为：
四、解答题
17．（2024·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）已知函数，且.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
【解析】（1）由题设，则，
所以且，则，，
所以点处的切线方程为，即.
（2）由（1），
当，即或，故在区间，上递增，
所以的增区间为，.
18．（2024·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调增区间．
【解析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；
（2）利用导数即可求得函数的单调增区间．
（1），则
则，又，
则曲线在点处的切线方程为，即
（2），
则，
由可得或，
则函数的单调增区间为，.
19．（2024·高二课时练习）（1）已知函数，，当时，若在上为减函数，在上为增函数，求实数k的值；
（2）已知函数，讨论函数的单调区间.
【解析】（1）当时，，
∴，，
∵在上为减函数，
则，∴，
∵在上为增函数，
则，∴.
综上所述.
（2）函数的定义域为，
∴，
①当，即时，
得，则，
∴函数在上单调递增.
②当，即时，
令，得，
解得，
（i）若，则，
∵，令，得，或；
令，得，
∴在上单调递增，
在上单调递减.
（ii）若，则，令，得，
令，得，
∴函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增.
20．（2024·四川遂宁·高二射洪中学校考）已知函数在点处切线斜率为，且．
(1)求和；
(2)试确定函数的单调区间．
【解析】（1）函数，求导，
由，得
解得：．
（2）由（1）得，求导，
令，得，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
的单调递增区间为，单调递减区间为．
21．（2024·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）已知函数．
(1)若在处的切线与直线平行，求实数的值．
(2)若在上单调递增，求实数的取值范围．
【解析】（1）函数的导数为，
则在处的切线斜率为，
由于在处的切线与直线平行，
则，解得，，点不在直线上，
所以.
（2）由于，在上单调递增，
即为在上恒成立，即有在上恒成立，
由于在上值域为，则有，即．
故实数的取值范围是．