【寒假作业】人教A版2019 高中数学 高二寒假提升训练专题06 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（八大考点）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：分类加法计数原理
考点二：分步乘法计数原理
考点三：两个原理的综合应用
考点四：组数问题
考点五：占位模型中标准的选择
考点六：涂色问题
考点七：种植问题
考点八：列举法
知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理）
1、分类加法计数原理：
完成一件事，有类办法．在第1类办法中有种不同方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法．
2、加法原理的特点是：
①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类；
②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；
③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．
知识点诠释：
使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和．
知识点二、分步乘法计数原理
1、分步乘法计数原理
“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．
2、乘法原理的特点：
①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；
②完成每一步有若干种方法；
③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
知识点诠释：
使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积．
知识点三、分类计数原理和分步计数原理的区别：
1、分类计数原理和分步计数原理的区别：
两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关．
完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；
若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算．
1、利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：
（1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？
（2）然后考虑如何完成？主要有三种类型
①分类或分步．
②先分类，再在每一类里再分步．
③先分步，再在每一步里再分类，等等．
（3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？
考点剖析
考点一：分类加法计数原理
例1．（2024·广东梅州·高二校考阶段练习）从名女同学和名男同学中任选人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024·广东湛江·高三统考阶段练习）某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（ ）
A．9种B．10种C．11种D．12种
例3．（2024·高二课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（ ）
A．18B．36
C．72D．48
变式1．（2024·高二单元测试）如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通,今发现之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ）
A．9种B．11种C．13种D．15种
考点二：分步乘法计数原理
例4．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、乙、丙、丁4位同学每人从中任选门课程参加，则不同的选法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
例5．（2024·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校联考阶段练习）用这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．18B．24C．30D．48
例6．（2024·河南·高二河南大学附属中学校考）把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，共有（ ）种方法.
A．81B．64C．12D．7
变式2．（2024·河南周口·高二校联考）360的不同正因数的个数为（ ）
A．24B．36C．48D．42
考点三：两个原理的综合应用
例7．（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（ ）
A．32种B．128种C．64种D．256种
例8．（2024·山西·校联考模拟预测）如图，有8个不同颜色的正方形盒子组成的调味盒，现将编号为的4个盖子盖上（一个盖子配套一个盒子），要求A，B不在同一行也不在同一列，C，D也是此要求．那么不同的盖法总数为（ ）
A．224B．336C．448D．576
例9．（2024·辽宁葫芦岛·高二统考期末）为了备战下一届排球世锦赛，中国国家队甲、乙、丙、丁四人练习传球，第1次由甲传给乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者传给另外三人中的任意一人，往后依次类推，经过4次传球，球仍回到甲手，则传法总数为（ ）
A．30B．24C．21D．12
变式3．（2024·高二单元测试）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数的个数有（ ）
A．120B．90C．48D．12
考点四：组数问题
例10．（2024·江苏常州·高二统考）我们把各位数字之和为6的四位数称为“四位合六数”（如1203、1005均是四位合六数），则在“四位合六数”中首位为1的不同的“四位合六数”共有 个．
例11．（2024·浙江台州·高二台州市书生中学校联考）如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为凹数（如201，325等），那么由数字0，1，2，3，4，5能组成 个无重复数字的凹数.
例12．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”，“546”为“驼峰数”．由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有 个，其中偶数有 个．
变式4．（2024·全国·模拟预测）由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有 个.
考点五：占位模型中标准的选择
例13．（2024·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）3名志愿者，每人从4个不同的岗位中选择1个，则不同的选择方法共有（ ）
A．12种B．64种C．81种D．24种
例14．（2024·福建福州·高二期末）6名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是（ ）
A．20B．C．D．120
例15．（2024·广东广州·高二期末）3名同学报名参加足球队、篮球队，每名同学限报其中的一个运动队，则不同的报名方法的种数是（ ）
A．8B．6C．5D．9
变式5．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A．10种B．20种C．25种D．32种
考点六：涂色问题
例16．（2024·江西新余·高二校考阶段练习）如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．12种B．24种C．48种D．72种
例17．（2024·江苏宿迁·高二统考）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．240B．360C．480D．600
例18．（2024·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有（ ）种

A．36B．48C．54D．72
变式6．（2024·江苏南京·高二南京师大附中校考）如图，用4种不同的颜色给图中四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A．B．C．D．
考点七：种植问题
例19．（2024·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考）在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有 种（用数字作答）
例20．（2024·安徽六安·高二校考）如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有 种
例21．（2024·吉林·高二开学考试）．将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 种.（以数字做答）
变式7．（2024·江苏淮安·高二统考期末）某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有 种．（用数字作答）
考点八：列举法
例22．（2024·北京·高二北大附中校考期末）某公司有家直营店，现需将箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示.

根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（ ）
A．种B．种C．种D．种
例23．（2024·河北邯郸·高二校联考）有序数对满足，且使关于的方程有实数解，则这样的有序数对的个数为（ ）
A．15B．14C．13D．10
例24．（2024·河南·马店第一高级中学模拟预测）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是（ ）
A．144B．96C．72D．60
变式8．元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（ ）
A．6种B．9种C．11种D．23种
过关检测
一、单选题
1．（2024·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）踢球时甲､乙､丙三人互相传递，由甲开始传球，经过3次传递后，球又被传回到甲，则不同的传递方式共有（ ）
A．6种B．8种C．2种D．4种
2．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知集合，且，用组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（ ）
A．14B．17C．20D．23
3．（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考）甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，则不同游览方案的种数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山东临沂·高二校考阶段练习）集合，，，，5，6，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是（ ）
A．2B．4C．5D．6
5．（2024·新疆伊犁·高二统考）若3名学生报名参加天文､计算机､文学､美术这4个兴趣小组，每人选1组，则不同的报名方式有（ ）
A．12种B．24种C．64种D．81种
6．（2024·浙江温州·高二校联考）2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（ ）
A．12种B．24种C．64种D．81种
7．（2024·浙江湖州·高二校联考）将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A．90B．135C．270D．360
8．（2024·全国·高三专题练习）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A．48B．18C．24D．36
二、多选题
9．（2024·甘肃白银·高二校考期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ）

A．B．
C．D．
10．（2024·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同
B．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事
C．在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成
D．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同
11．（2024·高二课时练习）(多选)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，则x·y的值可取（ ）
A．－8B．－12
C．11D．24
12．（2024·吉林长春·高二校考阶段练习）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．所有可能的方法有种
B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
三、填空题
13．（2024·甘肃白银·高二校考期末）星期二下午的3节课排物理､化学和自习课各一节，要求第一节不排自习课，那么不同的排课方法种数为 ．（用数字作答）．
14．（2024·广东广州·高三广州六中校考期末）某社区年终活动设置抽奖环节，方案如下：准备足够多的写有“和谐”、“和睦”、“复兴”的卡片，参与者随机逐一抽取四张，若集齐三种卡片就获奖.王大爷按规定参与抽奖，则他直到第四次抽取出卡片才确定获奖的不同情况种数为 .
15．（2024·上海·高二校考阶段练习）正整数240的正约数有 个．
16．（2024·广东佛山·高三统考阶段练习）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，且甲乙听同一个讲座，则不同选择的种数是 ．
四、解答题
17．（2024·山东菏泽·高二校考阶段练习）口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球．
(1)至少有一个白球的取法有多少种？
(2)两球的颜色相同的取法有多少种？
18．（2024·全国·高二随堂练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？
19．（2024·全国·高二课堂例题）某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？
20．（2024·高二课时练习）如图，要接通从A到B的电路，只有一条支路连接，则不同的接通方法有多少种？

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