【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高二寒假巩固提升训练 专题12 空间向量的坐标表示8种常见考法归类-练习.zip

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思维导图
核心考点聚焦
考点一、对空间向量基本定理的认识
考点二、用基底表示空间向量问题
考点三、空间向量基本定理的应用
考点四、空间向量坐标系与空间向量的坐标表示
考点五、空间向量数量积的坐标表示
考点六、空间向量平行、垂直的坐标表示
考点七、空间向量的夹角与长度的计算
考点八、空间向量投影的计算
一、空间向量基本定理
1、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使.
2、基底与基向量：如果三个向量不共面，那么空间的每一个都可由向量线性表示，我们把称为空间的一个基底，都叫做基向量。
说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
二、空间向量的正交分解
1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，
特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，
通常用表示。
2、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解。
三、空间直角坐标系
(1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz．
(2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．
(3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．
(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．
(5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)．
四、空间中向量的坐标
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量．
五、空间向量的坐标运算
(1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)a·a＝|a|2＝.
六、空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
七、空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝eq \r(x2＋y2＋z2)．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．
1、基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底；
（2）判断基底时，常常依托于正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构成其他向量进行相关的判断、
2、用基底表示向量的步骤
（1）变基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；
（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果。
（3）下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量
3、建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜．向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．
4、向量平行与垂直问题的三种题型
题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断．
题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
题型3：利用向量坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解．
考点剖析
考点一、对空间向量基本定理的认识
1．（2023上·陕西西安·高二校联考阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·广东东莞·高二校考期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．1C．0D．
3．（2023上·河北·高二校联考期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023上·安徽亳州·高二校考阶段练习）若为空间的一个基底，则下列各项中能作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·河南郑州·高二郑州市第一〇一中学校联考期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．B．
C．D．
考点二、用基底表示空间向量问题
6．（2022上·北京西城·高二北师大二附中校考阶段练习）如图，在平行六面体中，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2011上·辽宁营口·高二统考期末）如图，在三棱柱中，若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2016上·贵州遵义·高二统考期末）如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023上·青海西宁·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体中，已知，，，则用向量，，可表示向量为（ ）

A．B．
C．D．
10．（2024上·河南·高二伊川县第一高中校联考阶段练习）如图，在正三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，当时，（ ）

A．2B．C．D．
考点三、空间向量基本定理的应用
11．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）已知四面体是的重心，若，则（ ）
A．4B．C．D．
12．（2023上·高二单元测试）已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上满足，，则（ ）
A．-B．C．D．
13．（2023上·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考期中）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2023上·天津北辰·高二统考期中）在正方体中，为中点，，，，，使得，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
15．（2023上·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ）
A．B．C．6D．5
考点四、空间向量坐标系与空间向量的坐标表示
16．（2023上·福建厦门·高二厦门外国语学校校考阶段练习）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2024上·陕西宝鸡·高二校考期末）若向量，，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2023上·北京·高二北京市第一六一中学校考阶段练习）已知点和点，则向量（ ）
A．B．C．D．
19．（2023上·山西大同·高二统考期中）在长方体中，，则（ ）
A．B．C．D．
20．（2023上·山东东营·高二利津县高级中学校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
21．（2023上·湖北·高二期末）已知点，直线DE平行所在的平面，则（ ）
A．B．C．D．
考点五、空间向量数量积的坐标表示
22．（2023上·河北石家庄·高二石家庄市第二十四中学校考期中）已知向量，则（ ）
A．B．C．4D．10
23．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．9D．19
24．（2023上·安徽阜阳·高二校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．
C．2D．
25．（2023上·吉林松原·高二前郭尔罗斯县第五中学校考期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ）
A．B．3C．2D．5
26．（2023上·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）在棱长为的正四面体中，平面于，是的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
考点六、空间向量平行、垂直的坐标表示
27．（2024上·辽宁·高一校联考期末）与向量共线的单位向量为 .
28．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知向量，，且与平行，则 .
29．（2023上·河北石家庄·高二石家庄市第二十四中学校考期中）在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点，则顶点D的坐标为 ．
30．（2022上·贵州黔东南·高二校考期末）若三点共线，则 ．
31．（2023上·山东日照·高二校考阶段练习）已知点，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为 ．
32．（2023上·新疆喀什·高二统考期末）已知空间向量， 且，则 .
33．（2023上·四川达州·高二校考阶段练习），若，则实数值为 .
34．（2023上·天津武清·高二校考阶段练习）已知向量，，若与互相垂直，则 ．
35．（2023上·四川凉山·高二统考期中）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 .
36．（2023上·四川成都·高二四川省成都市西北中学校考阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则实数 .
考点七、空间向量的夹角与长度的计算
37．（2023上·山西太原·高二统考期中）已知，则向量与的夹角为 ．
38．（2023上·浙江嘉兴·高二嘉兴高级中学校考期中）已知点，，，则向量与的夹角为 ．
39．（2023上·山东·高二济南市历城第二中学校联考阶段练习）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
40．（2023上·陕西西安·高二校考阶段练习）已知，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 .
41．（2023上·广东珠海·高二校考阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 .
42．（2023上·河南·高二校联考期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系.
(1)求证：；
(2)若，求的值.
43．（2023上·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A．B．C．D．
44．（2023上·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）设空间向量则（ ）
A．4B．6C．8D．9
45．（2023上·天津·高二天津市第一百中学校联考期中）向量，，，则（ ）
A．9B．3C．1D．
46．（2023上·河南开封·高二河南省兰考县第一高级中学校联考期中）设，，，，且，，则（ ）
A．B．C．3D．
47．（2023上·江西新余·高二校考阶段练习）已知空间中三点，，.
(1)求；
(2)求中边上中线的长度.
考点八、空间向量投影的计算
48．（2024上·湖南益阳·高二南县第一中学校考期末）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A．B．C．D．
49．（2024上·吉林·高二校联考期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（ ）
A．B．
C．D．
50．（2024上·重庆九龙坡·高二统考期末）已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
51．（2023上·河北·高二校联考期中）如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（ ）

A．B．C．D．
52．（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）如图，圆台的轴截面为等腰梯形在上底面的圆周上，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
过关检测
一、单选题
1．（2024上·上海·高二上海市复旦中学校考期末）在以下命题中，正确的命题其中真命题是（ ）
A．若，则是钝角
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P、A、B、C四点共面
D．为空间一个基底，则不能构成空间的另一个基底
2．（2024上·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末），，，为坐标原点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知向量，，则（ ）
A．B．0C．2D．10
4．（2024上·重庆·高二统考期末）已知，，且．则的值为（ ）
A．B．C．0D．2
5．（2023下·上海宝山·高二统考期末）已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023上·全国·高三期末）已知正三棱柱的侧面积是底面积的倍，点E为四边形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024上·上海宝山·高二校考期末）设是空间中给定的2023个不同的点，则使得成立的点的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2023个D．4046个
8．（2024上·山东滨州·高二校考期末）如图所示，在四面体中，，，，点在上，且，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024上·重庆长寿·高二统考期末）已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·全国·高二期末）在四面体中，棱两两垂直，且为的重心，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2023上·全国·高二期末）已知，，，则（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则，
12．（2023上·贵州黔东南·高二统考期末）已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023上·全国·高二期末）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．点到直线的距离为
D．的面积为
14．（2023上·全国·高二期末）已知空间中三点，，，则（ ）
A．与是共线向量B．与夹角的余弦值是
C．平面的一个法向量是D．到平面的距离是
三、填空题
15．（2023上·上海·高二上海市延安中学校考期末）已知向量，，，则 .
16．（2017上·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）已知，且，则= ．
17．（2024上·广西南宁·高二统考期末）已知，，，则在上的投影向量的模为 ．
18．（2023上·全国·高二期末）在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标： .
四、解答题
19．（2023上·全国·高二期末）已知空间向量.
(1)求；
(2)判断与以及与的位置关系.
20．（2023上·全国·高二期末）已知向量，，为坐标原点，点，.
(1)求
(2)若点在直线上，且，求点的坐标．
21．（2022上·吉林辽源·高二校联考期末）已知，，，，，求：
(1)，，；
(2)与夹角的余弦值.
22．（2018上·陕西西安·高二西安中学校考期末）已知空间三点，，，设，．
(1)求；
(2)与互相垂直，求实数的值．
23．（2023上·内蒙古通辽·高二校考期末）已知空间向量，，.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
24．（2022上·湖北孝感·高二校考期末）已知空间中三点.
(1)已知向量与互相垂直，求的值；
(2)求以为邻边的平行四边形的面积.
名称
满足条件
向量表示形式
坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b
a·b＝0
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cs 〈a，b〉＝
cs 〈a，b〉＝