【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高二寒假巩固提升训练 复习专题10+导数10种常见考法归类-练习.zip

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思维导图
核心考点聚焦
考点一、平均变化率和瞬时变化率
考点二、导数定义的应用
考点三、导数的基本运算
考点四、导数的几何意义及其应用
考点五、利用导数研究函数的单调性
考点六、利用导数解决函数的单调性的应用
考点七、利用导数解决函数的极值问题
考点八、利用导数解决函数的最值问题
考点九、利用导数证明不等式
考点十、利用导数研究不等式恒(能)成立问题
考点十一、导数与函数零点
考点十二、利用导数解决实际问题
知识点1 函数的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1).
(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的斜率．
知识点2 瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).
(3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度eq \x\t(v)就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度．
注意点：（1）Δt可正，可负，但不能为0.
（2）瞬时变化率的变形形式
eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋nΔx－fx0,nΔx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)．
知识点3 函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
知识点4 割线斜率与切线斜率及导数的几何意义
1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．
切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于
点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k.
注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率．
4．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知识点5 函数的单调性与导数的关系
若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0；
若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快；
若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快．
知识点6 导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
知识点7 基本初等函数的导数公式
注：①对于根式f(x)＝eq \r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.
②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(lgax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(lgax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式．
③公式(lgax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(lgax)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lnx,lna)))′＝eq \f(1,lna)(lnx)′＝eq \f(1,lna·x).
知识点8 导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
注：
函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)．
即：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f1x±f2x±f3x±…±fnx))′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导）
注：
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))eq \a\vs4\al(′,)＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
（分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方）
注：
知识点9 复合函数的导数
（1）复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作．
注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数．
（2）复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
注：（1）要分清楚每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：，实际上应是
（2）对于含有参数的函数，要分清楚哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零。
知识点10 函数的导数与单调性的关系
一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。
知识点11 函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．
注：一般情况下，由不等式确定函数增区间，由确定函数的减区间．但在区间上恒成立，且的点是孤立的，则在上单调递增，如函数在上是增函数，但有无数个解．
知识点12 极值点与极值的概念
1．极小值点与极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点．
知识点13 函数最值的定义
(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
(3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；
(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．
1、导数运算的原则和方法
（1）导数计算的原则：
先化简解析式，再求导．
（2）导数计算的方法：
①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.
⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导
⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．
2、求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
3、已知斜率求切点：
已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
4、利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
5、求解与导数的几何意义有关问题的注意点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
6、解决两曲线的公切线问题的两种方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝eq \f(fx1－gx2,x1－x2)．
7、利用导数求函数的单调区间：
求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数．
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．
注：(1)讨论参数要全面，做到不重不漏．
(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．
8、利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
9、恒成立问题的重要思路：
①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.
10、函数图象与导数图象
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减）
在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数单调递减区间．
（1）单调递增
①若，其图象如右所示——图象上升且越来越陡
②若，其图象如右所示——图象上升且越来越平缓
（2）单调递减
①若，其图象如右所示——图象下降且越来越平缓
②若，其图象如右所示——图象下降且越来陡
函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．
11、知图判断函数极值
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
12、函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
13、已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
14、最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
15、求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
16、含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
17、求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
18、已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
19、函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．
20、分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
考点剖析
考点一、平均变化率和瞬时变化率
1．（2023上·宁夏·高二校考期末）已知函数的图象上一点及附近一点，则（ ）
A．4B．C．D．
2．（2023下·江西新余·高二统考期末）2023年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零.12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记探测器与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（2023下·北京海淀·高二统考期末）下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023上·全国·高二期末）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A．B．1C．2D．
5．（2023下·甘肃临夏·高二统考期末）在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024上·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）一个质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为 ．
7．（2023下·北京丰台·高二统考期末）用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径r的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于r的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 .
考点二、导数定义的应用
9．（2024上·湖南益阳·高二南县第一中学校考期末）设函数在处存在导数为，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2011下·河南许昌·高二校联考期末）若，则等于（ ）
A．﹣3B．﹣6C．﹣9D．﹣12
11．（2023上·云南红河·高二校考期末）若函数在处可导，则（ ）
A．B．
C．D．0
12．（2023下·重庆·高二统考期末）若函数的满足，则（ ）
A．2B．1C．0D．
13．（2023下·陕西渭南·高二统考期末）已知函数，若，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
考点三、导数的基本运算
14．（2023下·广东肇庆·高二校考期末）下列函数的求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023下·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2023上·陕西延安·高二校考期末）求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)
(4)
17．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)；
(6)．
18．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若函数，则等于（ ）
A．1B．0C．D．
19．（2023上·湖北·高二期末）已知函数，则在处的导数为（ ）
A．B．C．D．
20．（2023上·海南海口·高二海南中学校考期末）已知函数（是的导函数），则（ ）
A．B．C．D．
考点四、导数的几何意义及其应用21．（2024上·河南·高三校联考期末）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
23．（2024上·辽宁·高三校联考期末）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2023上·山东菏泽·高三统考期末）若函数的图象在点处的切线方程为，则实数（ ）
A．B．1C．D．2
25．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（ ）
A．1B．C．D．
26．（2023上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．B．C．D．
27．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．－4B．－3C．4D．3
28．（2024上·湖南益阳·高二南县第一中学校考期末）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
29．（2023上·湖北·高二期末）点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
30．（2023下·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
考点五、利用导数研究函数的单调性
31．（2023下·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
32．（2023上·江苏常州·高二统考期末）函数的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
33．（2023上·江西景德镇·高二景德镇一中校考期末）函数的单调减区间是（ ）
A．B．
C．和D．
34．（2023下·北京平谷·高二统考期末）已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）
A．函数在上不单调
B．函数在的切线的斜率为0
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值点
35．（2024上·河南·高三校联考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在不相等的实数，使得，证明：．
36．（2024上·江苏南京·高二校考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，设分别为的极大值点、极小值点，求的取值范围．
37．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对于任意的，且，恒有，求实数的取值范围．
38．（2024上·吉林辽源·高三辽源市实验高级中学校校联考期末）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)设，若不等式对恒成立，求的取值范围．
考点六、利用导数解决函数的单调性的应用
39．（2024上·辽宁大连·高三统考期末）设，则（ ）
A．B．
C．D．
40．（2024上·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
41．（2024上·广东广州·高三执信中学校考期末）设，则（ ）
A．B．
C．D．
42．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知函数在上的导函数为，且，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
43．（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数的导函数为，若，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
44．（2023上·江苏南京·高二期末）设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
45．（2016上·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）
A．B．
C．D．
46．（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
47．（2024上·江苏泰州·高三统考期末）己知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
48．（2023上·江西南昌·高二校联考期末）若函数在上为单调增函数，则m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
49．（2023下·江西景德镇·高二景德镇一中校考期末）使得函数在区间上单调的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
50．（2023下·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
51．（2023下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期末）已知函数在其定义域内的一个子区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
52．（2023下·陕西西安·高二统考期末）已知函数在区间上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
考点七、利用导数解决函数的极值问题
53．（2023上·河南许昌·高二统考期末）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）

A．为函数的零点
B．是函数的最小值
C．函数在上单调递减
D．为函数的极大值点
54．（2023上·安徽芜湖·高二芜湖一中校考期末）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
55．（2023下·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）函数的极值点的个数（ ）．
A．无数个B．2C．1D．0
56．（2023下·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）已知函数，则的极小值为 ．
57．（2023下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知函数，在时有极大值，则的极大值为
58．（2015下·河北保定·高二统考期末）已知函数在时有极值为0，则 .
59．（2023下·江西吉安·高二校联考期末）已知，函数在上存在两个极值点，则的取值范围为 ．
60．（2023下·新疆·高二兵团第三师第一中学校考期末）函数既存在极大值也存在极小值，则实数的取值范围是 ．
61．（2023下·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期末）已知三次函数无极值，且满足，则 .
62．（2024上·辽宁丹东·高三统考期末）已知定义在上的函数和.
(1)求证：；
(2)设在存在极值点，求实数的取值范围.
63．（2023上·贵州黔东南·高二校考期末）已知函数，其中．
(1)若函数在处取得极值，求实数a；
(2)若函数在上恒成立，求实数a的取值范围．
64．（2023上·宁夏银川·高二校考期末）已知函数在时有极值．
(1)求常数的值；
(2)求在区间上的最值．
考点八、利用导数解决函数的最值问题
65．（2023上·江西南昌·高二校联考期末）设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（ ）
A．的极值点一定是最值点
B．的最值点一定是极值点
C．在区间上可能没有极值点
D．在区间上可能没有最值点
66．（2023下·重庆·高二校联考期末）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是函数的极大值点
B．在区间上单调递增
C．是函数的最小值点
D．在处切线的斜率小于零
67．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）若为函数的极值点，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
68．（2023上·陕西延安·高二校考期末）已知奇函数，则函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
69．（2023上·黑龙江鸡西·高二校考期末）若函数的最小值为，则实数（ ）
A．B．C．4D．
70．（2023上·河北保定·高三保定市第三中学校联考期末）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
71．（2023下·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
72．（2023下·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考期末）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
73．（2023下·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期末）函数在区间内存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
74．（2023下·陕西渭南·高二统考期末）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
75．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)若，，求的取值范围.
76．（2023上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）已知函数．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)时，求在上的最大值；
(3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
考点九、利用导数证明不等式
77．（2024上·江苏·高三统考期末）已知函数（）.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数的图象与x轴相切，求证：.
78．（2023上·湖北·高二期末）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当，时，证明：
79．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若，且，求证：.
80．（2024上·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)设，证明：
81．（2024上·天津南开·高三统考期末）已知函数，且函数与有相同的极值点.
(1)求实数的值；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：.
82．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)当时，试比较的大小关系，并说明理由；
(3)设，求证：．
考点十、利用导数研究不等式恒(能)成立问题
83．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知函数
(1)当时，求的最小值；
(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．
84．（2024上·广东揭阳·高三统考期末）已知函数，其中．
(1)当时，证明：；
(2)若对任意，都有，求k的取值范围．
85．（2024上·山西·高三期末）已知函数，.
(1)求证：函数存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间的长度的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
86．（2024上·甘肃武威·高三统考期末）已知函数.
(1)当时，求的最大值；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
87．（2024上·全国·高三期末）已知函数，是的导函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若存在实数使成立，求的取值范围.
88．（2023下·黑龙江双鸭山·高二校考期末）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)存在且，使成立，求的取值范围．
89．（2023下·山东烟台·高二统考期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，，使得．
考点十一、导数与函数零点
90．（2024上·江苏苏州·高三校考期末）设函数，其中为自然对数的底数，
(1)若为上的单调增函数，求实数的取值范围；
(2)讨论的零点的个数.
91．（2023上·山东泰安·高三新泰市第一中学校考期末）设函数
(1)当时，求曲线在处的切线方程.
(2)讨论函数在区间上零点的个数.
92．（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知函数，且曲线在原点处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)讨论在R上的零点个数，并证明.
93．（2023上·全国·高二期末）已知函数，其中.
(1)若的极大值为，求实数的值；
(2)若恰有一个零点，求实数的取值范围.
94．（2023上·广东汕尾·高三统考期末）已知函数，其中为参数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.
95．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知函数，.
(1)若对于任意，都有，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个零点，求证：.
考点十二、利用导数解决实际问题
96．（2023下·上海·高二期末）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
97．（2023下·江西·高二统考期末）某品牌汽车准备在一次车展过程中给顾客免费发放冰淇淋，现欲从家源头工厂批发进购冰淇淋.已知该工厂在这笔订单中的固定成本为2万元，生产的最大上限是8万个，另外，每生产1万个冰淇淋成本会增加0.5万元，每x万个冰淇淋的销售额满足关系式（单位：万元，其中a是常数）；若该工厂卖出2万个冰淇淋的利润是12万元.
(1)设卖出x万个冰淇淋的利润为（单位：万元），求的解析式；
(2)这笔订单的销售量为多少时这家工厂的利润最大？并求出利润的最大值.
98．（2023下·北京怀柔·高二统考期末）已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且
(1)求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）；
(2)将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大.
99．（2023下·安徽亳州·高二亳州二中校考期末）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中x（台）表示产量），并知当生产20台该产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价与产量x（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品x台获得的利润（利润＝销售收入－生产成本）为万元.
（参考数据：，，）
(1)求函数的解析式；
(2)当产量x为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？
00．（2023上·福建福州·高二福建师大附中校考期末）西樵镇举办花市，如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD摆放菊花“泥金香”，弓形CMD摆放菊花“紫龙卧雪”，扇形AOC和扇形BOD（其中）摆放菊花“朱砂红霜”.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2.

(1)设，试建立日效益总量关于的函数关系式；
(2)试探求为何值时，日效益总量达到最大值.
过关检测
一、单选题
1．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）下列求导运算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）已知函数满足，则下列描述正确的是（ ）
A．点与点在轴同侧
B．若的图象在处的切线斜率小于0，则一定存在点在轴下方
C．与的图象可能与轴交于同一点
D．函数不一定存在零点
3．（2024·全国·模拟预测）已知幂函数在上单调递减，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·江苏·高二专题练习）已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在单调递减
B．是奇函数，且在单调递增
C．是偶函数，且在单调递减
D．是偶函数，且在单调递增
6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则（ ）
A．1B．C．0D．
7．（2024·全国·模拟预测）设，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·江苏·高二专题练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·全国·模拟预测）设定义在上的奇函数，其中为自然对数的底数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（2024上·辽宁丹东·高三统考期末）已知函数，则（ ）
A．有一个零点
B．的极小值为
C．的对称中心为
D．直线是曲线的切线
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．若为减函数，则B．若存在极值，则
C．若，则D．若，则
12．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知直线分别与函数和的图像交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若函数在处取得极值，则（ ）
A．
B．为定值
C．当时，有且仅有一个极大值
D．若有两个极值点，则是的极小值点
14．（2023上·江苏南京·高二期末）关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．的极大值点是
B．函数有且只有个零点
C．存在实数，使得成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
三、填空题
15．（2024下·内蒙古赤峰·高二校考期中）曲线在点处的切线方程为 ．
16．（2024·山西·校联考模拟预测）已知函数，若直线与曲线相切，则 .
17．（2024·全国·模拟预测）已知，函数，其中为自然对数的底数．若函数恰有4个零点，则的取值范围是 ．
18．（2023上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围是 ．
19．（2024·全国·模拟预测）已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ．
四、解答题
20．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
21．（2024·江西·贵溪市第一中学校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)若，求函数的零点个数.
22．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在不相等的实数，，使得，证明：．
23．（2024上·辽宁抚顺·高三校联考期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恰好有两个零点，，且恒成立，证明：.
24．（2024上·天津河北·高三统考期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)在（2）的条件下，当时，，求实数的取值范围.
25．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若的最小值为．求的值；
(2)若函数有两个极值点．其中为自然对数的底数．求实数的取值范围．
26．（2024·云南昆明·统考一模）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若恒成立，求的取值范围.
27．（2023上·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）已知函数，
(1)当时，求在区间上的值域；
(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：.区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
原函数
导函数
1
（常数的导数为0）
2
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
（熟记）
3
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
4
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
5
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
6
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
7
f(x)＝lgax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
8
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
恒有f′(x)＝0
是常数函数，不具有单调性
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)