宜丰中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份宜丰中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则满足的集合C的个数为( )
A. 4B. 8C. 7D.16
2．“”的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
3．已知,,,则( )
A.B.C.D.
4．函数的图象大致为( )
A.B. C. D.
5．已知某种树木的高度（单位：米）与生长年限t（单位：年,）满足如下的逻辑斯谛（Lgistic）增长模型：,其中e为自然对数的底数,设该树栽下的时刻为0,则该种树木生长至3米高时,大约经过的时间为( )
A.2年B.3年C.4年D.5年
6．若函数在R上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知函数,且,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知函数,若函数恰好有5个不同的零点,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,.若,则( )
A.的最小值为9B.的最小值为9
C.的最大值为D.的最大值为
10．下列说法正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”是“”的必要不充分条件
C.命题“,”的否定是“,”
D.已知a,b,,方程有一个根为1的充要条件是
11．已知函数,其中,下列结论正确的是( )
A.存在实数a,使得函数为奇函数
B.存在实数a,使得函数为偶函数
C.当时,的单调增区间为,
D.当时,的单调减区间为
12．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示,其中,则下列四个结论中正确的是( )
A.方程有且仅有三个解B.方程有且仅有三个解
C.方程有且仅有九个解D.方程有且仅有一个解
三、填空题
13．幂函数在上是减函数,则实数m的值为_____________.
14．已知：,,则的最小值是____________.
15．设函数在区间上的最大值为M,最小值为N,则的值为____________.
16．已知函数图像关于对称,当时,恒成立,则满足的x取值范围是_____________．
四、解答题
17．化简求值：
（1）;
（2）
18．已知函数在R上单调递减,关于x的方程的两根都大于1．
（1）当时,p是真命题,求a的取值范围;
（2）若p为真命题是q为真命题充分不必要条件,求m的取值范围．
19．已知函数是奇函数.
（1）求b的值;
（2）判断函数在定义域上的单调性并用定义证明;
（3）若对任意,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
20．定义在R上的函数是单调函数,满足,且,.
（1）求,;
（2）判断的奇偶性,并证明;
（3）在下列两个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答.
①②若_____________,,求实数k的取值范围.
21．2021年8月3日,旅居法国的中国大熊猫欢欢,在法国博瓦勒动物园顺利地产下了一对双胞胎,暂时取名为“棉花”和“小雪”.为了让妈妈更好地喂养两个小幼崽,动物园决定在原来的矩形居室ABCD的基础上,拓展建成一个更大的矩形居室AMPN,使活动的空间更大.为不影响现有的生活环境,建造时要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,如图所示.已知,.设（单位：m）,矩形AMPN的面积为.
（1）写出y关于x的表达式,并求出x为多少米时,y有最小值;
（2）要使矩形AMPN的面积大于,则DN的长应在什么范围内？
22．对于在区间上有意义的函数,若满足对任意的,有恒成立,则称在上是“友好”的,否则就称在上是“不友好”的.现有函数
（1）当时,判断函数在上是否“友好”;
（2）若函数在区间上是“友好”的,求实数a的取值范围
（3）若关于x的方程的解集中有且只有一个元素,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由题设,,又,
所以1,,只需讨论元素3,4,5是否为集合C的元素研究集合C的个数,即可得结果,
所以集合C的个数为.
故选：B.
2．答案：B
解析：,
因为,
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
3．答案：C
解析：由题得,
,且,
所以.
故选：C.
4．答案：A
解析：因为函数 ,
且当时,,排除D选项;
当时, 在上单调递减,又,排除BC选项;
对于A选项,当时, 在上单调递减,当x从0的右侧趋近于0时,y趋近于1,符合题意.
故选：A.
5．答案：C
解析：由题意可得,令,即,解得：.
故选：C.
6．答案：D
解析：由函数在R上单调递减,
可得,解得,
故选：D.
7．答案：A
解析：令,则,
因为,,
为奇函数,
又因为,由函数单调性可知为的增函数,
,则,
,
,
,解得.
故选：A.
8．答案：A
解析：画出函数的大致图象,如下图所示：
函数恰好有5个不同的零点,
方程有5个根,
设,则方程化为,易知此方程有两个不等的实根,,
结合的图象可知,,,令,
则由二次函数的根的分布情况得：,解得：.
故选：A.
9．答案：BC
解析：A.,
当,即时,又因为,解得：时,等号成立,故的最小值是4,故A不正确;
B.,当,即时,
又因为,解得：时,等号成立,的最小值为9,故B正确;
C.,当时等号成立,即 时等号成立,故C正确;
D.,当且仅当时等号成立,又因为,解得：时,等号成立,但,所以等号不能成立,故D不正确.
故选：BC.
10．答案：AD
解析：A.由,得,则,,即,故充分;
由,得,则,故不必要;故正确;
B.由,得,或,则 或,故不充分;
当,时,满足,但,故不必要,故错误;
C.命题“,”是存在量词命题,其否定是全称量词命题,即“,”,故错误;
D. 当时,1为方程的一个根,故充分;当方程有一个根为1时,代入得,故必要,故正确;
故选：AD.
11．答案：AC
解析：由,显然当时有,
但不存在实数a使成立,所以存在实数a,
使得函数为奇函数,不存在实数a,使得函数为偶函数.
所以选项A正确,选项B错误;
,当时,易知在上单调递增,
在上单调递减,在上单调递增,所以选项C正确;
同理可得,当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以选项D错误.
故选：AC.
12．答案：AD
解析：对A：令,数形结合可知,或0或;令,,,
又因为,故,
数形结合可知,,都有一个根,故方程有且仅有三个解,A正确;
对B：令,数形结合可知,;令,因为,数形结合可知,该方程有一个根,
故方程有且仅有一个解,故B错误;
对C：令,数形结合可知,或0或;
令,,
由题可知,,数形结合可知,,各有一个解,,有三个解,
故方程有且仅有五个解,故C错误;
对D：令,数形结合可知,;令,又,数形结合可知,该方程有一个解,
故方程有且仅有一个解,D正确.
故选：AD.
13．答案：-1
解析：由幂函数知,
得或.
当时,在上是增函数,
当时,在上是减函数,
.
故答案为：-1.
14．答案：
解析：,,,,
,
当且仅当,即,时取等号,
的最小值是,
故答案为：.
15．答案：1
解析：由题意知,,
设,则,
因为,
所以为奇函数,
在区间上的最大值与最小值的和为0,
故,
所以.
故答案为：1.
16．答案：
解析：因为函数图像关于对称,
所以函数是偶函数,
所以可转化为
因为当时,恒成立,
所以函数在上为增函数,
所以,解得,
所以x取值范围为,
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）4
解析：（1）
（2）
18．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）因为,所以x
因为p是真命题,
所以,
解得．
故a的取值范围是.
（2）若p是真命题,则,解得．
关于x的方程的两根分别为和．
若q是真命题,则,解得．
因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件,
所以．
19．答案：（1）;
（2）函数在上单调递增;证明见解析;
（3）.
解析：（1）因为是奇函数,所以,即,,
经检验时,是R上奇函数;
（2）,则在上单调递增.
证明如下：任取,且,
则,
因为,所以,所以,即,所以函数在上单调递增.
（3）又因为是R上奇函数,所以,
等价于,即,
因为为R上增函数,则对一切恒成立,即恒成立,
①显然成立,
②,解得.
综上所述,k的取值范围是.
20．答案：（1）,;
（2）奇函数,证明见解析;
（3）选①：;选②：.
解析：（1）取,得,即,
,
,
又,得,
可得;
（2）函数是定义在R上的函数,定义域关于原点对称,
取,得,移项得
函数是奇函数;
（3）选①：
是奇函数,且在上恒成立,
在上恒成立,且;
在R上是增函数,
在上恒成立,
在上恒成立,
令.由于,
.
,
.
选②：是奇函数,且在上有解,
在上有解,且;
在R上是增函数,
在上有解,
在上有解,
令.
由于,
,
.
21．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由图知
,
由基本不等式可知时,
当且仅当即时,
（2）要使矩形AMPN的面积大于,
,
或
DN的长应在.
22．答案：（1）函数在上是 “友好”的;
（2）;
（3）.
解析：（1）当时,在上单调递减,, ,
于是得,即,有,
所以当时,函数在上是 “友好”的.
（2）依题意,在上单调递减,
则,,
则有,
即,可得,令,
则,则,
函数在上单调递减,在上单调递增,
当或3时,取最大值1,此时,,
于是当或3时,取最大值,依题意,,
又对于任意的,,即,此时,
综上,a的取值范围是.
（3）依题意,方程
化：,且,
于是得：,即,
当时,可得,此时有且,则a=3,
当时,可得,此时有,矛盾,
当且时,可得或,
若是原方程的解,必有,且,则且,
若是原方程的解,必有,且,则且,
因此,要使方程有且仅有一个解,必有,
综上,方程的解集中有且仅有一个元素,有或a=3,
所以实数a的取值范围为.