2023-2024学年辽宁省锦州市高三上学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省锦州市高三上学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U=−3,−2,−1,0,1,2,3，集合A=−3,−2,2,B=−3,−2,1，则∁UA∪B=( )
A. −2,−1,1,2,3B. −2,−1,0,3C. −1,0,3D. −1,0
2.复数z=1+ 3i1+i5在复平面内对应的点位于
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.3 . 已知向量a,b满足a+b=1,−3,a−b=3,7，则a⋅b=( )
A. −12B. −20C. 12D. 20
4.《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，它标志着中国古代数学体系的形成.其中记载了这样一个数学问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰“我羊食半马.”马主曰“我马食半牛.”今欲衰偿之，问牛主出几何.意思是：牛､马､羊吃了别人的禾苗，苗主人要求三牲畜的主人共赔偿他五斗粟，羊的主人说：“我的羊吃了马一半的量.”马的主人说：“我的马吃了牛一半的量.”现在若依据三牲畜吃苗的量按比例赔偿苗主，牛主应偿还粟？(1斗=10升)( )
A. 1斗717升B. 1斗427升C. 2斗847升D. 2斗67升
5.若随机变量X∼Nμ,σ2，则下列说法错误的是
( )
A. X的密度曲线与y轴只有一个交点
B. X的密度曲线关于x=σ对称
C. 2P(X>μ+3σ)=P(X−μ>3σ)
D. 若Y=X−μσ，则EY=0,DY=1
6.若a>b>0,m>0,c∈R，则下列结论一定正确的是
( )
A. ac2>bc2B. b+c2a+c2>baC. b+ca+c>baD. b+ma+m>ba
7.已知F是拋物线C:y2=4x的焦点，过F的直线与C交于A，B两点，过A作准线l的垂线，垂足为P.若线段PF的垂直平分线与准线l交于点Q，点Q到直线AB的距离为d，则当AB=4d时，直线AB的方程为
( )
A. x+y−1=0或x−y−1=0
B. x+2y−1=0或x−2y−1=0
C. 2x+y−2=0或2x−y−2=0
D. x+ 3y−1=0或x− 3y−1=0
8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)+f(x)=f(1)，f(x)+f(−x)=f(0)，当x∈(0,12)时，f(x)=2x，则f(lg2118)=( )
A. −92B. −98C. −932D. −118
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以长为4cm，宽为3cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为
( )
A. 16πcm2B. 24πcm2C. 42πcm2D. 56πcm2
10.关于函数fx=4sin2x+π3x∈R有下列命题，其中正确的是
( )
A. y=fx的图象关于点−π6,0对称
B. y=fx在区间π12,π3上是单调递减函数
C. 若y=fωx(ω>0)在区间0,π3上恰有两个零点，则ω的取值范围为52,4
D. y=fx的图像关于直线x=π6对称
11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为DD1的中点，动点N在平面ABCD内的轨迹为曲线Γ.下列结论正确的有( )
A. 当MN⊥B1N时，Γ是一个点
B. 当动点N到直线DD1，BB1的距离之和为2 2时，Γ是椭圆
C. 当直线MN与平面ABCD所成的角为60∘时，Γ是圆
D. 当直线MN与平面ADD1A1所成的角为60∘时，Γ是双曲线
12.已知函数fx=ex2+4x+5,x≤0x+1x,x>0，若关于x的方程fx=k有四个不同的解x1,x2,x3,x4且x10)，已知点Aa,0,B0,b，点2,0到直线AB的距离为d1，点−2,0到直线AB的距离为d2，且d1+d2≥45c，则双曲线离心率的取值范围为 ．
16.已知矩形ABCD,AB=2 5,AD=4 5,AE垂直BD于点E,CF垂直BD于点F，将矩形ABCD沿对角线BD折起，使异面直线AE,CF成60∘角，若A,B,C,D四点都在球O的表面上，则球O的半径为 ，此时A,C两点间距离为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD=2,PA⊥平面ABCD,E为PD中点，且PA=1．

(1)求证：PB//平面ACE；
(2)求直线BE与平面PCD所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知Sn为数列an的前n项和，3Sn=an+2a1n∈N∗,a1≠0，且__________．
从①a1,14,a2成等差数列；②a1,a2+1,a3成等比数列；③S3=34这三个条件中任选一个补充在上面的横线上，并解答下列问题．
(1)求数列an的通项公式；
(2)记bn=an,n为偶数lg3an,n为奇数求数列bn的前2n+1项的和T2n+1．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
19.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其外接圆半径为1，b1−csB=4，sinA+sinC=1．
(1)求csB；
(2)求▵ABC的面积．
20.(本小题12分)
为不断提升社区服务质量，某物业公司监察部门对其服务的甲､乙两个社区开展“服务满意度大调查”，随机对两社区多名业主发放调查问卷，对物业公司服务评分，并绘制如下频率分布直方图，其中40,50为非常不满意，50,60为不满意，60,70为一般，70,80为基本满意，80,90为满意，90,100为非常满意．
(1)求乙社区调查结果图中的a值并估计乙社区调查结果的80%分位数(精确到0.01)；
(2)已知调查问卷中有75%来自甲社区业主．
①若在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取一份，请估计这份问卷恰好来自甲社区业主的概率；
②为了解业主对物业公司服务的具体意见，在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取70份进行细致分析，求这70份问卷中来自甲社区业主的问卷份数X的期望EX．
21.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为 22.直线l:x=ty+2与椭圆交于P,Q两点，点A3,2不在直线l上，直线PA与x=4交于点B．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求直线QB的斜率．
22.(本小题12分)
已知函数fx=x−lnx+a的最小值为0，其中a>0．
(1)求a的值；
(2)若对任意的x∈0,+∞，有fx≤kx2成立，求实数k的最小值；
(3)证明：i=1n22i−1−ln(2n+1)3σ)=P(Xμ+3σ)=2P(X>μ+3σ)，故 C正确；
E(Y)=E(X)−μσ=0，DY=1σ2DX=1σ2×σ2=1，故 D正确．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】特殊值c=0即可判断A、B、C；应用作差法判断D．
【详解】由a>b>0,m>0,c∈R，
若c=0，则ac2=bc2、b+c2a+c2=ba、b+ca+c=ba，A、B、C错；
b+ma+m−ba=ab+am−aba(a+m)=ma+m>0，即b+ma+m>ba，D对．
故选：D
7.【答案】D
【解析】【分析】设Ax1,y1，Bx2,y2，设AB方程为x=ty+1，代入抛物线方程由韦达定理得x1+x2经，由焦点弦长公式可得弦长AB，写出PF中点坐标，得直线PF的垂直平分线方程，从而求得Q点坐标，从而求得点Q到直线AB距离，再由已知求得参数t得直线方程．
【详解】由题意知F1,0，l:x=−1.设直线AB的方程为x=ty+1，由x=ty+1,y2=4x,得x2−4t2+2x+1=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，所以x1+x2=4t2+2，则AB=x1+x2+2=4t2+1.又易知P−1,y1，y1≠0，
AP=AF，所以PF的中点坐标为0,y12，kAQ=−1kPF=2y1，
则直线AQ的方程为y=2y1x+y12.令x=−1，得y=−2y1+y12=y12−42y1=4x1−42y1=4ty1+1−42y1=2t，则Q−1,2t，点Q到直线AB的距离d=2t2+2 t2+1=2 t2+1，
又AB=4d，所以4t2+1=8 t2+1，解得t=± 3，
所以直线AB的方程为x=± 3y+1，即x+ 3y−1=0或x− 3y−1=0，
故选：D．
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线相交，考查焦点弦长公式．解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标为设Ax1,y1，Bx2,y2，再设直线方程，代入抛物线方程应用韦达定理，求得焦点弦长．然后采取解析几何的基本方法，得点坐标写出直线方程，求出交点坐标，求出点到直线距离，再由距离关系求得结论．考查了学生的运算求解能力．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的性质的应用，对数的运算，属于中档题．
由已知条件可得函数f(x)是奇函数也是周期函数，利用周期性和奇偶性，有f(lg2118)=−f(lg298)，代入已知解析式求解即可．
【解答】
解：由f(x+1)+f(x)=f(1)，有f(x+2)+f(x+1)=f(1)，
可得fx+2=fx，所以fx的周期为2，
令x=0，代fx+f−x=f0，可得f0=0，
所以fx+f−x=0，又函数f(x)的定义域为R，
故函数fx为奇函数，
所以f(lg2118)=f(−lg218)=−f(lg218)=−f(lg218−4)=−f(lg298)
因为00，即t2+1>0，
y1+y2=−4tt2+2，y1y2=−4t2+2，
因为A3,2不在直线l上，所以3≠2t+2，即t≠12，
则直线PA方程为：y−2=y1−2x1−3x−3，令x=4，则y=y1−2x1−3+2=y1+2x1−8x1−3，
因为直线PA与x=4交于点B，所以B4,y1+2x1−8x1−3，
所以kQB=y1+2x1−8x1−3−y24−x2=2ty1−4−ty1y2+y1+y1ty1+ty1+y1−t2y1y2−2，
将y1+y2=−4tt2+2，y1y2=−4t2+2代入，可得kQB=2ty1−4ty1−2=2，
所以直线QB的斜率为2．


【解析】(1)根据短轴长求出b，再由离心率e=ca，及a2=b2+c2求出c，a，即可求出椭圆方程；
(2)设Px1,y1，Qx2,y2，联立直线和椭圆方程，得出y1+y2=−4tt2+2，y1y2=−4t2+2，根据题意表示出点B坐标，再由斜率公式求解即可．
22.【答案】解：(1)由函数fx=x−lnx+a，则其定义域为−a,+∞，且f′x=1−1x+a．
由f′x=0，得：x=1−a>−a，又由f′x≥0，得：x≥1−a，
∴fx在−a,1−a单调递减，在1−a,+∞单调递增，
∴f(x)min=f1−a=0,∴a=1；
(2)设gx=kx2−x+lnx+1x≥0，
则gx≥0在0,+∞恒成立等价于g(x)min≥0=g0∗，
注意到g1=k−1+ln2≥0⇒k>0，又g′x=x2kx+2k−1x+1，
①当2k−1