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数学九年级下册28.1 锐角三角函数练习
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这是一份数学九年级下册28.1 锐角三角函数练习，共236页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. ( 3分 ) 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则tanα的值是（ ）
A. 35 B. 45 C. 34 D. 43
2. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（ ）
A. 2 B. 433 C. 2 3 D. 4 3
3. ( 3分 ) 如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）
A. 125 B. 512 C. 513 D. 1213
4. ( 3分 ) 如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF=45°，边 AF 交 CD 于点 F ，连接 EF ，则下列说法中：① ∠EAB=30° ；② BE+DF=EF ；③tan∠AFE=3；④ SΔCEF=6 正确的有( )
A. ①②③ B. ②④ C. ①④ D. ②③④
5. ( 3分 ) 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD= 2 ；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
6. ( 3分 ) 如图，在 △ABC 中， ∠BAC=45° ， D 为 AC 上一点，连接 BD ，将 △BDC 沿 BD 翻折，点 C 恰好落在 AB 上的点 E 处，连 CE .若 AD=722 ， tan∠ABD=13 ，则 CD 的长度为（ ）
A. 522 B. 625 C. 322 D. 723
7. ( 3分 ) 如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ α ，则MN可用 α 表示为（ ）
A. rsinα B. 2rsinα2 C. rcsα D. 2rcsα2
8. ( 3分 ) 如图， Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=23 ， BC=3 .点 P 为 ΔABC 内一点，且满足 PA2+PC2 =AC2 .当 PB 的长度最小时， ΔACP 的面积是（ ）
A. 3 B. 33 C. 334 D. 332
9. ( 3分 ) 如图，一块含有 30° 的直角三角板的直角顶点和坐标原点 O 重合， 30° 角的顶点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，顶点 B 在反比例函数 y=4x 的图象上，则 k 的值为（ ）
A. 12 B. -12 C. 3 D. -3
10. ( 3分 ) 在边长为1的正方形组成的网格中，线段AB，CD的端点都在格点上，AB，CD交于点E，则tan∠AED的值为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 5
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图，折线 AB−BC 中， AB=3 ， BC=5 ，将折线 AB−BC 绕点A按逆时针方向旋转，得到折线 AD−DE ，点B的对应点落在线段 BC 上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接 CE ，若 CE⊥BC ，则 tan∠EDC= ________°.
12. ( 4分 ) 如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．连结CE交边AD于点F ． 如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于________．
13. ( 4分 ) 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AB上，且AD＝2，长度为1的线段PQ在边AC上运动，则线段DP的最小值为________，四边形DPQB面积的最大值为________．
15. ( 4分 ) 如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将 △DAE 按逆时针方向旋转得 △DCF ，连接EF，分別交BD，CD于点M，N.若 AEDN=25 ，则 sin∠EDM= ________.
16. ( 4分 ) 将一副三角板如图放置在一起，使得等腰直角 △ABD 与直角 △ACD 的斜边重合，其中 AD=4,∠B=∠C=90°,∠CAD=30° ，则点B到边 AC 的距离为________.
17. ( 4分 ) 如图，在平面直角坐标系中，有一个 Rt△OAB ， ∠ABO=90° ， ∠AOB=30° ，直角边 OB 在y轴正半轴上，点A在第一象限，且 OA=1 ，将 Rt△OAB 绕原点O逆时针旋转 30° ，同时把各边长扩大为原来的2倍（即 OA1=2OA ），得到 Rt△OA1B1 ，同理，将 Rt△OA1B1 绕原点O逆时针旋转 30° ，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到 Rt△OA2B2 ，…，依此规律，得到 Rt△OA2021B2021 ，则点 B2021 的纵坐标为________．
18. ( 4分 ) 矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 B(23,2) ，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线 OB 上一动点（不与原点重合），连接 PC ，过点P作 PD⊥PC ，交x轴于点D.则下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）
① OA=BC=23 ；
②当点D运动到 OA 的中点处时， PC2+PD2=7 ；
③当 OD=PD 时，点D的坐标为 (33,0) ；
④在运动过程中， ∠CDP 是一个定值.
三、解答题
19. ( 7分 ) 某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西两端A、B间的距离.于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向.请你根据以上提供的信息，计算“东州湖”东西两端之间AB的长.（结果精确到1米）（参考数据：sin73°≈0.9563，cs73≈0.2924，tan73°≈3.2709， 2 ≈1.414.）
20. ( 7分 ) 在棚户区改造时，要拆除废旧烟囱 AB （如图），在烟囱正西方向的楼房 CD 的顶端C处，测得烟囱的顶端A的仰角为 45° ，底端B的俯角为 30° 已量得 DB=24m .拆除时若让烟囱向正东方向倒下，试问：距离烟囱正东方向 35m 远的一棵大树是否会被歪倒的烟囱砸到？请说明理由.（参考数据： 3≈1.732 ）
21. ( 7分 ) 如图正方形OABC的边长等于2，且AO边与x轴正半轴的夹角为60º，O为原点坐标，求点B的坐标.
22. ( 5分 ) 如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B=54.5°，外口宽AD=180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE=26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据： sin54.5°≈0.81 ， cs54.5°≈0.58 ， tan54.5°≈1.40 ， sin26.5°≈0.45 ， cs26.5°≈0.89 ， tan26.5°≈0.50 ）
23. ( 7分 ) 如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2 3 ，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，求 AF长。
四、综合题
24. ( 12分 ) 如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F ， 使CF＝GC ， 以DC ， CF为邻边作菱形DCFE ， 连接CE ．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；
（2）连接DF ， 若BC＝ 3 ，求DF的长．
25. ( 13分 ) 如图，在⊙ O 中， AB 是直径， AB⊥CD ，垂足为P，过点 D 的 ⊙O 的切线与 AB 的延长线交于点 E , 连接 CE .
（1）求证： CE 为⊙ O 的切线；
（2）若⊙ O 半径为3， CE=4 ，求 sin∠DEC .
第28章 锐角三角函数 培优卷
满分120分
一、单选题
1. ( 3分 ) 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则tanα的值是（ ）
A. 35 B. 45 C. 34 D. 43
【答案】 C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】正切的定义：正切=对边：邻边
【解答】由图可知tanα=34 ，
故选C.
【点评】本题是基础应用题，只需学生熟练掌握正切的定义，即可完成.
2. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（ ）
A. 2 B. 433 C. 2 3 D. 4 3
【答案】 B
【考点】含30°角的直角三角形，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°
∴∠A=30°
∵CD=2，DE=1，
∴AD=2，AC=AD+DC=4，
由∠A=∠A，∠DEA=∠C=90°，得
△ABC∽△ADE，
∴ BCDE = ACAE
∴ BC1 = 43
∴BC= 433 ．
故答案为：B．
【分析】根据含30°角的三角形的边的关系得出AD=2，进而得出AC=AD+DC=4，然后判断出△ABC∽△ADE，，根据相似三角形对应边成比例得出BCDE=ACAE,从而得出答案。
3. ( 3分 ) 如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）
A. 125 B. 512 C. 513 D. 1213
【答案】 D
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意，得：tanα=i= 12.4 = 512 ，
设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，
则斜边= 25x2+144x2 =13x，
则csα= 12x13x = 1213 ．
故选D．
【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．
4. ( 3分 ) 如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF=45°，边 AF 交 CD 于点 F ，连接 EF ，则下列说法中：① ∠EAB=30° ；② BE+DF=EF ；③tan∠AFE=3；④ SΔCEF=6 正确的有( )
A. ①②③ B. ②④ C. ①④ D. ②③④
【答案】 D
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，计算器—三角函数
【解析】【解答】证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG．如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠D=90°，
∴∠ABG=90°=∠D，
∵△ABG和△ADF中，
{AB=AD∠ABG=∠DBG=DF
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠1=∠2，
又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，
∴∠2+∠3=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∴∠GAE=∠EAF=45°．
在△AEG和△AEF中，
{AG=AF∠GAE=∠EAFAE=AE
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴GE=EF，
∵GE=BG+BE，DF=BG，
∴EF=DF+BF，故②符合题意，
∵BE=EC=3，AB=6，
∴tan∠3=BEAB=12 ，
∴∠3≠30°，故①不符合题意，
设DF=x，则EF=x+3，
在Rt△EFC中，∵EF2=CF2+EC2 ，
∴（x+3）2=32+（6-x）2 ，
∴x=2，
∴DF=BG=2，
∴tan∠AFE=tan∠G=ABBG=3 ，故③符合题意，
∴SΔCEF=12⋅CE⋅CF=12×3×4=6 ，故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】延长延长CB到G，使BG=DF，连接AGCB到G，使BG=DF，连接AG，根据已知条件判定△ABG≌△ADF（SAS），对应角相等，再判定△AEG≌△AEF（SAS）。因此可得出GE=EF，GE=BG+BE，DF=BG，所以EF=DF+BF。设DF=x，在直角三角形ECF中，勾股定理即可求x，即而求出tan∠AFE，S△CEF列出表达式代数即可。根据∠EAB的正切函数值，可以判定∠EAB的度数。
5. ( 3分 ) 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD= 2 ；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】 C
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ AEBC = AFCF ，
∵AE= 12 AD= 12 BC，
∴ AFCF = 12 ，
∴CF=2AF，故④正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE= 12 BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有 ba = 2ab ，即b= 2 a，
∴tan∠CAD= DCAD = b2a = 22 ．故②不正确；
正确的有①③④，
故答案为：C．
【分析】只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可判断①正误；由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AE和CF的关系即可判断④正误；只要证明DM垂直平分CF，即可证明③；设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，求出a和b的关系，可得tan∠CAD的值即可判断②的正误，于是得到四个结论中正确结论.
6. ( 3分 ) 如图，在 △ABC 中， ∠BAC=45° ， D 为 AC 上一点，连接 BD ，将 △BDC 沿 BD 翻折，点 C 恰好落在 AB 上的点 E 处，连 CE .若 AD=722 ， tan∠ABD=13 ，则 CD 的长度为（ ）
A. 522 B. 625 C. 322 D. 723
【答案】 A
【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，记 BD,CE 交于 N, 过 D 作 DM⊥AB 于 M, 过 D 作 DH⊥BC 于 H,
∵∠ABD=∠CBD,
∴DM=DH,
∴12BC·DH12AB·DM=12CD·ℎ12AD·ℎ,
∵△ABD,△CBD 中 AD,CD 上的高相等，
∴BCAB=CDAD,
∵ ∠BAC=45° ， AD=722 ，
∴AM=DM=AD·cs45°=722×22=72,
∵ tan∠ABD=13 ，
∴DMBM=13,
∴BM=3×72=212,
∴ AB=72+212=14,
由对折可得： DC=DE,BC=BE,
∴BD 是 CE 的中垂线，
∴BD⊥CE,
∵ tan∠ABD=13 ，
∴ENBN=13,
设 EN=x, 则 BN=3x,
∴BE=x2+9x2=10x=BC,
∴ME=212−10x,
∵BCAB=CDAD,
∴10x14=CD722,
∴CD=52x=DE,
∴(52x)2=(72)2+(212−10x)2,
整理得： 5x2−1210x+70=0,
∴x1=7510,x2=10,
检验：当 x1=7510 时， BE=10x=10×7510=14=AB, 不合题意舍去，取 x2=10,
∴ CD=52x=52×10=522.
故答案为：A
【分析】设BD、CE交于N，过D作DM⊥AB于M，过D作DH⊥BC于H，先利用角平分线的性质证明：BCCD=ABAD ， 再求解再求解AM = DM = AD.cs45°=72 ， 由tan∠ABD=13 , 求解BM=212 ， AB=14，再证明BD时CE的中垂线，由ENBN=13, 设EN=x 则BN=3x，求解BE=x2+9x2=10x可得ME=212-10x, 由BCAB=CDAD, 可得CD=52x=DE，再利用勾股定理列方程，解方程并检验即得答案.
7. ( 3分 ) 如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ α ，则MN可用 α 表示为（ ）
A. rsinα B. 2rsinα2 C. rcsα D. 2rcsα2
【答案】 A
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，
∵
∵∠CMD=∠DNO=90°，
∴∠D=∠D，
∴△CMD∽△OND，
∴DMDN=DCDO ， 即DMDC=DNDO,
∵∠D=∠D，
∴△DMN∽△DCO，
∴MNCO=DNOD ，
∵sin∠AON=DNOD,
∴sin∠AON=MNCO,
即sinα=MNr,
∴MN= rsinα ，
故答案为：A.
【分析】连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，先根据圆周角定理推得角相等，再证明△CMD∽△OND，由相似三角形的性质得比例式，然后转换比例，再证△DMN∽△DCO，从而可把sinα转换成用MNr来表示，则MN长可求.
8. ( 3分 ) 如图， Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=23 ， BC=3 .点 P 为 ΔABC 内一点，且满足 PA2+PC2 =AC2 .当 PB 的长度最小时， ΔACP 的面积是（ ）
A. 3 B. 33 C. 334 D. 332
【答案】 D
【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ∵PA2+PC2=AC2
∴ ∠APC=90°
取 AC 中点O，并以O为圆心， 12AC 长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
∴AO=PO=CO
∵CO=12AC=12×23=3,BC=3
∴BO=BC2+CO2=23
∴BP=BO−PO=3
∴ 点P是BO的中点
∴ 在 RtΔBCO 中， CP=12BO=3=PO
∴ ΔPCO 是等边三角形
∴ ∠ACP=60°
∴ 在 RtΔAPC 中， AP=CP×tan60°=3
∴SΔAPC=12AP×CP=3×32=332 .
【分析】由勾股逆定理得出∠APC为90°，取 AC 中点O，并以O为圆心， 12AC 长为半径画圆，则知当B、P、O三点共线时，BP最短，再求出OC的长，然后利用勾股定理求出BO，再根据线段间的关系求出△PCO为等边三角形，得出∠ACP为60°，利用三角函数的定义求出AP，代入面积公式计算即可.
9. ( 3分 ) 如图，一块含有 30° 的直角三角板的直角顶点和坐标原点 O 重合， 30° 角的顶点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，顶点 B 在反比例函数 y=4x 的图象上，则 k 的值为（ ）
A. 12 B. -12 C. 3 D. -3
【答案】 B
【考点】反比例函数的图象，反比例函数系数k的几何意义，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
∴△CAO∽△DOB，
∴ S△CAO ： S△DOB = (AOBO)2 ，
∵ 30° 角的顶点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴tan30°=OB：OA= 33 ，
∴ S△CAO ： S△DOB =3：1，
∵点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，顶点 B 在反比例函数 y=4x 的图象上，
∴ S△CAO = |k|2 ， S△DOB = 42 =2，
∴ |k|2 ：2 =3：1，
∴ |k| =12，
∵反比例函数 y=kx 的图象在第二象限，
∴k= -12，
故答案为：B．
【分析】在反比例函数中求K的值，一定是利用图象上一点的横纵坐标的乘积来求。有图象知，只有一个点A过反比例函数y=kx ， 因此过点A做AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，这属于K字型相似，由此可证△CAO∽△DOB，再根据30°角，可求出正切值，也就是OB:OA=3:3 ， 面积比就是3:1。根据S△AOC=|x||y|2=|K|2,S△DOB = 42 =2，再根据比值=3:1，可求得|k|=12，再根据图象在第二象限，k＜0，所以k=-12。
10. ( 3分 ) 在边长为1的正方形组成的网格中，线段AB，CD的端点都在格点上，AB，CD交于点E，则tan∠AED的值为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 5
【答案】 C
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连结AF，交CD于点F，如图所示，
∵四边形ACGD是正方形，
∴DF=CF=12CD ， GF=12AG ， CD⊥AG ， CD=AG ，
∴DF=AF，
由题意得AC∥BD，
∴△ACE~△DBE ，
∴CEDE=ACBD=13 ，
∴CECF=12 ，
∴CE=CF=12DF=12AF ，
在Rt△AEF中，tan∠AED=AFEF=2 ，
故答案为：C.
【分析】连结AF，交CD于点F，由题意得出四边形ACGD是正方形，根据正方形的性质即可得出DF=CF=12CD ， GF=12AG ， CD⊥AG ， CD=AG ， 然后根据AC∥BD，得出△ACE~△DBE ， 从而得出CEDE=ACBD=13 ， 进而得出CECF=12 ， 在Rt△AEF中，根据正切函数的定义即可求解.
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图，折线 AB−BC 中， AB=3 ， BC=5 ，将折线 AB−BC 绕点A按逆时针方向旋转，得到折线 AD−DE ，点B的对应点落在线段 BC 上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接 CE ，若 CE⊥BC ，则 tan∠EDC= ________°.
【答案】 247
【考点】勾股定理，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：连接AC 、AE ，过点A作AF⊥BC于F ,作AH⊥EC于H.
∵CE⊥BC，AF⊥BC，AH⊥EC
∴四边形AFCH是矩形，
∴AF=CH，
∵将折线AB-BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD-DE
∴AD=AB=3、BC=DE=5，∠ABC=∠ADE
∴△ABC≌△ADE
∴AC=AE，
∵AC=AE，AB=AD，AF⊥BC，AH⊥EC，BF=DF，CH=EH
∴ AB2=AF2+BF2,DE2=DC2+CE2
∴ 9=AF2+BF2,25=(5−2BF)2+4AF2
∴BF= 95 ，AF= 125
∴ EC=2CH=2AF=245,CD=5−2×95=75
∴ tan∠EDC=ECCD=247
故答案为：2
【分析】连接AC 、AE ，过点A作AF⊥BC于F ,作AH⊥EC于H.再证明四边形AFCH是矩形,可得AF=CH ,由旋转的性质可得AD=AB=3、BC=DE=5，∠ABC=∠ADE，则△ABC≌△ADE，即AC=AE ；再由等腰三角形的性质和勾股定理可得BF、AF、EC、CD的长，最后根据正切定义解答即可.
12. ( 4分 ) 如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．连结CE交边AD于点F ． 如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于________．
【答案】 655
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，△BED是由△BCD翻折得到，
∴Rt△BCD≅Rt△BED，CE⊥BD。
∴AD=BC=4，AB=CD=ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，
又∵BD=DB
∴Rt△DAB≅Rt△BCD
∴Rt△DAB≅Rt△BED，
∴AB=ED，∠ABD=∠EDB,
∴四边形ABDE是等腰梯形，
∵CE⊥BD，AE∥BD
∴CE⊥AE，∠EAD=∠ADB=∠DBC
∵∠DBC+∠FCB=90°，∠FBC+∠FCD=90°，
∴∠DBC=∠FCD
∴Rt△BCD≅Rt△CDF
∴FDCD=CDBC ， 即1CD=CD4
∴CD=2或-2（舍去）
在Rt△BCD中，tan∠DBC=CDBC=12 ，
∵∠EAD=∠DBC
∴tan∠EAD=12
在Rt△AEF中，EF=12AE
由勾股定理得，AE2=AF2-EF2
即AE2=(AD−FD)2−12AE2
∴AE2=(4−1)2−14AE2
解得：AE=655 ．
故答案为：655 ．
【分析】由折叠的性质可得Rt△BCD≅Rt△BED，由矩形的性质可证明Rt△DAB≅Rt△BCD，故可得Rt△DAB≅Rt△BED，再证明Rt△CDF≅Rt△BCD求得CD=2，在Rt△AEF中由勾股定理可得解．
13. ( 4分 ) 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AB上，且AD＝2，长度为1的线段PQ在边AC上运动，则线段DP的最小值为________，四边形DPQB面积的最大值为________．
【答案】 32；1332
【考点】垂线段最短，三角形的面积，等边三角形的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接QD，过D作DE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，当P在E的位置时，DP最短，
∴DP最小=DE=ADsin60°=2×32=3 ，
S△DPQ=12PQ×DE=12×1×3=32 ，
当Q到DB的距离最大时，△BDQ的面积最大，则四边形DPQB面积的最大，这时Q与C重合，
∴BD边上的高h=CF=BC×sinB=6× 32=33 ，
∴S△BQD最大=12BD×QF=12×（6-2）×33=63 ，
四边形DPQB面积的最大值= S△BQD最大+S△DPQ=63+32=1332 ，
故答案为：32 ， 1332.
【分析】连接QD，过D作DE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，根据垂线段最短的性质可知当P在E的位置时，DP最短，然后在Rt△AED中，利用三角函数求出AE长即可； 四边形DPQB面积等于△PDQ的面积与△BQD的面积之和，由于△DPQ的面积是定值，则只要求△PDQ的面积最大即可；由于其底边BD一定，只要求BD上的高最大即可，由题意可知这时Q与C重合，于是根据等边三角形的性质求出高h，则其面积可求，最后求四边形DPQB面积即可.
14. ( 4分 ) 如图.在边长为6的正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别在 BC ， CD 上， BC=3BE 且 BE=CF ， AE⊥BF ，垂足为 G ， O 是对角线 BD 的中点，连接 OG 、则 OG 的长为________.
【答案】 855
【考点】勾股定理，正方形的性质，圆周角定理，解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接 OA ，以 12AB 为半径， AB 的中点 M 作圆，过 O 作 ON⊥AG
∵ ABCD 是正方形， BD 是对角线
∠ABO=45°
∵AO=AO
∴∠AGO=∠ABO=45° ，
AN=NE=12AE
∵ ABCD 是正方形， BC=3BE
∴AB=BC=6,
∴BE=2
AE=AB2+BE2
=62+22=210
∵12AB×BE=12AE×BG
∴BG=AB·BEAE=6×2210=3510
在 Rt△ABE 中
tan∠EAB=BEAB=26=13
∴AG=BGtan∠GAB=9510
∵NG=AG−AN
=AG−12AE
=9510−10
=4510
在 Rt△ONG 中
OG=NGcs∠NGO=410522=855
故答案为 855 .
【分析】连接 OA ，以 12AB 为半径， AB 的中点 M 作圆，过 O 作 ON⊥AG ， 利用正方形的性质及勾股定理求出AB、BE、AE，利用直角三角形ABE的面积不变，可求出BG，在 Rt△ABE 中，由AG=BGtan∠GAB求出AG，由NG=AG-AN求出GN，在 Rt△ONG 中，利用OG=NGcs∠NGO求出OG即可.
15. ( 4分 ) 如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将 △DAE 按逆时针方向旋转得 △DCF ，连接EF，分別交BD，CD于点M，N.若 AEDN=25 ，则 sin∠EDM= ________.
【答案】 55
【考点】勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
AB=BC= CD=DA=1， BD=2 .
∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF，
∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°.
设AE=CF=2x，DN=5x，
则BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x.
∵AB∥DC，
∴ △FNC~△FEB .
∴ NCEB=FCFB .
∴ 1−5x1−2x=2x1+2x .
整理得， 6x2+5x−1=0 .
解得， x1=16 ， x2=−1 （不合题意，舍去）.
∴ AE=2x=13，EB=1−2x=23 .
∴ DE=AD2+AE2=12+(13)2=103 .
过点E作EP⊥BD于点P，如图所示，
设DP=y，则 BP=2−y .
∵ EB2−BP2=EP2=DE2−DP2 ，
∴ (23)2−(2−y)2=(103)2−y2 .
解得， y=223 .
∴ EP=E2D−DP2=(103)2−(223)2=23 .
∴在Rt△DEP中，
sin∠EDP=EPED=23103=55 .即 sin∠EDM=55 .
故答案为： 55
【分析】根据旋转的性质，可设AE=CF=2x，DN=5x，证明△FNC~△FEB ， 可得NCEB=FCFB ， 据此求出x值即得AE、BE，利用勾股定理求出DE，过点E作EP⊥BD于点P，设DP=y，则 BP=2−y 由EB2−BP2=EP2=DE2−DP2 建立y方程，求出y值即得DP，利用勾股定理求出EP，在Rt△DEP中，由sin∠EDP=EPED计算即得.
16. ( 4分 ) 将一副三角板如图放置在一起，使得等腰直角 △ABD 与直角 △ACD 的斜边重合，其中 AD=4,∠B=∠C=90°,∠CAD=30° ，则点B到边 AC 的距离为________.
【答案】 3−1
【考点】含30°角的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：过B作 BE⊥AC 于E，
∵AD=4 ， ∠ABF=∠C=90° ， ∠CAD=30° ，
∴CD=12AD=2 ， AB2+BD2=AD2=16 ，
∵AB=BD ，
∴2AB2=16 ，
∴AB=BD=22 ，
∵∠ABF=∠C ， ∠AFB=∠DFC ，
∴ΔABF∽ΔDCF ，
∴ BFCF=ABDC=222=2 ，
设 CF=x ，则 BF=2x ，
∴DF=BD−BF=22−2x ，
∵DF2=CD2+CF2 ，
∴(22−2x)2=22+x2 ，
解得 x1=4−23 ， x2=4+23>AD （不合题意，舍去），
即 CF=4−23 ，
∴BF=42−26 ，
∵AC=AD⋅cs∠CAD=4×32=23 ，
∴AF=AC−CF=23−(4−23)=43−4 ，
∵SΔABF=12AB⋅BF=12AF⋅BE ，
∴BE=AB⋅BFAF=22×(42−26)43−4=2(2−3)3−1=3−1 ，
故答案为： 3−1 .
【分析】过B作 BE⊥AC 于E，利用直角三角形的性质求出CD、AB，证明ΔABF∽ΔDCF ，可得
BFCF=ABDC=2 ， 设 CF=x ，则 BF=2x ，DF=BD−BF=22−2x ，由
DF2=CD2+CF2可建立关于x方程，求出x值即得CF、BF，从而求出AC=AD⋅cs∠CAD=23
，继而可得AF=AC−CF=43−4 ， 根据SΔABF=12AB⋅BF=12AF⋅BE求出BE即得结论.
17. ( 4分 ) 如图，在平面直角坐标系中，有一个 Rt△OAB ， ∠ABO=90° ， ∠AOB=30° ，直角边 OB 在y轴正半轴上，点A在第一象限，且 OA=1 ，将 Rt△OAB 绕原点O逆时针旋转 30° ，同时把各边长扩大为原来的2倍（即 OA1=2OA ），得到 Rt△OA1B1 ，同理，将 Rt△OA1B1 绕原点O逆时针旋转 30° ，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到 Rt△OA2B2 ，…，依此规律，得到 Rt△OA2021B2021 ，则点 B2021 的纵坐标为________．
【答案】 3×22019
【考点】锐角三角函数的定义，探索图形规律
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，
∴OB＝OA•cs∠AOB＝ 32 ，
由题意得，OB1＝2OB＝ 32 ×2，
OB2＝2OB1＝ 32 ×22 ， ……
OBn＝ 32 ×2n＝ 3 ×2n−1 ，
∵2021÷12＝168……5，
∴点B2021的纵坐标为： 3 ×22020×cs60°= 3 ×22020× 32 ＝3×22019 ，
故答案为：3×22019 ．
【分析】由锐角三角函数的定义，结合直角三角形的性质，探究图形的规律，根据规律计算得到点的纵坐标即可。
18. ( 4分 ) 矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 B(23,2) ，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线 OB 上一动点（不与原点重合），连接 PC ，过点P作 PD⊥PC ，交x轴于点D.则下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）
① OA=BC=23 ；
②当点D运动到 OA 的中点处时， PC2+PD2=7 ；
③当 OD=PD 时，点D的坐标为 (33,0) ；
④在运动过程中， ∠CDP 是一个定值.
【答案】 ①②④
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2 3 ，2），
∴OA=BC=2 3 ；故①正确；
②∵点D为OA的中点，
∴OD= 12 OA= 3 ，
∴PC2+PD2=CD2=OC2+OD2=22+（ 3 ）2=7，故②正确；
③∵B（2 3 ，2），四边形OABC是矩形，
∴OC=AB=2，
∵ tan∠AOB=ABOA=33 ，
∴∠AOB=30°，
∵ OD=PD
∴∠DOP=∠DPO=30°，
∵ PD⊥PC ，即 ∠DPC=90°
∴∠OPC=60°，
∵ CO⊥x 轴， PD⊥PC
∴ O、D、P、C 四点在以 CD 为直径的圆上，如图
∴ ∠ODC=∠OPC=60°
∴ tan∠ODC=OCOD = 3
∴ OD=33OC=233 ，
∴当 OD=PD 时，点D的坐标为（ 233 ，0）.故③错误，
④如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF=OC=2，
设PE=a，则PF=EF-PE=2-a，
在Rt△BEP中， tan∠CBO=PEBE=OCBC=33 ，
∴BE= 3 PE= 3 a，
∴CE=BC-BE=2 3 - 3 a= 3 （2-a），
∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD=90°，
∵∠CPE+∠PCE=90°，
∴∠FPD=∠ECP，
∵∠CEP=∠PFD=90°，
∴△CEP∽△PFD，
∴ CEPF=PCPD ，
∴ tan∠PDC=PCPD=CEPF=3(2−a)2−a=3 ，
∴∠PDC=60°，故④正确；
故答案为：①②④.
【分析】①根据矩形的性质及点B坐标，可得OA=BC=2 3 ， 据此判断即可；
②由点D为OA的中点，可得OD= 12 OA= 3 ，根据勾股定理可得PC2+PD2=CD2=OC2+OD2 ， 代入数据计算并判断即可；
③先求出∠OPC=60°，由CO⊥x 轴， PD⊥PC ， 可得O、D、P、C 四点在以 CD 为直径的圆上，利用圆周角定理可得∠ODC=∠OPC=60° ， 从而得出tan∠ODC=OCOD = 3 ， 据此判断即可；
④如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，可得四边形OFEC是矩形，即得EF=OC=2，设PE=a，则PF=EF-PE=2-a，根据三角函数的定义可得BE= 3 PE= 3 a，从而求出CE=BC-BE= 3 （2-a），可证△CEP∽△PFD，可得CEPF=PCPD ，可求出tan∠PDC=PCPD=CEPF=3 ， 即得∠PDC=60°，据此判断即可.
三、解答题
19. ( 7分 ) 某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西两端A、B间的距离.于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向.请你根据以上提供的信息，计算“东州湖”东西两端之间AB的长.（结果精确到1米）（参考数据：sin73°≈0.9563，cs73≈0.2924，tan73°≈3.2709， 2 ≈1.414.）
【答案】 解：∵∠BCD＝45°，CD⊥AB，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD.
∵BC＝350米，
∴CD＝BD＝350× 22 ＝175 2 ≈175×1.414＝247.45米，
∴AD＝CD•tan73°≈247.45×3.2709≈809.38米，
∴AB＝AD+BD＝809.38+247.45≈1057（米）.
答：“东州湖”东西两端之间AB的长为1057米.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先根据题意得出△BCD是等腰直角三角形，故可得出CD＝BD，再由锐角三角函数的定义得出AD的长，进而可得出结论.
20. ( 7分 ) 在棚户区改造时，要拆除废旧烟囱 AB （如图），在烟囱正西方向的楼房 CD 的顶端C处，测得烟囱的顶端A的仰角为 45° ，底端B的俯角为 30° 已量得 DB=24m .拆除时若让烟囱向正东方向倒下，试问：距离烟囱正东方向 35m 远的一棵大树是否会被歪倒的烟囱砸到？请说明理由.（参考数据： 3≈1.732 ）
【答案】 解：距离烟囱东方35m远的一棵大树被歪倒的烟囱砸着. 理由如下：
∵ DB=24 m，∠GCB=30°，∠ACG=45°，
∴ CG=24 m，
∴ BG=CG·tan30°=24×33=83,
AG=CG·tan45°=24 m，
∴ AB=AG+GB=24+83≈37.86 m，
∵ 37.86 ＞35，
∴距离烟囱东方35m远的一棵大树被歪倒的烟囱砸着.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意可以求得AG和GB的长，从而可以求得AB的长，然后与35比较大小即可解答本题.
21. ( 7分 ) 如图正方形OABC的边长等于2，且AO边与x轴正半轴的夹角为60º，O为原点坐标，求点B的坐标.
【答案】 解：过点A作AM⊥y轴于点M.
∵OA与x轴的夹角为60°，
∴OA与y轴的夹角为30°，OA=OC=2，
∴AM=2×sin30°=1,OM=2×cs30°= 3 ，
故点A的坐标为(1, 3 )；
过点C作CN⊥x轴于点N.
∵OC与x轴的夹角为30∘，
∴ON=2×cs30°= 3 ,CN=2×sin30°=1，
故点C的坐标为(− 3 ,1).
设点B的坐标为(a,b)，
过B作BE⊥x轴，交x轴于点E，过C作CD⊥BE，交BE于点D，如图所示：
∵OB= 22 ,BD=b−1,CD= 3 +a，
∴ {a2+b2=(22)2(a+3)2+(b−1)2=22 ，
解得：b= 3 +1,a=1− 3 ，
∴点B的坐标为(1− 3 , 3 +1).
【考点】点的坐标，正方形的性质，解直角三角形
【解析】【分析】 过点A作AM⊥y轴于点M ，利用三角函数求出AM的长，得到点A的坐标，再设点B的坐标为 (a,b)， 过B作BE⊥x轴，交x轴于点E，过C作CD⊥BE，交BE于点D， 列出方程组求解即可。
22. ( 5分 ) 如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B=54.5°，外口宽AD=180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE=26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据： sin54.5°≈0.81 ， cs54.5°≈0.58 ， tan54.5°≈1.40 ， sin26.5°≈0.45 ， cs26.5°≈0.89 ， tan26.5°≈0.50 ）
【答案】 解：过 B 作 BH⊥AD 于 H ，过 C 作 CQ⊥AD 于 Q ，
∴∠BHA=∠CQD=90°，
∵ 四边形 ABCD 为等腰梯形，
∴AB=DC,∠BAD=∠CDA,
∴∠BAH=∠CDQ,
∴△BHA≌△CQD(AAS),
∴AH=DQ, BH=CQ,
设 AH=DQ=x,CQ=BH=y,
∵∠MAE=26.5°，
∴∠QAC=26.5°，
∴tan26.5°=CQAQ=yx+180,
∵ 四边形 ABCD 为等腰梯形， ∠ABC=54.5°，
∴AD//BC,
∴∠BAH=54.5°，
∴tan54.5°=BHAH=yx,
∴{y180+x=0.50yx=1.40
解得： {x=100y=140,
经检验： {x=100y=140 是原方程的解，且符合题意，
∴BC=HA+AD+DQ=100+180+100=380.
∴ 燕尾槽的里口宽BC为 380 毫米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过 B 作 BH⊥AD 于 H ，过 C 作 CQ⊥AD 于 Q ，先证明： △BHA≌△CQD ，可得 AH=DQ, BH=CQ, 设 AH=DQ=x,CQ=BH=y, 再利用锐角三角函数建立方程组，解方程组求解 x,y ，从而可得答案．
23. ( 7分 ) 如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2 3 ，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，求 AF长。
【答案】 解：如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝ 23 ，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝ 43 ，AC＝ 3 BC＝6，∠ABC＝60°，
∵∠EPB＝∠EBP＝60°，
∴△EPB是等边三角形，
∴∠PEB＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠EPB+∠BCE＝180°，
∴P，B，C，E四点共圆，
∴∠PCB＝∠PEB＝60°，∠MPC＝∠EBC，
∵∠TCB＝∠CBT＝60°
∴△TCB是等边三角形，
∴∠BCT＝60°，∠ACT＝30°，BT＝BC＝AT＝ 23 ，
∵∠BAG＝∠BAC＝30°，
∴∠APC＝90°，
∴PA＝AT•cs30°＝3，AN＝PA•cs30°＝ 332 ，PN＝ 12 PA＝ 32 ，PC＝ 3 PA＝ 33 ，
∴BN＝AB﹣AN＝ 532 ，
∵∠PBE＝∠CBT＝60°，
∴∠PBN＝∠CBE＝∠CPM，
∵∠PCM＝∠PNB＝90°，
∴△PCM∽△BNP，
∴ CMPN=PCBN ，
∴ CM32=33532 ，
∴CM＝ 95 ，
∵PA⊥PC，CM⊥PC，
∴CM∥PA，
∴ AFFC=PACM=395=53 ，
∴AF＝ 58 AC＝ 154 ．
故答案为 154 ．
【考点】含30°角的直角三角形，平行四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【分析】如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．首先证明∠APC＝90°，解直角三角形求出AC，PA，利用相似三角形的性质求出CM，由CM∥PA，推出 AFFC=PACM=53 ，由此即可解决问题．
四、综合题
24. ( 12分 ) 如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F ， 使CF＝GC ， 以DC ， CF为邻边作菱形DCFE ， 连接CE ．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；
（2）连接DF ， 若BC＝ 3 ，求DF的长．
【答案】 （1）解：四边形CEDG是菱形，
证明：∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，∴GB=GC=GD，
∵CF=GC，∴GB=GC=GD=CF，
∵四边形DCFE是菱形，∴CD=CF=DE，DE∥CG，
∴DE=GC，∴四边形CEDG是平行四边形，
∵GD=GC，∴四边形CEDG是菱形
（2）解：方法一：设DF交CE于点N，如图所示：
∵CD=CF，GB=GD=GC=CF，
∴△CDG是等边三角形，
∴∠GCD=∠GDC =∠CGD =60°，
∴∠DCF=180°﹣∠GCD=180°﹣60°=120°，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°.
在Rt△BCD中，tan60°== BCCD ，∴CD= 3tan60∘ ＝ 33 =1，
∵四边形DCFE是菱形，
∴DN=FN，CN⊥DF，∠DCE=∠FCE= 12 ∠DCF= 12 ×120°=60°，
在Rt△CND中，DN=CD•sin∠DCE=1×sin60°=1× 32 = 32 ，
∴DF=2DN=2× 32 = 3 ．
方法二：证明△FDG≌△BCD，得DF=BC= 3 .
【考点】菱形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）证出GB=GC=GD=CF ， 由菱形的性质的CD=CF=DE ， DE∥CG ， 则DE=GC ， 证出四边形CEDG是平行四边形，进而得出结论；
（2）过点G作GH⊥BC于H ， 设DF交CE于点N ， 由等腰三角形的性质得CH=BH=12BC=32 ， 证出△CDG是等边三角形，得∠GCD=60°，由三角函数定义求出CG=1，则CD=1，由菱形的性质得DN=FN ， CN⊥DF ， ∠DCE=∠FCE=60°，由三角函数定义求出DN=32 ， 则DF=2DN=3.
25. ( 13分 ) 如图，在⊙ O 中， AB 是直径， AB⊥CD ，垂足为P，过点 D 的 ⊙O 的切线与 AB 的延长线交于点 E , 连接 CE .
（1）求证： CE 为⊙ O 的切线；
（2）若⊙ O 半径为3， CE=4 ，求 sin∠DEC .
【答案】 （1）证明：连接 OC 、 OD
∵ DE 为 ⊙O 的切线
∴ ∠ODE=90°
∵ AB 是直径， AB⊥CD
∴ CP=DP ， ∠CPE=∠DPE=90°
又∵ PE=PE
∴ △PCE≌△PDE(SAS)
∴ ∠CEP=∠DEP ， CE=DE
又∵ OE=OE
∴ △OCE≌△ODE(SAS)
∴ ∠OCE=∠ODE=90°
∴ CE 为⊙ O 的切线；
（2）解：过点 D 作 DF⊥CE 于点 F ，如下图：
由（1）得 DE=CE=4
在 Rt△OCE 中， OC=3 ， CE=4 ，∴ OE=OC2+CE2=5
∴ CP=OC×CEOE=125 （等面积法）
∴ CD=2CP=245
设 EF=x ，则 CF=4−x
在 Rt△DCF 和 Rt△DEF 中，
DF2=CD2−CF2=(245)2−(4−x)2 ， DF2=DE2−EF2=42−x2
∴ (245)2−(4−x)2=42−x2
解得 x=2825
DF=42−x2=9625
∴ sin∠DEC=DFDE=2425
【考点】三角形全等的判定，勾股定理，垂径定理，切线的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接 OC、OD ， 先证△PCE≌△PDE(SAS) ， 再证△OCE≌△ODE(SAS) ， 可得∠OCE=∠ODE=90° ， 根据切线的判定定理即证；
（2） 过点 D 作 DF⊥CE 于点 F ， 在 Rt△OCE 中 利用勾股定理求出OE=5，利用面积相等求出CP=125 ， 由垂径定理可得CD=2CP=245 ， 设 EF=x ， 则 CF=4−x ， 在 Rt△DCF 和 Rt△DEF 中，由勾股定理可得 DF2=CD2−CF2=(245)2−(4−x)2 ， DF2=DE2−EF2=42−x2 ，据此建立方程，求出x值即可求出DF，由sin∠DEC=DFDE即可求出结论.
一、单选题
1. ( 3分 ) 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则tanα的值是（ ）
A. 35 B. 45 C. 34 D. 43
2. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（ ）
A. 2 B. 433 C. 2 3 D. 4 3
3. ( 3分 ) 如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）
A. 125 B. 512 C. 513 D. 1213
4. ( 3分 ) 如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF=45°，边 AF 交 CD 于点 F ，连接 EF ，则下列说法中：① ∠EAB=30° ；② BE+DF=EF ；③tan∠AFE=3；④ SΔCEF=6 正确的有( )
A. ①②③ B. ②④ C. ①④ D. ②③④
5. ( 3分 ) 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD= 2 ；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
6. ( 3分 ) 如图，在 △ABC 中， ∠BAC=45° ， D 为 AC 上一点，连接 BD ，将 △BDC 沿 BD 翻折，点 C 恰好落在 AB 上的点 E 处，连 CE .若 AD=722 ， tan∠ABD=13 ，则 CD 的长度为（ ）
A. 522 B. 625 C. 322 D. 723
7. ( 3分 ) 如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ α ，则MN可用 α 表示为（ ）
A. rsinα B. 2rsinα2 C. rcsα D. 2rcsα2
8. ( 3分 ) 如图， Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=23 ， BC=3 .点 P 为 ΔABC 内一点，且满足 PA2+PC2 =AC2 .当 PB 的长度最小时， ΔACP 的面积是（ ）
A. 3 B. 33 C. 334 D. 332
9. ( 3分 ) 如图，一块含有 30° 的直角三角板的直角顶点和坐标原点 O 重合， 30° 角的顶点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，顶点 B 在反比例函数 y=4x 的图象上，则 k 的值为（ ）
A. 12 B. -12 C. 3 D. -3
10. ( 3分 ) 在边长为1的正方形组成的网格中，线段AB，CD的端点都在格点上，AB，CD交于点E，则tan∠AED的值为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 5
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图，折线 AB−BC 中， AB=3 ， BC=5 ，将折线 AB−BC 绕点A按逆时针方向旋转，得到折线 AD−DE ，点B的对应点落在线段 BC 上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接 CE ，若 CE⊥BC ，则 tan∠EDC= ________°.
12. ( 4分 ) 如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．连结CE交边AD于点F ． 如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于________．
13. ( 4分 ) 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AB上，且AD＝2，长度为1的线段PQ在边AC上运动，则线段DP的最小值为________，四边形DPQB面积的最大值为________．
15. ( 4分 ) 如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将 △DAE 按逆时针方向旋转得 △DCF ，连接EF，分別交BD，CD于点M，N.若 AEDN=25 ，则 sin∠EDM= ________.
16. ( 4分 ) 将一副三角板如图放置在一起，使得等腰直角 △ABD 与直角 △ACD 的斜边重合，其中 AD=4,∠B=∠C=90°,∠CAD=30° ，则点B到边 AC 的距离为________.
17. ( 4分 ) 如图，在平面直角坐标系中，有一个 Rt△OAB ， ∠ABO=90° ， ∠AOB=30° ，直角边 OB 在y轴正半轴上，点A在第一象限，且 OA=1 ，将 Rt△OAB 绕原点O逆时针旋转 30° ，同时把各边长扩大为原来的2倍（即 OA1=2OA ），得到 Rt△OA1B1 ，同理，将 Rt△OA1B1 绕原点O逆时针旋转 30° ，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到 Rt△OA2B2 ，…，依此规律，得到 Rt△OA2021B2021 ，则点 B2021 的纵坐标为________．
18. ( 4分 ) 矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 B(23,2) ，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线 OB 上一动点（不与原点重合），连接 PC ，过点P作 PD⊥PC ，交x轴于点D.则下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）
① OA=BC=23 ；
②当点D运动到 OA 的中点处时， PC2+PD2=7 ；
③当 OD=PD 时，点D的坐标为 (33,0) ；
④在运动过程中， ∠CDP 是一个定值.
三、解答题
19. ( 7分 ) 某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西两端A、B间的距离.于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向.请你根据以上提供的信息，计算“东州湖”东西两端之间AB的长.（结果精确到1米）（参考数据：sin73°≈0.9563，cs73≈0.2924，tan73°≈3.2709， 2 ≈1.414.）
20. ( 7分 ) 在棚户区改造时，要拆除废旧烟囱 AB （如图），在烟囱正西方向的楼房 CD 的顶端C处，测得烟囱的顶端A的仰角为 45° ，底端B的俯角为 30° 已量得 DB=24m .拆除时若让烟囱向正东方向倒下，试问：距离烟囱正东方向 35m 远的一棵大树是否会被歪倒的烟囱砸到？请说明理由.（参考数据： 3≈1.732 ）
21. ( 7分 ) 如图正方形OABC的边长等于2，且AO边与x轴正半轴的夹角为60º，O为原点坐标，求点B的坐标.
22. ( 5分 ) 如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B=54.5°，外口宽AD=180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE=26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据： sin54.5°≈0.81 ， cs54.5°≈0.58 ， tan54.5°≈1.40 ， sin26.5°≈0.45 ， cs26.5°≈0.89 ， tan26.5°≈0.50 ）
23. ( 7分 ) 如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2 3 ，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，求 AF长。
四、综合题
24. ( 12分 ) 如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F ， 使CF＝GC ， 以DC ， CF为邻边作菱形DCFE ， 连接CE ．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；
（2）连接DF ， 若BC＝ 3 ，求DF的长．
25. ( 13分 ) 如图，在⊙ O 中， AB 是直径， AB⊥CD ，垂足为P，过点 D 的 ⊙O 的切线与 AB 的延长线交于点 E , 连接 CE .
（1）求证： CE 为⊙ O 的切线；
（2）若⊙ O 半径为3， CE=4 ，求 sin∠DEC .
第28章 锐角三角函数 培优卷
满分120分
一、单选题
1. ( 3分 ) 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则tanα的值是（ ）
A. 35 B. 45 C. 34 D. 43
【答案】 C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】正切的定义：正切=对边：邻边
【解答】由图可知tanα=34 ，
故选C.
【点评】本题是基础应用题，只需学生熟练掌握正切的定义，即可完成.
2. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（ ）
A. 2 B. 433 C. 2 3 D. 4 3
【答案】 B
【考点】含30°角的直角三角形，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°
∴∠A=30°
∵CD=2，DE=1，
∴AD=2，AC=AD+DC=4，
由∠A=∠A，∠DEA=∠C=90°，得
△ABC∽△ADE，
∴ BCDE = ACAE
∴ BC1 = 43
∴BC= 433 ．
故答案为：B．
【分析】根据含30°角的三角形的边的关系得出AD=2，进而得出AC=AD+DC=4，然后判断出△ABC∽△ADE，，根据相似三角形对应边成比例得出BCDE=ACAE,从而得出答案。
3. ( 3分 ) 如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）
A. 125 B. 512 C. 513 D. 1213
【答案】 D
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意，得：tanα=i= 12.4 = 512 ，
设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，
则斜边= 25x2+144x2 =13x，
则csα= 12x13x = 1213 ．
故选D．
【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．
4. ( 3分 ) 如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF=45°，边 AF 交 CD 于点 F ，连接 EF ，则下列说法中：① ∠EAB=30° ；② BE+DF=EF ；③tan∠AFE=3；④ SΔCEF=6 正确的有( )
A. ①②③ B. ②④ C. ①④ D. ②③④
【答案】 D
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，计算器—三角函数
【解析】【解答】证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG．如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠D=90°，
∴∠ABG=90°=∠D，
∵△ABG和△ADF中，
{AB=AD∠ABG=∠DBG=DF
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠1=∠2，
又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，
∴∠2+∠3=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∴∠GAE=∠EAF=45°．
在△AEG和△AEF中，
{AG=AF∠GAE=∠EAFAE=AE
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴GE=EF，
∵GE=BG+BE，DF=BG，
∴EF=DF+BF，故②符合题意，
∵BE=EC=3，AB=6，
∴tan∠3=BEAB=12 ，
∴∠3≠30°，故①不符合题意，
设DF=x，则EF=x+3，
在Rt△EFC中，∵EF2=CF2+EC2 ，
∴（x+3）2=32+（6-x）2 ，
∴x=2，
∴DF=BG=2，
∴tan∠AFE=tan∠G=ABBG=3 ，故③符合题意，
∴SΔCEF=12⋅CE⋅CF=12×3×4=6 ，故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】延长延长CB到G，使BG=DF，连接AGCB到G，使BG=DF，连接AG，根据已知条件判定△ABG≌△ADF（SAS），对应角相等，再判定△AEG≌△AEF（SAS）。因此可得出GE=EF，GE=BG+BE，DF=BG，所以EF=DF+BF。设DF=x，在直角三角形ECF中，勾股定理即可求x，即而求出tan∠AFE，S△CEF列出表达式代数即可。根据∠EAB的正切函数值，可以判定∠EAB的度数。
5. ( 3分 ) 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD= 2 ；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】 C
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ AEBC = AFCF ，
∵AE= 12 AD= 12 BC，
∴ AFCF = 12 ，
∴CF=2AF，故④正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE= 12 BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有 ba = 2ab ，即b= 2 a，
∴tan∠CAD= DCAD = b2a = 22 ．故②不正确；
正确的有①③④，
故答案为：C．
【分析】只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可判断①正误；由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AE和CF的关系即可判断④正误；只要证明DM垂直平分CF，即可证明③；设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，求出a和b的关系，可得tan∠CAD的值即可判断②的正误，于是得到四个结论中正确结论.
6. ( 3分 ) 如图，在 △ABC 中， ∠BAC=45° ， D 为 AC 上一点，连接 BD ，将 △BDC 沿 BD 翻折，点 C 恰好落在 AB 上的点 E 处，连 CE .若 AD=722 ， tan∠ABD=13 ，则 CD 的长度为（ ）
A. 522 B. 625 C. 322 D. 723
【答案】 A
【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，记 BD,CE 交于 N, 过 D 作 DM⊥AB 于 M, 过 D 作 DH⊥BC 于 H,
∵∠ABD=∠CBD,
∴DM=DH,
∴12BC·DH12AB·DM=12CD·ℎ12AD·ℎ,
∵△ABD,△CBD 中 AD,CD 上的高相等，
∴BCAB=CDAD,
∵ ∠BAC=45° ， AD=722 ，
∴AM=DM=AD·cs45°=722×22=72,
∵ tan∠ABD=13 ，
∴DMBM=13,
∴BM=3×72=212,
∴ AB=72+212=14,
由对折可得： DC=DE,BC=BE,
∴BD 是 CE 的中垂线，
∴BD⊥CE,
∵ tan∠ABD=13 ，
∴ENBN=13,
设 EN=x, 则 BN=3x,
∴BE=x2+9x2=10x=BC,
∴ME=212−10x,
∵BCAB=CDAD,
∴10x14=CD722,
∴CD=52x=DE,
∴(52x)2=(72)2+(212−10x)2,
整理得： 5x2−1210x+70=0,
∴x1=7510,x2=10,
检验：当 x1=7510 时， BE=10x=10×7510=14=AB, 不合题意舍去，取 x2=10,
∴ CD=52x=52×10=522.
故答案为：A
【分析】设BD、CE交于N，过D作DM⊥AB于M，过D作DH⊥BC于H，先利用角平分线的性质证明：BCCD=ABAD ， 再求解再求解AM = DM = AD.cs45°=72 ， 由tan∠ABD=13 , 求解BM=212 ， AB=14，再证明BD时CE的中垂线，由ENBN=13, 设EN=x 则BN=3x，求解BE=x2+9x2=10x可得ME=212-10x, 由BCAB=CDAD, 可得CD=52x=DE，再利用勾股定理列方程，解方程并检验即得答案.
7. ( 3分 ) 如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ α ，则MN可用 α 表示为（ ）
A. rsinα B. 2rsinα2 C. rcsα D. 2rcsα2
【答案】 A
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，
∵
∵∠CMD=∠DNO=90°，
∴∠D=∠D，
∴△CMD∽△OND，
∴DMDN=DCDO ， 即DMDC=DNDO,
∵∠D=∠D，
∴△DMN∽△DCO，
∴MNCO=DNOD ，
∵sin∠AON=DNOD,
∴sin∠AON=MNCO,
即sinα=MNr,
∴MN= rsinα ，
故答案为：A.
【分析】连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，先根据圆周角定理推得角相等，再证明△CMD∽△OND，由相似三角形的性质得比例式，然后转换比例，再证△DMN∽△DCO，从而可把sinα转换成用MNr来表示，则MN长可求.
8. ( 3分 ) 如图， Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=23 ， BC=3 .点 P 为 ΔABC 内一点，且满足 PA2+PC2 =AC2 .当 PB 的长度最小时， ΔACP 的面积是（ ）
A. 3 B. 33 C. 334 D. 332
【答案】 D
【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ∵PA2+PC2=AC2
∴ ∠APC=90°
取 AC 中点O，并以O为圆心， 12AC 长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
∴AO=PO=CO
∵CO=12AC=12×23=3,BC=3
∴BO=BC2+CO2=23
∴BP=BO−PO=3
∴ 点P是BO的中点
∴ 在 RtΔBCO 中， CP=12BO=3=PO
∴ ΔPCO 是等边三角形
∴ ∠ACP=60°
∴ 在 RtΔAPC 中， AP=CP×tan60°=3
∴SΔAPC=12AP×CP=3×32=332 .
【分析】由勾股逆定理得出∠APC为90°，取 AC 中点O，并以O为圆心， 12AC 长为半径画圆，则知当B、P、O三点共线时，BP最短，再求出OC的长，然后利用勾股定理求出BO，再根据线段间的关系求出△PCO为等边三角形，得出∠ACP为60°，利用三角函数的定义求出AP，代入面积公式计算即可.
9. ( 3分 ) 如图，一块含有 30° 的直角三角板的直角顶点和坐标原点 O 重合， 30° 角的顶点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，顶点 B 在反比例函数 y=4x 的图象上，则 k 的值为（ ）
A. 12 B. -12 C. 3 D. -3
【答案】 B
【考点】反比例函数的图象，反比例函数系数k的几何意义，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
∴△CAO∽△DOB，
∴ S△CAO ： S△DOB = (AOBO)2 ，
∵ 30° 角的顶点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴tan30°=OB：OA= 33 ，
∴ S△CAO ： S△DOB =3：1，
∵点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，顶点 B 在反比例函数 y=4x 的图象上，
∴ S△CAO = |k|2 ， S△DOB = 42 =2，
∴ |k|2 ：2 =3：1，
∴ |k| =12，
∵反比例函数 y=kx 的图象在第二象限，
∴k= -12，
故答案为：B．
【分析】在反比例函数中求K的值，一定是利用图象上一点的横纵坐标的乘积来求。有图象知，只有一个点A过反比例函数y=kx ， 因此过点A做AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，这属于K字型相似，由此可证△CAO∽△DOB，再根据30°角，可求出正切值，也就是OB:OA=3:3 ， 面积比就是3:1。根据S△AOC=|x||y|2=|K|2,S△DOB = 42 =2，再根据比值=3:1，可求得|k|=12，再根据图象在第二象限，k＜0，所以k=-12。
10. ( 3分 ) 在边长为1的正方形组成的网格中，线段AB，CD的端点都在格点上，AB，CD交于点E，则tan∠AED的值为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 5
【答案】 C
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连结AF，交CD于点F，如图所示，
∵四边形ACGD是正方形，
∴DF=CF=12CD ， GF=12AG ， CD⊥AG ， CD=AG ，
∴DF=AF，
由题意得AC∥BD，
∴△ACE~△DBE ，
∴CEDE=ACBD=13 ，
∴CECF=12 ，
∴CE=CF=12DF=12AF ，
在Rt△AEF中，tan∠AED=AFEF=2 ，
故答案为：C.
【分析】连结AF，交CD于点F，由题意得出四边形ACGD是正方形，根据正方形的性质即可得出DF=CF=12CD ， GF=12AG ， CD⊥AG ， CD=AG ， 然后根据AC∥BD，得出△ACE~△DBE ， 从而得出CEDE=ACBD=13 ， 进而得出CECF=12 ， 在Rt△AEF中，根据正切函数的定义即可求解.
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图，折线 AB−BC 中， AB=3 ， BC=5 ，将折线 AB−BC 绕点A按逆时针方向旋转，得到折线 AD−DE ，点B的对应点落在线段 BC 上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接 CE ，若 CE⊥BC ，则 tan∠EDC= ________°.
【答案】 247
【考点】勾股定理，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：连接AC 、AE ，过点A作AF⊥BC于F ,作AH⊥EC于H.
∵CE⊥BC，AF⊥BC，AH⊥EC
∴四边形AFCH是矩形，
∴AF=CH，
∵将折线AB-BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD-DE
∴AD=AB=3、BC=DE=5，∠ABC=∠ADE
∴△ABC≌△ADE
∴AC=AE，
∵AC=AE，AB=AD，AF⊥BC，AH⊥EC，BF=DF，CH=EH
∴ AB2=AF2+BF2,DE2=DC2+CE2
∴ 9=AF2+BF2,25=(5−2BF)2+4AF2
∴BF= 95 ，AF= 125
∴ EC=2CH=2AF=245,CD=5−2×95=75
∴ tan∠EDC=ECCD=247
故答案为：2
【分析】连接AC 、AE ，过点A作AF⊥BC于F ,作AH⊥EC于H.再证明四边形AFCH是矩形,可得AF=CH ,由旋转的性质可得AD=AB=3、BC=DE=5，∠ABC=∠ADE，则△ABC≌△ADE，即AC=AE ；再由等腰三角形的性质和勾股定理可得BF、AF、EC、CD的长，最后根据正切定义解答即可.
12. ( 4分 ) 如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．连结CE交边AD于点F ． 如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于________．
【答案】 655
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，△BED是由△BCD翻折得到，
∴Rt△BCD≅Rt△BED，CE⊥BD。
∴AD=BC=4，AB=CD=ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，
又∵BD=DB
∴Rt△DAB≅Rt△BCD
∴Rt△DAB≅Rt△BED，
∴AB=ED，∠ABD=∠EDB,
∴四边形ABDE是等腰梯形，
∵CE⊥BD，AE∥BD
∴CE⊥AE，∠EAD=∠ADB=∠DBC
∵∠DBC+∠FCB=90°，∠FBC+∠FCD=90°，
∴∠DBC=∠FCD
∴Rt△BCD≅Rt△CDF
∴FDCD=CDBC ， 即1CD=CD4
∴CD=2或-2（舍去）
在Rt△BCD中，tan∠DBC=CDBC=12 ，
∵∠EAD=∠DBC
∴tan∠EAD=12
在Rt△AEF中，EF=12AE
由勾股定理得，AE2=AF2-EF2
即AE2=(AD−FD)2−12AE2
∴AE2=(4−1)2−14AE2
解得：AE=655 ．
故答案为：655 ．
【分析】由折叠的性质可得Rt△BCD≅Rt△BED，由矩形的性质可证明Rt△DAB≅Rt△BCD，故可得Rt△DAB≅Rt△BED，再证明Rt△CDF≅Rt△BCD求得CD=2，在Rt△AEF中由勾股定理可得解．
13. ( 4分 ) 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AB上，且AD＝2，长度为1的线段PQ在边AC上运动，则线段DP的最小值为________，四边形DPQB面积的最大值为________．
【答案】 32；1332
【考点】垂线段最短，三角形的面积，等边三角形的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接QD，过D作DE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，当P在E的位置时，DP最短，
∴DP最小=DE=ADsin60°=2×32=3 ，
S△DPQ=12PQ×DE=12×1×3=32 ，
当Q到DB的距离最大时，△BDQ的面积最大，则四边形DPQB面积的最大，这时Q与C重合，
∴BD边上的高h=CF=BC×sinB=6× 32=33 ，
∴S△BQD最大=12BD×QF=12×（6-2）×33=63 ，
四边形DPQB面积的最大值= S△BQD最大+S△DPQ=63+32=1332 ，
故答案为：32 ， 1332.
【分析】连接QD，过D作DE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，根据垂线段最短的性质可知当P在E的位置时，DP最短，然后在Rt△AED中，利用三角函数求出AE长即可； 四边形DPQB面积等于△PDQ的面积与△BQD的面积之和，由于△DPQ的面积是定值，则只要求△PDQ的面积最大即可；由于其底边BD一定，只要求BD上的高最大即可，由题意可知这时Q与C重合，于是根据等边三角形的性质求出高h，则其面积可求，最后求四边形DPQB面积即可.
14. ( 4分 ) 如图.在边长为6的正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别在 BC ， CD 上， BC=3BE 且 BE=CF ， AE⊥BF ，垂足为 G ， O 是对角线 BD 的中点，连接 OG 、则 OG 的长为________.
【答案】 855
【考点】勾股定理，正方形的性质，圆周角定理，解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接 OA ，以 12AB 为半径， AB 的中点 M 作圆，过 O 作 ON⊥AG
∵ ABCD 是正方形， BD 是对角线
∠ABO=45°
∵AO=AO
∴∠AGO=∠ABO=45° ，
AN=NE=12AE
∵ ABCD 是正方形， BC=3BE
∴AB=BC=6,
∴BE=2
AE=AB2+BE2
=62+22=210
∵12AB×BE=12AE×BG
∴BG=AB·BEAE=6×2210=3510
在 Rt△ABE 中
tan∠EAB=BEAB=26=13
∴AG=BGtan∠GAB=9510
∵NG=AG−AN
=AG−12AE
=9510−10
=4510
在 Rt△ONG 中
OG=NGcs∠NGO=410522=855
故答案为 855 .
【分析】连接 OA ，以 12AB 为半径， AB 的中点 M 作圆，过 O 作 ON⊥AG ， 利用正方形的性质及勾股定理求出AB、BE、AE，利用直角三角形ABE的面积不变，可求出BG，在 Rt△ABE 中，由AG=BGtan∠GAB求出AG，由NG=AG-AN求出GN，在 Rt△ONG 中，利用OG=NGcs∠NGO求出OG即可.
15. ( 4分 ) 如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将 △DAE 按逆时针方向旋转得 △DCF ，连接EF，分別交BD，CD于点M，N.若 AEDN=25 ，则 sin∠EDM= ________.
【答案】 55
【考点】勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
AB=BC= CD=DA=1， BD=2 .
∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF，
∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°.
设AE=CF=2x，DN=5x，
则BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x.
∵AB∥DC，
∴ △FNC~△FEB .
∴ NCEB=FCFB .
∴ 1−5x1−2x=2x1+2x .
整理得， 6x2+5x−1=0 .
解得， x1=16 ， x2=−1 （不合题意，舍去）.
∴ AE=2x=13，EB=1−2x=23 .
∴ DE=AD2+AE2=12+(13)2=103 .
过点E作EP⊥BD于点P，如图所示，
设DP=y，则 BP=2−y .
∵ EB2−BP2=EP2=DE2−DP2 ，
∴ (23)2−(2−y)2=(103)2−y2 .
解得， y=223 .
∴ EP=E2D−DP2=(103)2−(223)2=23 .
∴在Rt△DEP中，
sin∠EDP=EPED=23103=55 .即 sin∠EDM=55 .
故答案为： 55
【分析】根据旋转的性质，可设AE=CF=2x，DN=5x，证明△FNC~△FEB ， 可得NCEB=FCFB ， 据此求出x值即得AE、BE，利用勾股定理求出DE，过点E作EP⊥BD于点P，设DP=y，则 BP=2−y 由EB2−BP2=EP2=DE2−DP2 建立y方程，求出y值即得DP，利用勾股定理求出EP，在Rt△DEP中，由sin∠EDP=EPED计算即得.
16. ( 4分 ) 将一副三角板如图放置在一起，使得等腰直角 △ABD 与直角 △ACD 的斜边重合，其中 AD=4,∠B=∠C=90°,∠CAD=30° ，则点B到边 AC 的距离为________.
【答案】 3−1
【考点】含30°角的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：过B作 BE⊥AC 于E，
∵AD=4 ， ∠ABF=∠C=90° ， ∠CAD=30° ，
∴CD=12AD=2 ， AB2+BD2=AD2=16 ，
∵AB=BD ，
∴2AB2=16 ，
∴AB=BD=22 ，
∵∠ABF=∠C ， ∠AFB=∠DFC ，
∴ΔABF∽ΔDCF ，
∴ BFCF=ABDC=222=2 ，
设 CF=x ，则 BF=2x ，
∴DF=BD−BF=22−2x ，
∵DF2=CD2+CF2 ，
∴(22−2x)2=22+x2 ，
解得 x1=4−23 ， x2=4+23>AD （不合题意，舍去），
即 CF=4−23 ，
∴BF=42−26 ，
∵AC=AD⋅cs∠CAD=4×32=23 ，
∴AF=AC−CF=23−(4−23)=43−4 ，
∵SΔABF=12AB⋅BF=12AF⋅BE ，
∴BE=AB⋅BFAF=22×(42−26)43−4=2(2−3)3−1=3−1 ，
故答案为： 3−1 .
【分析】过B作 BE⊥AC 于E，利用直角三角形的性质求出CD、AB，证明ΔABF∽ΔDCF ，可得
BFCF=ABDC=2 ， 设 CF=x ，则 BF=2x ，DF=BD−BF=22−2x ，由
DF2=CD2+CF2可建立关于x方程，求出x值即得CF、BF，从而求出AC=AD⋅cs∠CAD=23
，继而可得AF=AC−CF=43−4 ， 根据SΔABF=12AB⋅BF=12AF⋅BE求出BE即得结论.
17. ( 4分 ) 如图，在平面直角坐标系中，有一个 Rt△OAB ， ∠ABO=90° ， ∠AOB=30° ，直角边 OB 在y轴正半轴上，点A在第一象限，且 OA=1 ，将 Rt△OAB 绕原点O逆时针旋转 30° ，同时把各边长扩大为原来的2倍（即 OA1=2OA ），得到 Rt△OA1B1 ，同理，将 Rt△OA1B1 绕原点O逆时针旋转 30° ，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到 Rt△OA2B2 ，…，依此规律，得到 Rt△OA2021B2021 ，则点 B2021 的纵坐标为________．
【答案】 3×22019
【考点】锐角三角函数的定义，探索图形规律
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，
∴OB＝OA•cs∠AOB＝ 32 ，
由题意得，OB1＝2OB＝ 32 ×2，
OB2＝2OB1＝ 32 ×22 ， ……
OBn＝ 32 ×2n＝ 3 ×2n−1 ，
∵2021÷12＝168……5，
∴点B2021的纵坐标为： 3 ×22020×cs60°= 3 ×22020× 32 ＝3×22019 ，
故答案为：3×22019 ．
【分析】由锐角三角函数的定义，结合直角三角形的性质，探究图形的规律，根据规律计算得到点的纵坐标即可。
18. ( 4分 ) 矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 B(23,2) ，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线 OB 上一动点（不与原点重合），连接 PC ，过点P作 PD⊥PC ，交x轴于点D.则下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）
① OA=BC=23 ；
②当点D运动到 OA 的中点处时， PC2+PD2=7 ；
③当 OD=PD 时，点D的坐标为 (33,0) ；
④在运动过程中， ∠CDP 是一个定值.
【答案】 ①②④
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2 3 ，2），
∴OA=BC=2 3 ；故①正确；
②∵点D为OA的中点，
∴OD= 12 OA= 3 ，
∴PC2+PD2=CD2=OC2+OD2=22+（ 3 ）2=7，故②正确；
③∵B（2 3 ，2），四边形OABC是矩形，
∴OC=AB=2，
∵ tan∠AOB=ABOA=33 ，
∴∠AOB=30°，
∵ OD=PD
∴∠DOP=∠DPO=30°，
∵ PD⊥PC ，即 ∠DPC=90°
∴∠OPC=60°，
∵ CO⊥x 轴， PD⊥PC
∴ O、D、P、C 四点在以 CD 为直径的圆上，如图
∴ ∠ODC=∠OPC=60°
∴ tan∠ODC=OCOD = 3
∴ OD=33OC=233 ，
∴当 OD=PD 时，点D的坐标为（ 233 ，0）.故③错误，
④如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF=OC=2，
设PE=a，则PF=EF-PE=2-a，
在Rt△BEP中， tan∠CBO=PEBE=OCBC=33 ，
∴BE= 3 PE= 3 a，
∴CE=BC-BE=2 3 - 3 a= 3 （2-a），
∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD=90°，
∵∠CPE+∠PCE=90°，
∴∠FPD=∠ECP，
∵∠CEP=∠PFD=90°，
∴△CEP∽△PFD，
∴ CEPF=PCPD ，
∴ tan∠PDC=PCPD=CEPF=3(2−a)2−a=3 ，
∴∠PDC=60°，故④正确；
故答案为：①②④.
【分析】①根据矩形的性质及点B坐标，可得OA=BC=2 3 ， 据此判断即可；
②由点D为OA的中点，可得OD= 12 OA= 3 ，根据勾股定理可得PC2+PD2=CD2=OC2+OD2 ， 代入数据计算并判断即可；
③先求出∠OPC=60°，由CO⊥x 轴， PD⊥PC ， 可得O、D、P、C 四点在以 CD 为直径的圆上，利用圆周角定理可得∠ODC=∠OPC=60° ， 从而得出tan∠ODC=OCOD = 3 ， 据此判断即可；
④如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，可得四边形OFEC是矩形，即得EF=OC=2，设PE=a，则PF=EF-PE=2-a，根据三角函数的定义可得BE= 3 PE= 3 a，从而求出CE=BC-BE= 3 （2-a），可证△CEP∽△PFD，可得CEPF=PCPD ，可求出tan∠PDC=PCPD=CEPF=3 ， 即得∠PDC=60°，据此判断即可.
三、解答题
19. ( 7分 ) 某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西两端A、B间的距离.于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向.请你根据以上提供的信息，计算“东州湖”东西两端之间AB的长.（结果精确到1米）（参考数据：sin73°≈0.9563，cs73≈0.2924，tan73°≈3.2709， 2 ≈1.414.）
【答案】 解：∵∠BCD＝45°，CD⊥AB，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD.
∵BC＝350米，
∴CD＝BD＝350× 22 ＝175 2 ≈175×1.414＝247.45米，
∴AD＝CD•tan73°≈247.45×3.2709≈809.38米，
∴AB＝AD+BD＝809.38+247.45≈1057（米）.
答：“东州湖”东西两端之间AB的长为1057米.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先根据题意得出△BCD是等腰直角三角形，故可得出CD＝BD，再由锐角三角函数的定义得出AD的长，进而可得出结论.
20. ( 7分 ) 在棚户区改造时，要拆除废旧烟囱 AB （如图），在烟囱正西方向的楼房 CD 的顶端C处，测得烟囱的顶端A的仰角为 45° ，底端B的俯角为 30° 已量得 DB=24m .拆除时若让烟囱向正东方向倒下，试问：距离烟囱正东方向 35m 远的一棵大树是否会被歪倒的烟囱砸到？请说明理由.（参考数据： 3≈1.732 ）
【答案】 解：距离烟囱东方35m远的一棵大树被歪倒的烟囱砸着. 理由如下：
∵ DB=24 m，∠GCB=30°，∠ACG=45°，
∴ CG=24 m，
∴ BG=CG·tan30°=24×33=83,
AG=CG·tan45°=24 m，
∴ AB=AG+GB=24+83≈37.86 m，
∵ 37.86 ＞35，
∴距离烟囱东方35m远的一棵大树被歪倒的烟囱砸着.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意可以求得AG和GB的长，从而可以求得AB的长，然后与35比较大小即可解答本题.
21. ( 7分 ) 如图正方形OABC的边长等于2，且AO边与x轴正半轴的夹角为60º，O为原点坐标，求点B的坐标.
【答案】 解：过点A作AM⊥y轴于点M.
∵OA与x轴的夹角为60°，
∴OA与y轴的夹角为30°，OA=OC=2，
∴AM=2×sin30°=1,OM=2×cs30°= 3 ，
故点A的坐标为(1, 3 )；
过点C作CN⊥x轴于点N.
∵OC与x轴的夹角为30∘，
∴ON=2×cs30°= 3 ,CN=2×sin30°=1，
故点C的坐标为(− 3 ,1).
设点B的坐标为(a,b)，
过B作BE⊥x轴，交x轴于点E，过C作CD⊥BE，交BE于点D，如图所示：
∵OB= 22 ,BD=b−1,CD= 3 +a，
∴ {a2+b2=(22)2(a+3)2+(b−1)2=22 ，
解得：b= 3 +1,a=1− 3 ，
∴点B的坐标为(1− 3 , 3 +1).
【考点】点的坐标，正方形的性质，解直角三角形
【解析】【分析】 过点A作AM⊥y轴于点M ，利用三角函数求出AM的长，得到点A的坐标，再设点B的坐标为 (a,b)， 过B作BE⊥x轴，交x轴于点E，过C作CD⊥BE，交BE于点D， 列出方程组求解即可。
22. ( 5分 ) 如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B=54.5°，外口宽AD=180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE=26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据： sin54.5°≈0.81 ， cs54.5°≈0.58 ， tan54.5°≈1.40 ， sin26.5°≈0.45 ， cs26.5°≈0.89 ， tan26.5°≈0.50 ）
【答案】 解：过 B 作 BH⊥AD 于 H ，过 C 作 CQ⊥AD 于 Q ，
∴∠BHA=∠CQD=90°，
∵ 四边形 ABCD 为等腰梯形，
∴AB=DC,∠BAD=∠CDA,
∴∠BAH=∠CDQ,
∴△BHA≌△CQD(AAS),
∴AH=DQ, BH=CQ,
设 AH=DQ=x,CQ=BH=y,
∵∠MAE=26.5°，
∴∠QAC=26.5°，
∴tan26.5°=CQAQ=yx+180,
∵ 四边形 ABCD 为等腰梯形， ∠ABC=54.5°，
∴AD//BC,
∴∠BAH=54.5°，
∴tan54.5°=BHAH=yx,
∴{y180+x=0.50yx=1.40
解得： {x=100y=140,
经检验： {x=100y=140 是原方程的解，且符合题意，
∴BC=HA+AD+DQ=100+180+100=380.
∴ 燕尾槽的里口宽BC为 380 毫米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过 B 作 BH⊥AD 于 H ，过 C 作 CQ⊥AD 于 Q ，先证明： △BHA≌△CQD ，可得 AH=DQ, BH=CQ, 设 AH=DQ=x,CQ=BH=y, 再利用锐角三角函数建立方程组，解方程组求解 x,y ，从而可得答案．
23. ( 7分 ) 如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2 3 ，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，求 AF长。
【答案】 解：如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝ 23 ，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝ 43 ，AC＝ 3 BC＝6，∠ABC＝60°，
∵∠EPB＝∠EBP＝60°，
∴△EPB是等边三角形，
∴∠PEB＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠EPB+∠BCE＝180°，
∴P，B，C，E四点共圆，
∴∠PCB＝∠PEB＝60°，∠MPC＝∠EBC，
∵∠TCB＝∠CBT＝60°
∴△TCB是等边三角形，
∴∠BCT＝60°，∠ACT＝30°，BT＝BC＝AT＝ 23 ，
∵∠BAG＝∠BAC＝30°，
∴∠APC＝90°，
∴PA＝AT•cs30°＝3，AN＝PA•cs30°＝ 332 ，PN＝ 12 PA＝ 32 ，PC＝ 3 PA＝ 33 ，
∴BN＝AB﹣AN＝ 532 ，
∵∠PBE＝∠CBT＝60°，
∴∠PBN＝∠CBE＝∠CPM，
∵∠PCM＝∠PNB＝90°，
∴△PCM∽△BNP，
∴ CMPN=PCBN ，
∴ CM32=33532 ，
∴CM＝ 95 ，
∵PA⊥PC，CM⊥PC，
∴CM∥PA，
∴ AFFC=PACM=395=53 ，
∴AF＝ 58 AC＝ 154 ．
故答案为 154 ．
【考点】含30°角的直角三角形，平行四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【分析】如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．首先证明∠APC＝90°，解直角三角形求出AC，PA，利用相似三角形的性质求出CM，由CM∥PA，推出 AFFC=PACM=53 ，由此即可解决问题．
四、综合题
24. ( 12分 ) 如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F ， 使CF＝GC ， 以DC ， CF为邻边作菱形DCFE ， 连接CE ．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；
（2）连接DF ， 若BC＝ 3 ，求DF的长．
【答案】 （1）解：四边形CEDG是菱形，
证明：∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，∴GB=GC=GD，
∵CF=GC，∴GB=GC=GD=CF，
∵四边形DCFE是菱形，∴CD=CF=DE，DE∥CG，
∴DE=GC，∴四边形CEDG是平行四边形，
∵GD=GC，∴四边形CEDG是菱形
（2）解：方法一：设DF交CE于点N，如图所示：
∵CD=CF，GB=GD=GC=CF，
∴△CDG是等边三角形，
∴∠GCD=∠GDC =∠CGD =60°，
∴∠DCF=180°﹣∠GCD=180°﹣60°=120°，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°.
在Rt△BCD中，tan60°== BCCD ，∴CD= 3tan60∘ ＝ 33 =1，
∵四边形DCFE是菱形，
∴DN=FN，CN⊥DF，∠DCE=∠FCE= 12 ∠DCF= 12 ×120°=60°，
在Rt△CND中，DN=CD•sin∠DCE=1×sin60°=1× 32 = 32 ，
∴DF=2DN=2× 32 = 3 ．
方法二：证明△FDG≌△BCD，得DF=BC= 3 .
【考点】菱形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）证出GB=GC=GD=CF ， 由菱形的性质的CD=CF=DE ， DE∥CG ， 则DE=GC ， 证出四边形CEDG是平行四边形，进而得出结论；
（2）过点G作GH⊥BC于H ， 设DF交CE于点N ， 由等腰三角形的性质得CH=BH=12BC=32 ， 证出△CDG是等边三角形，得∠GCD=60°，由三角函数定义求出CG=1，则CD=1，由菱形的性质得DN=FN ， CN⊥DF ， ∠DCE=∠FCE=60°，由三角函数定义求出DN=32 ， 则DF=2DN=3.
25. ( 13分 ) 如图，在⊙ O 中， AB 是直径， AB⊥CD ，垂足为P，过点 D 的 ⊙O 的切线与 AB 的延长线交于点 E , 连接 CE .
（1）求证： CE 为⊙ O 的切线；
（2）若⊙ O 半径为3， CE=4 ，求 sin∠DEC .
【答案】 （1）证明：连接 OC 、 OD
∵ DE 为 ⊙O 的切线
∴ ∠ODE=90°
∵ AB 是直径， AB⊥CD
∴ CP=DP ， ∠CPE=∠DPE=90°
又∵ PE=PE
∴ △PCE≌△PDE(SAS)
∴ ∠CEP=∠DEP ， CE=DE
又∵ OE=OE
∴ △OCE≌△ODE(SAS)
∴ ∠OCE=∠ODE=90°
∴ CE 为⊙ O 的切线；
（2）解：过点 D 作 DF⊥CE 于点 F ，如下图：
由（1）得 DE=CE=4
在 Rt△OCE 中， OC=3 ， CE=4 ，∴ OE=OC2+CE2=5
∴ CP=OC×CEOE=125 （等面积法）
∴ CD=2CP=245
设 EF=x ，则 CF=4−x
在 Rt△DCF 和 Rt△DEF 中，
DF2=CD2−CF2=(245)2−(4−x)2 ， DF2=DE2−EF2=42−x2
∴ (245)2−(4−x)2=42−x2
解得 x=2825
DF=42−x2=9625
∴ sin∠DEC=DFDE=2425
【考点】三角形全等的判定，勾股定理，垂径定理，切线的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接 OC、OD ， 先证△PCE≌△PDE(SAS) ， 再证△OCE≌△ODE(SAS) ， 可得∠OCE=∠ODE=90° ， 根据切线的判定定理即证；
（2） 过点 D 作 DF⊥CE 于点 F ， 在 Rt△OCE 中 利用勾股定理求出OE=5，利用面积相等求出CP=125 ， 由垂径定理可得CD=2CP=245 ， 设 EF=x ， 则 CF=4−x ， 在 Rt△DCF 和 Rt△DEF 中，由勾股定理可得 DF2=CD2−CF2=(245)2−(4−x)2 ， DF2=DE2−EF2=42−x2 ，据此建立方程，求出x值即可求出DF，由sin∠DEC=DFDE即可求出结论.
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