2023年四川省凉山州数学中考真题

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试卷满分150分 考试时间120分钟
A卷（共100分）
第Ⅰ卷 选择题（共48分）
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1. 下列各数中，为有理数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）

A B. C. D.
3. 若一组数据的方差为2，则数据的方差是（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 11
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客万人次．将数据万用科学记数法表示的是（ ）
A. B. C. D.
6. 点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）

A. B. C. D.
8. 分式的值为0，则的值是（ ）
A. 0B. C. 1D. 0或1
9. 如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列条件仍无法证明的是（ ）
A B. C. D.
10. 如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
11. 如图，在中，，则（ ）

A. 1B. 2C. D. 4
12. 已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D. （为实数）
第Ⅱ卷 非选择题（共52分）
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13. 计算_________．
14. 已知是完全平方式，则值是_________．
15. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________．

16. 不等式组的所有整数解的和是_________．
17. 如图，在纸片中，，是边上中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________．

三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18. 先化简，再求值：，其中，．
19. 解方程：．
20. 2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．

请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择的概率．
21. 超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且在同一直线上．点、点到的距离分别为，且，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为．

（1）求两点之间的距离（结果精确到）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：）
22. 如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
B卷（共50分）
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23. 已知，则的值等于_________．
24. 如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是_________．

五、解答题（共4小题，共40分）
25. 凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
26. 阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．

证明：设，∵，∴，
易证
∴，
∴
∴，
若时，当，则．
同理：若时，当，则．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出的值；
（3）求直线的解析式．
27. 如图，是直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径和的长．
28. 如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．