2024天津和平区高三上学期期末质量调查试题数学含答案

这是一份2024天津和平区高三上学期期末质量调查试题数学含答案，共13页。
注意事项：
1．答题Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．
·柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．
·如果事件互斥，则．
·如果事件相互独立，则．
·任意两个事件与，若，则．
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知集合，则（ ）
（A）（B）（C）（D）
（2）“”是“”的（ ）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（3）函数的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）
（第3题）
（A）（B）
（C）（D）
（4）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：
．针对这一组数据，以下说法正确的个数有（ ）
①这组数据的中位数为90；②这组数据的平均数为89；③这组数据的众数为90；④这组数据的第75百分位数为93；⑤这组数据的每个数都减5后，这组数据的平均数与方差均无变化．
（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个
（5）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
（A）9（B）21（C）45（D）93
（6）已知函数，函数图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，将图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）
（A）（B）
（C）（D）
（7）如图，已知四棱锥的体积为是的平分线，，若棱上的点满足，则三棱锥的体积为（ ）
（第7题）
（A）（B）（C）（D）
（8）已知实数，满足，则下列关系不可能成立的是（ ）
（A）（B）（C）（D）
（9）已知双曲线的右焦点为点，过点作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为点（点在第一象限），直线与双曲线交于点，若点为线段的中点，且，则双曲线的方程为（ ）
（A）（B）（C）（D）
第Ⅱ卷 （非选择题共105分）
注意事项：
1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．
2．本卷共11题，共105分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
（10）为虚数单位，复数满足，则的虚部为______．
（11）在的二项展开式中，的系数为______．
（12）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是______；
（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是______．
（13）直线与圆相交于两点，若点为圆上一点，且为等边三角形，则的值为______．
（14）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示______；设，若，则的最小值为______．
（第14题）
（15）若方程在区间内有两个不等的实根，则实数的取值范围为______．
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（16）（本小题满分14分）
在中，内角所对的边分别为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的值．
（17）（本小题满分15分）
如图，四棱柱中，侧棱底面，，四棱柱的体积为36．
（第17题）
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
（18）（本小题满分15分）
在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为点，左，右顶点分别为点，离心率为．已知点是抛物线的焦点，点到抛物线的准线的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（Ⅱ）直线交椭圆于点（点在第二象限），交轴于点的面积是面积的倍，求直线的斜率．
（19）（本小题满分15分）
已知等差数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式以及；
（Ⅱ）若等比数列满足，且，
（ⅰ）求；
（ⅱ）若，
是与的等比中项且，则对任意，求的最小值．
（20）（本小题满分16分）
已知函数，
（Ⅰ）若，讨论在的单调性；
（Ⅱ）若，函数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，求证：．
和平区2023－2024学年度第一学期高三年级期末考试
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题（9×5分＝45分）
二、填空题（6×5分＝30分）
（10）．（11）．（12）．（13）．（14）；．（15）．
三、解答题（共75分）
（16）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为，已知，所以且，
所以，由正弦定理有，所以．
（Ⅱ）（ⅰ）因为，所以，由余弦定理得，
解得或（舍），所以的值为8．
（ⅱ）因为，又因为，所以，
法（一），
因为，所以，所以，
．
法（二）因为，所以，
则，
所以．
（17）（本小题满分15分）
解：因为侧棱底面，所以以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，
又因为棱柱体积为36，易知底面为直角梯形，其面积为，柱体体积，有．所以
．
（第17题）
（Ⅰ）证明：因为，平面的法向量为，
，所以，又因为平面，所以平面．
（Ⅱ）解：因为，设平面的法向量为，则，令，则，
由（Ⅰ）得，设平面与平面的夹角为，
则平面与平面的夹角的余弦值为．
（Ⅲ）解：因为，
所以，点到平面的距离为．
（18）（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）设点的坐标为．依题意，，解得，
于是．
所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（Ⅱ）设点坐标为，点坐标为，且由题意，
（法一）由，可得，即，即，则，
由，即，可得，
因为点在第二象限，则，
将代入椭圆方程，求得，所以点坐标为，
又因为，则直线的斜率为．
（法二）
因为点在第二象限，则直线的斜率存在且大于0，
设直线的方程为，
因此点．
，联立方程组，整理得到．
由韦达定理得，所以，代入直线方程．
由，可得，即，所以，
则，解得，
因为，则直线的斜率为1．
或者因为点在第二象限，则直线的斜率存在且大于0，
设直线的方程为，
因此点．
，联立方程组，整理得到，
由韦达定理，得，所以．
由，可得，即，所以，
则，解得，
因为，直线的方程为，即，则直线的斜率为1．
（法三）
因为点在第二象限，则直线的斜率存在且大于0，
设直线的方程为，则，
因此点．
，联立方程组，整理得到．
由韦达定理得，所以，代入直线方程．
，
，
，即，
解得，因为，则直线的斜率为1．
或者因为点在第二象限，则直线的斜率存在且大于0，
设直线的方程为，则，
因此点．
，联立方程组，整理得到，
由韦达定理，得，所以．
，
，
，即，
解得，因为，直线的方程为，即，
则直线的斜率为1．
（19）（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，
即，解得，
，则，
．
所以．
（Ⅱ）等比数列满足，且，公比为2，所以，
（ⅰ）设，
，
，
，①
．②
①式－②式得，
．
所以．
又，则．
所以．
则．
所以．
（ⅱ）当时，，
，两式相除得，
，
．
当为偶数时，单调递增，时有最小值．
当为奇数时，单调递减，时有最大值．
则，所以的最小值为．
（20）（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）因为，
所以，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）
不等式可化为：，设，令，
则，令，
则，再令，
则，所以在单调递增，则，
即，所以在单调递增，
又因为的值域为．
①当时，即时，，即，
则在单调递增，所以恒成立，符合题意．
②当时，即时，，若取时，，
所以存在，使，
则当时，，函数在上单调递减，此时，所以时，，与原题矛盾，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
（Ⅲ）原式即证．
由（Ⅱ）可知，时，，则．
令，则．取，则
．（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
D
B
D
B
C
A
B
B
A