2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县九年级上学期数学期末试题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、a＝0时，不是一元二次方程，选项错误；
B、原式可化为：x−7＝0，是一元一次方程，故选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，正确；
D、是分式方程，选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2. 已知一组数据2，3，5，x，5，3有唯一的众数3，则x的值是（ ）
A 3B. 5C. 2D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数的定义，结合这组数据的具体情况进行判断即可．
【详解】解：在这组已知的数据中，“3”出现2次，“5”出现2次，“2”出现1次，
要使这组数据有唯一的众数3，因此x所表示的数一定是3．
故选：A．
【点睛】本题考查众数的定义，掌握一组数据中出现次数最多的数据是这这组数据的众数是正确判断的关键．
3. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0，
解得a＜1且a≠0．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4. ⊙O的直径为10cm，点A到圆心O的距离OA=6cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A. 点A在圆上B. 点A在圆外C. 点A在圆内D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得⊙O的半径为5cm，则点A到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点A在⊙O外．
【详解】解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径为5cm，
而点A到圆心O的距离OA=6cm＞5cm，
∴点A在⊙O外．
故选B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外，则d＞r；点P在圆上，则d=r；点P在圆内，则d＜r．
5. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解．
【详解】解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为（1，−1），
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握将抛物线解析式化为顶点式的方法．
6. 将半径为16cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm
【答案】C
【解析】
【分析】易得圆锥的母线长为16cm，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×16÷2＝16π（cm），
∴圆锥的底面半径为16π÷2π＝8（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
7. 如图，在中，E为边上的点，若，交于F，则等于（ ）
A. 4：5B. 2：5C. 5：9D. 4：9
【答案】B
【解析】
【分析】通过证明△ADF∽△EBF，可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE：EC＝2：3，
∴BE：AD＝2：5，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴BF：FD＝BE：AD＝2：5，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质定理和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
8. 抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的对称轴可得抛物线解析式，将x2+bx+3﹣t＝0转化为抛物线y＝x2+bx+3与直线y＝t在﹣1＜x＜3的范围内有交点的问题，进而求解．
【详解】解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，2），
将x2+bx+3﹣t＝0整理为x2﹣2x+3＝t，
∴当t＝2时，抛物线顶点落在直线y＝2上，满足题意，
把（﹣1，t）代入y＝x2﹣2x+3得t＝6，
把（3，t）代入y＝x2﹣2x+3得t＝6，
∴2≤t＜6满足题意，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图像与系数的关系．
二、填空题（本大题共10小题，请将答案填在答题纸上）
9. 四边形内接于⊙，若，则______．
【答案】95
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°，
∵∠B=85°，
∴∠D=180°-85°=95°，
故答案为：95．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用设k法进行计算即可解答．
【详解】解：设，
∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
11. 已知点是抛物线上的两点，则a，b的大小关系是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴与开口方向，根据点A，B到抛物线对称轴的距离求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，且开口向上，
∵1-0<4-1，
∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
∴a故答案为：a【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，
12. 甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过三轮的初赛，他们成绩的方差分别是，你认为成绩更稳定的是__________．
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【详解】解：∵，
∴方差最小的为甲，
∴成绩更稳定的是甲．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13. 已知，是一元二次方程的两根，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算x1+x2﹣2x1x2的值．
【详解】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝3，
x1+x2﹣2x1x2＝4﹣2×3＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，掌握根与系数的关系是解题的关键．
14. 2022年的春节即将到来，一年一度的“春节联欢晚会”即将拉开序幕，若“春节联欢晚会”的舞台纵深10米，若想获得最佳的音响效朵，主持人应该站在舞台纵深所作线离舞台前沿较近的黄金分割点P处，那么主持人站立的位Y离舞台前沿较近的距离为__________．（结果保留根号）
【答案】米##米
【解析】
【分析】由黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，
离舞台前沿较近的距离为
（米）
故答案为：米．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．掌握概念并灵活运用是解题的关键．
15. 已知圆心角为的扇形面积为，则扇形的半径为______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据扇形面积的计算公式进行计算即可得出答案．
【详解】解：根据S＝ ，
可得：24π＝，
解得：r＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行计算是解决本题的关键．
16. 如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】由，根据圆周角定理得出，根据S阴影=S扇形AOB－可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴S阴影=S扇形AOB－
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
17. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（m为实数），其中正确的结论有___．（只填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a的正负，由抛物线与y轴交点判断c的正负，由抛物线对称轴判断a与b的关系，根据抛物线的图象的性质对结论进行判断．
【详解】由图象可得a>0，c<0，- <0，
∴b> 0，
∴abc< 0，故①正确，符合题意．
由抛物线对称轴-= - 1可得b= 2a，
∵x= 1时，y=a+b+c= 0，
a+ 2a+c= 0，
即c+ 3a= 0，
c+2a=-a< 0，
故②正确，符合题意．
∵图象对称轴为直线x= - 1，且经过点(1，0)
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为(- 3， 0)，
x=-3时，y= 9a- 3b+c= 0，
故③正确，符合题意．
当x=-1时，函数有最小值为a-b+ c，
当x=m时，y=am2+bm+c，
∴ am2 + bm+c≥a-b+c，
整理得a-b≤m(am + b)，
故④错误，故不符合题意．
所以正确的有：①②③
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系，二次函数与方程的关系．
18. 如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】取AB的中点M，连接QM、CM，得到QM是△APB的中位线，CM是斜边上的中线，求得QM、CM的长，在△QMC中利用三角形三边关系得到CQ的范围即可．
【详解】取AB的中点M，连接QM、CM，
∴QM是△APB的中位线，CM是斜边上的中线，
∴，，
在中，，
∴，
∴CM=5，
∵点P是平面内一个动点，
∴点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，
∴C、Q、M可以三点共线，
∴CM-MQCQCM+MQ，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，中位线定理、三角形三边关系等知识，分析点Q的运动是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，请将答案写在答题纸相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明作图或画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
19. 计算：
（1）
（2）先化简，再求值：，其中a满足．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，求出a2+3a＝3，最后把a2+3a＝3代入化简的结果，即可求出答案．
【小问1详解】
解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
可得x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
【小问2详解】
解：原式＝


，
由a2+3a﹣3＝0得a2+3a＝3，
∴原式 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于2，求k的取值范围．
【答案】（1）见解析．
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用根的判别式，求出恒成立，即可得出结论．
（2）利用因式分解法得到该方程的两个根，一个是2，一个是，根据方程有一根小于−3，即可求出k的取值范围．
【小问1详解】
∵a＝1，b＝﹣（k+1），c＝2k﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2）＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
【小问2详解】
∵x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0，即[x﹣（k﹣1）]（x﹣2）＝0，
∴x1＝2，x2＝k﹣1，
又∵方程有一个根小于2，
∴k﹣1＜2，
∴k＜3，
即k的取值范围为k＜3．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和利用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用这些知识点进行求解．
21. 如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均作格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）利用位似变换的性质分两种情形分别画出图形即可；
（2）利用旋转变换的性质画出图形，利用扇形的面积公式求解即可．
小问1详解】
解：如图，或即为所求．
【小问2详解】
如图，即为所求．
∵，
∴线段OB旋转过程中所形成扇形的面积．
【点睛】本题考查画位似图形、扇形面积，熟记扇形面积公式，注意画位似图形要全，解题关键是看清位似比．
22. 将4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中，将卡片搅匀．
（1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为 ．
（2）先从盒子中任意取出1张卡片，记录后放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片，求取出的两张卡片中，至少有1张印有“兰”字的概率（请用画树状图或列表等方法求解）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．
【详解】（1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“兰”字卡片的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能结果，其中至少有1张印有“兰”字的有7种结果，
∴至少有1张印有“兰”字的概率为．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题时需要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，在中，平分交于点E，点D在上，．⊙是的外接圆，交于点F．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若⊙半径为10，，求．
【答案】（1）见解析 （2）80
【解析】
【分析】（1）连接OE，利用角平分线的性质和等腰三角形的性质证明AC∥OE，即可解答；
（2）先证明△ACE∽△AED，求出AE的长，再利用勾股定理求出DE的长，进行计算即可解答．
【小问1详解】
证明：连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵AE平分∠BAC
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠OEA，
∴AC∥OE，
∴∠C＝∠OEB＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
【小问2详解】
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠C＝∠AED＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴△ACE∽△AED，
，
∴，
即，
∴（负值舍去），
∴DE＝，
∴S△ADE＝AE•DE＝．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，三角形外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握角平分线的性质和等腰三角形的性质证明平行线是解题的关键．
24. 某校利用课外活动时间，开设了书法、健美操、兵兵球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请直接填写抽取的学生有 人， ， ．
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有学生4000人，估计参加书法社团活动的学生人数．
【答案】（1）200，54，25
（2）见解析 （3）约1000人
【解析】
【分析】（1）根据参加乒乓球社团的人数为80人，占抽取的总人数的40%，可求得抽取的总人数，从而求得n与a的值．
（2）根据（1）问中求得的抽取的总人数，计算其中参加朗诵社团的人数，从而补全条形统计图．
（3）根据参加书法社团的人数占抽取的总人数的25%，估算全校参加书法社团的学生人数．
【小问1详解】
解：∵参加乒乓球社团的人数为80人，占抽取的总人数的40%，
∴抽取的总人数为（人），
∵参加健美操社团的人数为30人，抽取的总人数为200人，
∴参加健美操社团的人数占抽取的总人数的15%，
在扇形统计图中，，即n=54，
∵参加书法社团的人数为50人，抽取的总人数为200人，
∴参加书法社团的人数占抽取的人数的=25%，即a=25，
故答案为：200；54；25；
【小问2详解】
解：∵抽取的总人数为200人，
又∵参加健美操社团的人数为30人，参加书法社团的人数为50人，参加乒乓球社团的人数为80人，
∴参加朗诵社团的人数为，200-30-50-80=40（人）
∴条形统计图如下：
【小问3详解】
解：4000×25%=1000（人）
答：估计参加书法社团活动的学生人数为1000人．
【点睛】本题考查了数据的整理和分析，熟练掌握各社团人数及其所占百分比是解题的关键．
25. 如图，河对岸有一路灯杆，在灯光下，小明在点D处，自己的影长，沿方向到达点F处再测自己的影长，如果小明的身高为，求路灯杆的高度．
【答案】
【解析】
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴可以得到，，
∴，，
又∵，
∴
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
解得．
答：路灯杆的高度为米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．
26. 2020年是脱贫攻坚的收官司之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝－2x＋160
（2）销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元
（3）销售单价定为50元时，每天的利润最大，最大利润是1200元
【解析】
【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
（2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案；
（3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【小问1详解】
解：设y＝kx＋b
把（30，100） ， （40，80）代入得
解得：k＝－2 b＝160
∴y＝－2x＋160
当x＝45，y＝70时也适合.所以y与x的一次函数关系式是y＝－2x＋160；
【小问2详解】
解：根据题意，得
800＝（x－30）（－2x＋160）
整理，得
解得
∵30≤x≤50
＝70（不合题意，舍去）
∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；
【小问3详解】
解：由题意，得w＝（x－30）（－2x＋160）
＝－2
＝＋1250
∵a＝－2＜，∴有最大值．∵≤≤50，
当＜55时，随的增大而增大，
∴当x＝50时，有最大值， 此时，w＝－2（50－55）＋1250＝1200
答：销售单价定为50元时，每天的利润最大，最大利润是1200元．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27. 如图①，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点P为射线的交点．
（1）如图②，将绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接、，求证：且．
（2）若，把绕点A旋转，
①当时，求的长；
②旋转过程中线段长的最小值是_______．
【答案】（1）见解析 （2）①或；②
【解析】
【分析】（1）证明，可得，，再由，可得．再根据三角形的内角和定理，即可求证；
（2）①分两种情况讨论：当点E在上时；当点E在延长线上时，即可求解；②以A为圆心为半径画圆，当在下方与相切时，的值最小．根据勾股定理可得，再证得四边形是矩形，可得，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，
∵和是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵，
∴，
即．
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①如图，当点E在上时，．
∵，AE=4，AC=8，
∴，
同（1）可证．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
如图，当点E在延长线上时，．
∵，
∴，
同（1）可证：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上．或．
②如图，以A为圆心为半径画圆，当在下方与相切时，的值最小．
理由：设AB交PC于点M，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，∠ADP=∠AEC=∠AEP=90°，BD=CE，
∵∠BMP=∠AMC，
∴∠BPM=∠CAB=90°，
∴是直角三角形，
∵斜边为定值，
∴最小，因此最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
综上所述，长的最小值是
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
28. 如图，在平面直角坐标系内，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，且．过点A的直线与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作于点H．
（1）抛物线的表达式中，________，________；
（2）在点P的运动过程中，若取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与相似．
【答案】（1），
（2）的最大值为，此时点P的坐标为
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据直线y=x+2与x轴交于点A，先求出点A的坐标，再根据OB=2OA求出点B的坐标，将点A、B的坐标代入y=ax2+bx-8得到方程组，解方程组求出a、b的值即可；
（2）过点P作PF⊥x轴交直线y=x+4于点F，由（1）得抛物线的表达式为y＝x2−x−8，设P(x，x2−x−8)(0＜x＜8)，到得PF关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质求出PH的最大值以及此时点P的坐标；
（3）作PG⊥x轴于点G，则∠PGA=90°，先证明∠BAP=∠BAE=45°，再求出AP、AE的长；A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似分两种情况，一是∠AQP=∠ABE时，△AQP∽△ABE，二是∠AQP=∠ABE时，△AQP∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例求出AQ的长，再转化为点Q的坐标．
【小问1详解】
直线y=x+4，当y=0时，则x+4=0，解得x=-4，
∴A（-4，0），OA=4，
∴OB=2OA=8，
∴B（8，0），
把A（-4，0），B（8，0）代入y=ax2+bx-8，
得，
解得，
故答案为：，-1；
【小问2详解】
如图1，过点P作轴交直线于点F，
由（1）得抛物线的表达式为，
设，则，
∴，
当时取得最大值，且最大值为16，
此时，
有
∴点P的坐标为
∴当时，的最大值为，此时点P的坐标为
【小问3详解】
如图2，作轴于点G，则
∴，
∴，
∵抛物线∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图3，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识与方法，正确作出辅助线是解决此题关键．
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