2021-2022学年天津市和平区九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2021-2022学年天津市和平区九年级上学期数学期末试卷及答案，共32页。试卷主要包含了 对于二次函数y＝﹣等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，则为中心对称图形）求解即可．
【详解】解：B、C、D三个选项的图形旋转后，均不能与原来的图形重合，不符合题意，
A选项是中心对称图形．故本选项正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，深刻理解中心对称图形的概念是解题关键．
2. 对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（ ）
A. 开口向下B. 当x>1时，y随x的增大而减小C. 函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）D. 当x＝1时，y有最小值4
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A、B、D，令，解关于的一元二次方程则可判定C．
【详解】解：，
，
开口向下，
故A说法正确，不合题意；
当时，随的增大而减小，
故B说法正确，不合题意；
令可得，
解得：，，
抛物线与轴的交点坐标为和，
故C说法正确，不合题意；
∵对称轴为，顶点坐标为，
当时，有最大值，最大值为4，
故D不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
3. 如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过⊙O2的圆心，则∠O1AB的度数为（ ）
A. 45°B. 30°C. 20°D. 15°
【答案】B
【解析】
【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得△AO2O1是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：连接O1O2，AO2，O1B，
∵O1B= O1A
∴
∵⊙O1和⊙O2是等圆，
∴AO1=O1O2=AO2，
∴△AO2O1是等边三角形，
∴∠AO2O1=60°，
∴∠O1AB=∠AO2O1 =30°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△AO2O1是等边三角形是解题关键．
4. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的条件有（ ）
①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；
②∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，，A′C′＝9cm，B′C′＝6cm；
③AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm；
④△ABC与△A′B′C′是有一个角为80°等腰三角形
A 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案．
【详解】解：（1）∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°．
∴∠B＝65°．
∵∠C＝∠C′，∠B＝∠B′．
∴．
（2）∵∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm， ，A′C′＝9，B′C′＝6．
∴，．
∴．
（3）∵AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm；
∴．
∴．
（4）∵没有指明80°的角是顶角还是底角．
∴无法判定两三角形相似．
∴共有3对．
故选：C．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
5. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x=0，求得相应的函数值，即为所求的答案．
【详解】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0=a（3-1）2+3，
解得：a=-．
∴y=-（x-1）2+3．
∵当x=0时，y=-（0-1）2+3=-+3=，
∴水管应长m．
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相关性质是解题的关键．
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（ ）
A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC，再由平行线的性质得∠DAE=∠AEC=50°，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠EAC的度数，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转得△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC，
∵AD∥CE，
∴∠DAE=∠AEC=50°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=50°，
∴∠EAC=180°-50°-50°=80°，
∴∠BAE=∠EAC-∠BAC=80°-50°=30°，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出∠EAC的度数是解题的关键．
7. 把形状完全相同风景不同的两张图片全部从中剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取两张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图，然后根据树状图找出满足条件的结果即可得出概率．
【详解】解：设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得：
由图可得，共有12种等可能的结果，其中摸取两张小图片恰好合成一张完整图片的结果共有4种，
∴摸取两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查利用树状图或列表法求概率问题，理解题意，熟练运用树状图或列表法是解题关键．
8. 如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分，OC平分，利用平行线的性质及角之间的关系得出，利用勾股定理得出，再由三角形的等面积法即可得．
【详解】解：连接OF，OE，OG，
∵AB、BC、CD分别与相切，
∴，，，且，
∴OB平分，OC平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
9. 如图，在平行四边形中，F是上一点，且，连结并延长交的延长线于点G，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABF∽△DGF，于是根据相似三角形的性质得，然后得到，，则，再判断△ABE∽△CGE，则，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABF∽△DGF，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CGE，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，采用形数结合的方法，探究图象经过的点，字母系数的符号对图象的影响，逐一排除即可．
【详解】解：∵ ，
∴函数图象过，
排除D；
∵，，
∴，排除A；
由选项B可知，，对称轴，得，与矛盾，排除B，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，结合图象并用系数进行分析判断是解题的关键．
11. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为（﹣2，0），点C坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C．若点A的对应点A′的坐标为（2，﹣3），点B的对应点B′的坐标为（1，0），则点A坐标为（ ）
A. （﹣3，﹣2）B. （﹣2，）C. （﹣，）D. （﹣，2）
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点A′作A′F⊥x轴于F．利用相似三角形的性质求出AE，OE，可得结论．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点A′作A′F⊥x轴于F．
∵B（-2，0），C（-1，0），B′（1，0），A′（2，-3）
∴OB=2，OC=OB′=1，OF=2，A′F=3，
∴BC=1，CB′=2，CF=3，
∵△ABC∽△A′B′C，
∴，
∴，
∵∠ACE=∠A′CF，∠AEC=∠A′FC=90°，
∴△AEC∽△A′FC，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
12. 已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）．
①二次函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上
②当x＜2时，y随x的增大而增大，则m=2
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】①由顶点坐标（m，-m+1），可得x=m，y=-m+1，即可证明顶点在直线y=-x+1上；
②根据二次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，可知；
③由，根据已知可以判断，即可判断．
【详解】解：①证明： 图象的顶点为（m，-m+1），设顶点坐标为（x，y），则x=m，y=-m+1，
∴y=-x+1，即顶点始终在直线y=-x+1上，
①正确；
②，对称轴，
当时，y随x的增大而增大，
时，y随x的增大而增大，
，
②不正确；
③ 与点 在函数图象上，
，
，
，
∵x1＜x2，x1+x2＞2m，
，
，
∴，
③不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图像和性质，函数值大小比较等，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系及做差法比较大小．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 已知正六边形的周长是24，则这个正六边形的半径为_____ ．
【答案】4
【解析】
【分析】由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解．
【详解】解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，
而三角形的边长就是正六边形的半径，
又∵正六边形的周长为24，
∴正六边形边长为24÷6=4，
∴正六边形的半径等于4．
故答案为4．
【点睛】此题主要考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
14. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷一次小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可．
【详解】解：∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，
∴朝上一面的数字出现偶数的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
15. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．
【答案】2
【解析】
【详解】解：扇形的弧长==2πr，
∴圆锥的底面半径为r=2．
故答案为2．
16. 如图，等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=4，M为AB的中点，∠PMQ=45°，∠PMQ的两边分别交BC于点P，交AC于点Q，若BP=3，则AQ=_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，由勾股定理得，根据三线合一得，解直角三角形即可求解．
【详解】如图，连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，
在中，，
∵M为AB的中点，
∴
∵，
∴，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质以及解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17. 已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=b，根据A、B坐标可得A、B两点关于直线x=b对称，可得，即可得出c与b的关系，根据二次函数的图象与x轴有公共点列不等式可得出b、c的值，即可得答案．
【详解】∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线x==b，
∵抛物线经过不同两点，，
∴A、B两点关于直线x=b对称，
∴，
∴，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△==≥0，
∴≥0，即-4（b-2）2≥0，
∴b=2，
∴c=b-1=1，
∴=3，
故答案为：3
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，关键是利用A、B两点的坐标与对称轴的关系中找出b与c的联系，然后利用判别式可以解决问题．
18. （1）如图①，AB，CD是⊙O的两条平行弦，OE⊥CD交⊙O于点E，则弧AC 弧BD（填“>”，“<”或“=”）；
（2）如图②，△PAB是⊙O的内接三角形，OE⊥AB交⊙O于点E，则∠APE ∠BPE（填“>”，“<”或“=”）；
（3）如图③，△PAB是⊙O的内接三角形，∠QPA是它的外角，在弧AP上有一点G，满足PG平分∠QPA，请用无刻度的直尺，画出线段PG．（不要求证明）
【答案】（1）=；（2）=；（3）作图见详解．
【解析】
【分析】（1）连接AO，BO，CO，DO，根据平行线及垂直的性质可得，由垂径定理可得OE平分，，得出，，利用各角之间的关系可得，由圆心角相等，即可得出弧相等；
（2）连接OA、OB，由及垂径定理可得，，利用圆周角是圆心角的一半即可得；
（3）连接AD、CB交于点H，连接HO并延长交于点G，连接PG，由，可得，由垂径定理可得：点H在线段AB、CD的垂直平分线上，连接HO并延长交于点G，得出点G恰好平分，即点G恰好平分与所对的圆周角的和，由此即可得出．
【详解】解（1）如图所示：连接AO，BO，CO，DO，
∵，，
∴，
∴OE平分，，
∴，，
∴，
即，
∴，
故答案为：=；
（2）如图所示：连接OA、OB，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：=；
（3）如图所示：连接AD、CB交于点H，连接HO并延长交于点G，连接PG，即为所求，
∵，
根据图可得：即，
由垂径定理可得：点H在线段AB、CD的垂直平分线上，
连接HO并延长交于点G，
则点G恰好平分，即点G恰好平分与所对的圆周角的和，
∴PG即为所求．
【点睛】题目主要考查垂径定理的应用及圆周角定理，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合垂径定理是解题关键．
三．解答题（本大题共7小题，共66分）
19 （1）解一元二次方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；
（2）求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）；（2）见详解．
【解析】
【分析】（1）首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；
（2）首先表示出Δ，得出Δ符号进而求出即可．
【详解】（1）解：，
，
则，
整理得：，
解得：；
（2）证明：把化为一般形式：，


，
故无论m为何值，4m2+1永远大于0，则方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及根的判别式，正确分解因式是解题关键．
20. 已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，由为的中点，得，则，由等腰三角形的性质得，推出，即可得出结论；
（2）由垂径定理得，由平行线的性质得，则是等腰直角三角形，，易证是等腰直角三角形，得，再由，即可得出结果．
【详解】（1）证明：为的中点，
，
∴，
，
∴，
∴，
；
（2）解：为中点，
，
由（1）得：，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．
21. 已知AB是⊙O直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线PC交AB的延长线于点P，D为弧AC上一点，连接BD，BC，DC．
（1）如图①，若∠D=26°，求∠PCB的大小；
（2）如图②，若四边形CDBP为平行四边形，求∠PCB，∠ADC的大小．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】（1）连接CO，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再由等腰三角形的性质可得：，由切线的性质可得：，最后根据图中各角之间的关系即可得；
（2）连接CO，AC，根据平行四边形的性质可得，再由直径所对的圆周角为可得，即，根据切线的性质可得，即，综合利用各角之间的数量关系得出，根据三角形外角的性质可得，，得出，再利用外角性质及各角之间的数量关系得出两个角的大小．
【详解】解：（1）连接CO，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵PC与相切，
∴，
∴；
（2）连接CO，AC，
∵四边形CDBP为平行四边形，
∴，
∵AB为直径，
∴，即，
∵PC与相切，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴，．
【点睛】题目主要考查圆与三角形的综合问题，包括圆周角定理、切线性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．
22. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点
同时出发，设运动时间为s．
（1）用含的式子表示：
AP＝ cm，BP＝ cm，BQ＝ cm， cm2， cm2；
（2）当△PBQ的面积为32cm2时，求运动时间；
（3）四边形APQC的面积能否等于72cm2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
【答案】（1），，，；（2）或4；（3）不能．
【解析】
【分析】（1）根据题意得出即可；
（2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；
（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可判断．
【详解】解：（1）根据题意得：cm，cm，
所以cm，
∵，
∴，
∵
∴
故答案为：，，，；
（2）
解得：或4，
即当秒或4秒时，的面积是；
（3）
所以当为3时的面积最小，最大小面积是．故四边形APQC的面积不能能等于72cm2．
【点睛】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出与的函数关系式是解此题的关键．
23. 九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元，
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
【答案】（1）；（2）第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）41．
【解析】
【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案．
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案．
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于4800，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
【详解】（1）当1≤x＜50时，，
当50≤x≤90时，，
综上所述：．
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=－2×452+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．
（3）解，结合函数自变量取值范围解得，
解，结合函数自变量取值范围解得
所以当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．解答时求出函数的解析式是关键．
24. （1）如图①，△PAM是等边三角形，在边PM上取点B（点B不与点P，M重合），连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC，连接BC，MC．
①△MAC可以看作△PAB绕点 逆时针旋转 （度）得到的；
②∠PMC= （度）．
（2）如图②，△PAM是等腰三角形，∠PAM=90°，AP=AM=，在边PM上取点B（点B不与点P，M重合），连接AB，将线段AB绕点A旋转，得到线段AC，旋转角为α，连接PC，BC．
①当α = 90°时，若△PBC面积为1.5，求PB的长；
②若AB=，求△PBC面积的最大值（直接写出结果即可）．
【答案】（1）①A，60；②120；（2）①PB的长为3或1或；②(3+) ．
【解析】
【分析】（1）利用“SAS”证明△PAB≌△MAC，从而得到结论；
（2）①分两种情况讨论，用“SAS”证明三角形全等，利用三角形面积公式列得方程求解即可；
②判断当线段AB旋转到DA延长线上时，△PBC的面积取得最大值，据此求解即可．
【详解】解：（1）①∵△PAM等边三角形，
∴PA=AM，∠PAM=∠APM=∠AMP=60°，
∵线段AC是线段AB绕点A逆时针旋转60°得到的，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC=60°，
∴∠PAB=∠MAC，
∴△PAB≌△MAC(SAS)，
∴△MAC可以看作△PAB绕点A逆时针旋转60（度）得到的，
②∵△PAB≌△MAC，
∴∠APM=∠AMC=60°，
∴∠PMC=∠AMP+∠AMC=120°．
故答案为：①A，60；②120；
（2）①当线段AB绕点A逆时针旋转90°，得到线段AC，连接CM，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∵△PAM是等腰三角形，∠PAM=90°，AP=AM=，
∴∠APM=∠AMP=45°，PM=2=4，
∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC=90°，
∴∠PAB=∠MAC，
∴△PAB≌△MAC(SAS)，
∴∠APM=∠AMC=45°，PB=MC，
∴∠PMC=∠AMP+∠AMC=90°．
∴△PBC的面积=PBMC=PB2=1.5，
解得：PB=(负值已舍)；
当线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC1，连接C1P，
同理可得△MAB≌△PAC1 (SAS)，
∴∠AMB=∠APC1=45°，BM=PC1，
∴∠MPC1=∠APM+∠APC1=90°．
∴△PBC1的面积=PBPC1=PB(4-PB)=1.5，
整理得：PB2-4PB+3=0，
解得：PB=3或1；
综上，PB的长为3或1或；
②过点A作AD⊥PM于点D，
∵△PAM是等腰三角形，∠PAM=90°，AP=AM=，
∴AD=PD=DM=2，
∵AB=，
∴BD=，
∴PB=2+1=3，
∵线段AC是线段AB绕点A逆时针旋转得到的，
∴线段AB旋转到DA延长线上时，△PBC面积取得最大值，如图：
∴△PBC面积的最大值=PBCD=PB(AC+CD) =(3+) ．
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
25. 已知抛物线（为常数），点A（-1，-1），B（3，7）．
（1）当抛物线经过点A时，求抛物线解析式和顶点坐标；
（2）抛物线的顶点随着的变化而移动，当顶点移动到最高处时，
①求抛物线的解析式；
②在直线AB下方的抛物线上有一点E，过点E作EF⊥轴，交直线AB于点F，求线段EF取最大值时的点E的坐标；
（3）若抛物线与线段AB只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）抛物线的解析式为：，顶点坐标为：；（2）①函数解析式为 ；②EF取得最大值时，；（3）m的取值范围为：或或．
【解析】
【分析】（1）将点代入函数解析式求解确定，即可确定函数解析式，将解析式化解为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）①写出抛物线的顶点坐标，进行整理，使顶点移动到最高处，即使顶点坐标的纵坐标最大，化简可得出，即可确定解析式；
②设直线AB的解析式为，将A、B两点代入解析式求解确定函数解析式，然后与抛物线解析式联立求解确定自变量的取值范围，设点，，且，根据题意，表示出，化为顶点式即可得出取得最大值时自变量的取值，然后代入函数解析式即可；
（3）将一次函数与二次函数解析式联立求解可得，，在线段AB上，根据题意中抛物线与线段AB只有一个交点，分三种情况讨论：①抛物线与直线AB只有一个交点，即点M与点N重合；②点N在线段AB的延长线上时；③点N在线段BA的延长线上时，依次进行讨论求解即可得．
【详解】解：（1）将点代入函数解析式可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∴，
∴顶点坐标为：；
（2）①抛物线的顶点坐标为：，
整理可得，
使顶点移动到最高处，即取得最大值，
，
当时，取得最大值，
此时函数解析式为：将代入可得：；
②如图所示：
设直线AB的解析式为，将A、B两点代入解析式可得：
，
解得：，
∴直线解析式为：，
将直线解析式与抛物线解析式联立可得：
，
解得：；，
∴，，
设点，，且，
，，
，
∵，
∴当时，EF取得最大值，
，
∴；
（3），
将①代入②可得：，
整理可得：，
∵，，，
∴，
，
，
∴抛物线与直线AB有交点，
解方程，
，
解得：，，
∴；，
∴抛物线与直线AB的交点为：，，
将代入直线AB解析式，
可得：，
∴在直线AB上，
∵，
∴在线段AB上，
∵抛物线与线段AB只有一个交点，
∴分三种情况讨论：
①抛物线与直线AB只有一个交点，如图所示，即点M与点N重合，
∴，
∴；
②点N在线段AB的延长线上时，如图所示：
∴，
∴；
③点N在线段BA的延长线上时，如图所示：
∴，
∴；
综上可得：m的取值范围为：或或．
【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法确定函数解析式，函数最值问题，二次函数图象的性质及分类讨论思想，熟练掌握二次函数的图象与性质，作出相应图象是解题关键．
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x＋40
90
每天销量（件）
200－2x