2021-2022学年天津市滨海新区九年级上学期数学期中试卷及答案

这是一份2021-2022学年天津市滨海新区九年级上学期数学期中试卷及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：由中心对称图形定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”
根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.
故选：B.
2. 一元二次方程的两个根是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由可得或，再解一次方程即可.
【详解】解：
或
解得：
故选C
【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“若 则或”是解题的关键.
3. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边同时加上1，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：移项得：，
配方得：，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上，顶点坐标B. 开口向上，顶点坐标
C. 开口向下，顶点坐标D. 开口向下，顶点坐标
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据顶点式即可得出顶点坐标，根据a的正负即可判断开口方向．
【详解】解：∵二次函数的解析式为
∴
∴抛物线开口向上，
∵由顶点式的表达式可知抛物线的顶点坐标为（6，-5），
∴抛物线开口向上，顶点坐标（6，-5），
故选B．
【点睛】本题主要考查顶点式的抛物线的表达式，掌握a对开口方向的影响和顶点坐标的确定方法是解题的关键．
5. 将抛物线向下平移2个单位，所得到的新抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出平移后的顶点坐标，然后利用顶点式求出新抛物线解析式即可．
【详解】解：∵ 抛物线的顶点坐标为（0，0），
∴ 向下移2个单位后的抛物线顶点坐标为（0，-2），
∴ 新抛物线的解析式为．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，确定平移前后抛物线的顶点坐标是解题的关键．
6. 如图，的直径为10，AB为弦，，垂足为C，若OC＝4，则弦AB的长为（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】连接OA，根据勾股定理求出AC，根据垂径定理求出AC＝BC，再求出AB即可．
【详解】解：连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AC＝，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AC＝BC＝3，
即AB＝3＋3＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
7. 如图，四边形ABCD为的内接四边形，已知，则的度数为（ ）
A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°
【答案】C
【解析】
【分析】由圆内接四边形的对角互补可得∠A=40°，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOD的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°-∠BCD=180°-140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°，
故选C．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质和同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，解题的关键是利用圆内接四边形的性质求出∠A的度数．
8. 如图，AB是的直径，C，D是上的两点，连接AC，CD，AD，若，则的度数是（ ）
A. 15°B. 25°C. 30°D. 75°
【答案】A
【解析】
【分析】连结BC，根据直径所对圆周角可得 ，由同弧所对圆周可求出∠ABC的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数即可．
【详解】解：连结BC，
∵AB是的直径，
，
∵∠ABC=∠ADC=75°，
，
故选A．
【点睛】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论．
9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由旋转得∠D＝∠C，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，
∴∠D＝∠C，
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴BC⊥DF，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转前后对应角相等是解题的关键．
10. 某种植基地2020年蔬菜产量为90吨，预计2022年蔬菜产量达到110吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据2022年的蔬菜产量=2020年的蔬菜产量×(1+年平均增长率)2，列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：设种植基地蔬菜产量的年平均增长率为x，根据题意得：
，
即：．
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用（增长率问题），根据题意找到等量关系是解题关键．
11. 如图，在中，，以点A为旋转中心，将绕点A逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若，则的大小是（ ）
A. 15°B. 25°C. 35°D. 45°
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质得AE＝AC，∠DAB＝∠EAC，再根据等腰三角形的性质得∠AEC＝∠ACE，然后根据平行线的性质得到∠ACE＝∠CAB＝75°，得出∠EAC＝30°，于是得到结论．
【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，
∴AE＝AC，∠DAB＝∠EAC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠CAB＝75°，
∴∠AEC＝∠ACE＝75°，
∴∠EAC＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠CAD＝∠EAD-∠EAC=75°-30°=45°，
∴∠CAD＝45°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形性质，平行线的性质定理，三角形内角和，角的和差，掌握三角形旋转后，对应边相等，对应角相等，等腰三角形性质，平行线的性质定理，三角形内角和，角的和差，是解题的关键．
12. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④；⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确结论的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】对称轴为直线，图象开口向下，结合图象与轴交于正半轴可判断①②；图象的顶点在第二象限，可判断③；由对称轴为直线，图象过 可得图象与x轴的另一个交点为： 可判断④；考查与的交点的横坐标，如图，可判断⑤.
【详解】解： 对称轴为直线，图象开口向下，
则
又图象与轴交于正半轴，则
故①不符合题意；
对称轴直线，图象开口向下，
当时，y随x的增大而增大；故②不符合题意；
又图象的顶点在第二象限，
故③符合题意；
对称轴为直线，图象过
图象与x轴的另一个交点为：
而
即 故④符合题意；
的两个根为
当时，
考查与的交点的横坐标，如图，
故⑤符合题意；
综上：符合题意的有：③④⑤
故选B
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，利用二次函数的图象判断代数式的符号，方程的根的情况是解题的关键.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）．
2．本卷共13题，共84分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 点关于原点对称点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，根据关于原点对称的性质即可得解．
【详解】解：点（﹣4，7）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣7）．
故答案为（4，﹣7）．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．
14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据所给的方程找出，，的值，再根据关于的一元二次方程有两个实数根，得出△，从而求出c的取值范围．
【详解】解：∵
∴，，，而方程有两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元一次不等式的解集，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决本题的关键．
15. 已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是_____．
【答案】或
【解析】
【分析】根据二次函数的图像与轴只有一个交点，则一元二次方程有两个相等的实数根，设一元二次方程的根为，由一元二次方程根与系数的关系得到，由此求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图像与轴只有一个交点，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
设一元二次方程的根为
∴，
∴
∴此公共点的坐标为（6，0）或（-6，0），
故答案为：（6，0）或（-6，0）．
【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
16. 已知抛物线y=ax2+bx+c=0(a≠0)与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为__________．
【答案】6
【解析】
【详解】解：已知抛物线y=ax2+bx+c=0(a≠0)与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=2，可得点B的坐标为（5，0），所以线段AB的长为6.
故答案为：6.
17. 如图，四边形内接于，，，，则的值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】如图，连接证明为直径，则三点共线，再证明结合从而可得答案.
【详解】解：如图，连接

为直径，则三点共线，

，，



故答案为：5
【点睛】本题考查的是的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，熟悉以上两个性质是解题的关键.
18. 如图，在中，，，点D为内一点，，，连接AD，将绕点C按逆时针方向旋转，使CA与CB重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交BC于点F，则BF的长为______cm．
【答案】##
【解析】
【分析】过点C作于G，然后证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求得CG的长，再利用含30度角的直角三角形的性质求得CF的长，最后计算出BF即可．
【详解】解：如图，过点C作于G，
将△ACD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合
∴旋转角度为∠ACB即为90°，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴，CG=DG，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，旋转的性质和等腰直角三角形三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解下列方程
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】（1）直接利用配方法解一元二次方程即可；
（2）直接利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）
移项，得：，
配方，得：，即，
∴，；
（2）
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
20. 抛物线的顶点为P，与轴的交点为C．
（1）抛物线的对称轴是________；顶点P的坐标是________；交点C的坐标是_________．
（2）列表、描点画这条抛物线．
【答案】（1）直线，，；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）把抛物线解析式整理成顶点式解析式，然后写出对称轴和顶点坐标，令x=0，求出与y轴的交点即可；
（2）列表、描点，然后画出图象即可．
【详解】解：（1）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴该抛物线的对称轴对称轴为直线x=1，顶点P（1，4），
令x=0，则y=3，
∴抛物线与y轴的交点C为（0，3），
故答案为直线x=1，（1，4），（0，3）；
（2）列表：
描点，画出函数的图象如图：
．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象，二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的性质是解题的关键．
21. 在中，，将绕点C顺时针旋转，得，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为．
（1）如图①，连接AD，若，，，求AD的长；
（2）如图②，连接BD，若，求证：．
【答案】（1）10；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据，，则，由旋转的性质得，然后在中利用勾股定理求解即可；
（2）由（1）知，，由旋转的性质得，则是等边三角形，得到，则，．
【详解】解：（1）由旋转的性质可得，，
∵，
∴．
∵是旋转得到的，
∴在中，根据勾股定理得．
（2）由（1）知，，由旋转的性质得，
∴是等边三角形．
∴．
又，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质．
22. 已知是的内接三角形，的平分线交于点．
（1）如图①，若是的直径，，求的长；
（2）如图②，若的平分线交于点，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接OD，易证△DOA是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出AD的长；
（2）由角平分线的定义结合（1）的结论即可得出∠BAD+∠BAE=∠ACE+∠CAE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EAD=∠DEA，由此即可证出AD=DE．
【详解】（1）解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB＝45°，
∴∠AOD=90°，
即△AOD为等腰直角三角形，
∵AB=6，
∴OA=OD=3．
∴AD＝3；
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠EAB，
∵∠BCD=∠BAD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD=∠BAD，
∴∠ACD+∠CAE=∠BAD+∠EAB，
即∠EAD=∠AED，
∴DE=DA．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心、圆周角定理以及角平分线的定义，熟练掌握和圆有关的性质是解题的关键．
23. 商城某种商品平均每天可销售20件，每件获得利润40元，为庆元旦，决定对该商品进行促销活动，经调查发现，该商品每件每降价1元，平均每天可多售出2件．设该商品每件降价x元，请解答下列问题：
（1）用含x的代数式表示：
①降价后每售一件该商品获得利润______元；
②降价后平均每天售出______件该商品；
（2）在此次促销活动中，商城若要获得最大利润，每件该商品应降价多少元？此时每天获得最大利润为多少元？
【答案】（1）①；②；（2）每件该商品应降价15元，获得最大利润为1250元
【解析】
【分析】（1）①每件降x元得一件盈利（40-x）元；
②根据商城某种商品平均每天可销售20件，每件获得利润40元，为庆元旦，决定对该商品进行促销活动，经调查发现，该商品每件每降价1元，平均每天可多售出2件，即可得到降价后平均每天售出件；
（2）设获得最大利润元，可得到y=（40-x），整理即可得到y的最大值
【详解】解：（1）① 由题意得：每件降x元得一件盈利元
故答案为：；
② 由题意得：降价后平均每天售出件商品，
故答案为：；
（2）设每天获得的利润为y元，根据题意，得
，其中，，
∵，
∴有最大值．
∴当时，y有最大值为1250．
答：每件该商品应降价15元，获得最大利润为1250元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意得出降价后每件商品的盈利和每天销售的商品数量的表达式．
24. 在中，，．
（1）如图，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．
求证：①；
②．
（2）如图，D为外一点，且，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，ED，BD．
①的结论是否仍然成立？并请你说明理由；
②若，，求AD的长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①成立，理由见解析；②8
【解析】
【分析】（1）①由旋转性质可得，AE=AD，则可得到，然后利用SAS证明两个三角形全等即可；
②由①知，得到，则；
（2）①由旋转的性质得，，AE=AD，则 ，然后利用SAS证明即可；
②由（2）①知，得到．然后求出，得到，利用勾股定理求出，再由进行求解即可．
【详解】（1）①证明：由旋转的性质得，，AE=AD，
∴，即．
在和中，
∴；
②由①知，
∴，
∴．
（2）①结论仍然成立．
理由：由旋转的性质得，，AE=AD，
∴，即，
在与中，
∴．
②由（2）①知，
∴．
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
∴．
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
25. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当四边形的面积最大时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）存在，，，；（3）点
【解析】
【分析】（1）把，代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求解抛物线的对称轴 再求解CD的长，由是以CD为腰的等腰三角形，可得．再作对称轴于点H，从而可得答案；
（3）先求解．再求解直线BC的解析式为．过点C作于M，设，，根据列函数关系式，从而可得答案.
【详解】解：（1）∵抛物线经过，，
∴解得
∴抛物线的解析式为．
（2）∵，
∴抛物线的对称轴是直线．
∴．
∵，∴．
在中，由勾股定理，得．
∵是以CD为腰的等腰三角形，
∴．
作对称轴于点H，
∴．∴．
∴，，．
（3）当时，由，解得，，
∴．
设直线BC的解析式为，得
解得
∴直线BC的解析式为．
过点C作于M，设，，
∴．
∵
．
∴根据题意，
∴当时，的最大值为，此时点．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数与等腰三角形，图形面积的最值问题，灵活运用二次函数的图象与性质解决问题是解题的关键.
…
…
…
…
x
…
-1
0
1
2
3
…
y=-x2+2x+3
…
0
3
4
3
0
…