2021-2022学年天津市河北区九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2021-2022学年天津市河北区九年级上学期数学期末试卷及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 掷一枚硬币，正面朝上B. 购买一张彩票，一定中奖
C. 任意画一个三角形，它的内角和等于D. 存在一个实数，它的平方是负数
【答案】C
【解析】
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．根据定义即可解决．
【详解】解：A．掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；
B．购买一张彩票，一定中奖是随机事件；
C．任意画一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件；
D．存在一个实数，它的平方是负数是不可能事件；
故选：C．
【点睛】本题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A. x2+2x+1=0B. x2+x+2=0C. x2﹣1=0D. x2﹣2x﹣1=0
【答案】B
【解析】
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
【详解】解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4. 抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是( )
A. (3，4)B. (－3，4)C. (3，－4)D. (2，4)
【答案】A
【解析】
【详解】根据 的顶点坐标为 ，易得抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（3，4）.故选A.
5. 抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A. 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B. 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C. 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D. 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
【详解】抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
6. 如图，在RtABC中，BAC＝，将ABC绕点A顺时针旋转后得到A（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接C．若C＝，则B的大小是（ ）
A. 32°B. 64°C. 77°D. 87°
【答案】C
【解析】
【详解】解：根据旋转可得：，
则，
则 ，
则，
则根据旋转图形的性质可得：．
故选：C.
7. 如图，⊙O是∆ABC的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）
A. 30°B. 25°C. 15°D. 10°
【答案】A
【解析】
【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．
【详解】解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC=2，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案．
【详解】根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，
根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，
根据圆周角定理可知∠D=∠AOC，
因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°，
解得：∠AOC=120°，
因此∠ADC=60°．
故选：C．
【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
9. 在等腰三角形ABC中，AC=BC=2，D是AB边上一点，以AD为直径的⊙O恰好与BC相切于点C，则BD的长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，∠A＝∠ACO，推出∠COB＝2∠B，根据切线的性质得到∠OCB＝90°，求得∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到结论．
【详解】解：如图，连接OC，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，
∴∠COB＝2∠B，
∵⊙O与BC相切于点C，
∴∠OCB＝90°，
∴∠COB+∠B＝2∠B+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴OC＝BC＝，
∴OB＝2OC＝，
∴BD＝OB﹣OD＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10. 已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x<-1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
详解】解：①：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），
∴x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，
又∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，开口向下，
∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小，
故①正确；
②：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣ ，
故②错误；
③：又∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，
∴0＜＜ ，
∴若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y1＜y2，
故③正确；
④若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，
∴该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），
∴0＜≤，
解得1＜m≤ ，
故④正确；
∴①③④正确；②错误．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．
11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（x，y），进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴点的坐标为；
故答案为：
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．
12. 大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】属于求简单事件概率，所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，利用概率公式计算即可．
【详解】解：背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，共有5种情况，“中”只有一种情况，
随机抽取一张，背面恰好写着“中”字的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是求简单事件的概率，掌握求简单事件的概率方法，从中随机抽取一张确定出出现总的可能情况，找出符合条件的情况是解答此类问题的关键．
13. 如图，设A(-2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y=-(x+1)2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为________(用“>”连接)．
【答案】y1>y2>y3
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式确定其对称轴，根据三个点的横坐标到对称轴的距离，结合抛物线即可得到答案．
【详解】解：由抛物线的解析式可知，其对称轴为x=-1
∵点A和点B以及点C的横坐标分别为-2,1，2
∴点C距离x=-1最远，点A距离x=-1最近
又∵抛物线的开口向下
∴y1＞y2＞y3，
故答案为：y1＞y2＞y3.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
14. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．
【答案】2
【解析】
【详解】解：扇形的弧长==2πr，
∴圆锥的底面半径为r=2．
故答案为2．
15. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，．垂足为D，，，则这段弯路的半径是______m．
【答案】
【解析】
【分析】设这段弯路的半径是rm，可得 由垂径定理可得： 再由勾股定理建立方程，解方程可得答案．
【详解】解：设这段弯路的半径是rm，，
则OA=OC=rm，，
∵OC⊥AB，
∴，
在Rt△AOD中，
由勾股定理得：
，
解得：，
则这段弯路的半径是100m．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是关键，在圆中常利用勾股定理列方程求圆的半径，是常考知识点．
16. 已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是 ___.
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接OC、OD、CD，OC交AD于点E，由点C，D是这个半圆的三等分点可得，在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出，再根据得，，都是等边三角形，所以，，可证，故，由扇形的面积公式计算即可．
【详解】如图所示，连接OC、OD、CD，OC交AD于点E，
点C，D是这个半圆的三等分点，
，
，
，
，都是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，证明，把求阴影部分面积转化为求扇形面积是解题的关键．
17. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(3，0)，对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是___．
【答案】﹣1＜x＜3
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的开口方向即可求得当y＜0时的x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．
18. 点A和B在直线y＝﹣x+6上，点A的横坐标是2，且AB=5．当线段AB绕点A顺时针旋转90°后，点B的坐标是___．
【答案】或
【解析】
【分析】利用网格结构作出直线的图象，求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据相似三角形对应边成比例求出点B的横坐标与纵坐标的变化值，然后分点B在点A的左边和右边两种情况分别求解即可．
【详解】解：如图所示，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴的交点分别为E(8，0)，D（0，6），根据勾股定理可得DE=10，设点B旋转以后横纵坐标的变化值分别为a，b，则有 ，解得a=3，b=4，由题意可得，点A的坐标为，
当点B在点A左边时，即图中B2的位置，旋转以后的点B的坐标为，其横坐标为2+a=2+3=5，纵坐标为，所以旋转以后的坐标为
当点B在点A右边时，旋转以后的点B的坐标为，其横坐标为2-a=2-3=-1，纵坐标为，所以旋转以后的坐标为
故答案为：或．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，建立网格结构平面直角坐标系，作出图形是解题的关键．
三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 解方程：．
【答案】x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣
【解析】
【分析】先化二次项系数为1，然后常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，然后配成完全平方，再开方求解即可．
【详解】解：
二次项系数化为1，得：，
移项得：，
左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，得：
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法．将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
20. 小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是_____．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图得到共有9种等可能的结果数，小明顺利通关的的结果数为1，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：小明答对第一道题的概率是；
【小问2详解】
解：分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，画树状图得：
共有9种等可能的结果数，小明顺利通关的的结果数为1，
所以小明顺利通关的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
21. 已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，∠BPC=38°．
（1）如图①，连接OD，若D为的中点，求∠ODC的大小；
（2）如图②，连接BD，若DE=DB，求∠PBD的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据等弧所对的圆心角相等可得，再利用切线的性质可得，从而求得，进而求出，最后利用等腰三角形的性质进行计算即可解答；
（2）连接，利用切线的性质可得，从而求得的值，进而求得的值，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得的值，最后利用等腰三角形的性质进行计算即可解答．
【小问1详解】
如图1，连接，
图1
∵D为的中点，
∴，
∴，
∵是的切线，为切点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
【小问2详解】
如图2，连接，
图2
∵是的切线，为切点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握切线的性质、圆周角定理以及正确的画出辅助线是解答本题的关键．
22. 已知某品牌床单进价为每件60元，每月的销量w（件）与售价x（元）的相关信息如下表（符合一次函数关系）：
（1）销售该品牌床单每件的利润是______元（用含x的式子表示）．
（2）用含x的代数式表示月销量w．
（3）设销售该品牌床单的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）（x﹣60）；（2）W=﹣2x+400；（3）售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元
【解析】
【分析】（1）根据利润=售价﹣进价列式即可；
（2）根据月销量和售价符合一次函数关系，故利用待定系数法求解即可；
（3）根据月利润=单件利润×月销量列出y与x的函数关系式，利用求二次函数求最值的方法求解即可．
【详解】解：（1）由题意，每件的利润是（x﹣60）元，
故答案为：（x﹣60）；
（2）由题意，设w与x的关系式为w=kx+b，
将x=100，w=200，x=110，w=180代入，得：
，解得：，
∴w=﹣2x+400；
（3）由题意，y=（﹣2x+400）（x﹣60）=﹣2x2+520x﹣24000=﹣2（x﹣130）2+9800，
∵﹣2＜0，
∴当x=130时，y有最大值9800，
答：售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
【点睛】本题考查列代数式、待定系数法求解函数关系式、二次函数的最值，解答的关键是理解题意，正确列出函数关系式，会利用二次函数求最值的方法解决问题．
23. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转得到△A'BO'，点A、O旋转后的对应点为A、O'，记旋转角为α．
（1）如图①，若α＝90°，求AA'的长；
（2）如图②，若α＝60°，求点O'的坐标；
（3）如图③，P为AB上一点，且PA：PB＝2：1，连接PO'、PA'，在△ABO绕点B逆时针旋转一周的过程中，求△PO'A'的面积的最大值和最小值（直接写出结果即可）．
【答案】（1）
（2）
（3）面积的最大值和最小值分别为和
【解析】
【分析】（1）由勾股定理求出AB的长，由旋转的性质得出∠ABA'＝90°，AB＝A'B＝5，由勾股定理求解即可；
（2）如图②，过点O'作O'C⊥OB于点C，由旋转的性质及含30°的直角三角形的性质可求出OC，O'C的长，进而可得点坐标；
（3）设到的距离为，则，由题意知是在以为圆心的圆上运动，如图3所示，当时，的面积最小；时，的面积最大；由 ，，可求的值，①当时，，根据计算求解即可；②当时，，根据计算求解即可．
【小问1详解】
解：∵点A（4，0），点B（0，3），
∴AO＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
由旋转的性质得∠ABA'＝90°，AB＝A'B＝5，
∴AA'＝＝＝5；
【小问2详解】
解：如图②，α＝60°，则∠OBO'＝60°，过点O'作O'C⊥OB于点C，则∠O'CB＝90°，
由旋转的性质得，
∴，
∴，
∴O'；
【小问3详解】
解：设到的距离为，
∴
∵△ABO绕点B逆时针旋转
∴是在以为圆心圆上运动
∴如图3所示，当时，的面积最小；时，的面积最大；
∵ ，
∴
①当时，
∴
②当时，
∴
∴△PO'A'的面积的最大值和最小值分别为和．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，含30°的直角三角形，圆等知识．解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．
24. 如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，交轴于点C，点A，B的坐标分别为（-1，0），（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求△CPB的面积最大时点P的坐标；
（3）若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）的坐标为或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）待定系数法求直线的解析式，如图1，过作交于，设，则，，求解面积最大时的值，进而可得点坐标；
（3）由题意知，分两种情况求解； ①如图2，作，两直线平行，内错角相等，可知直线与抛物线的交点即为点，根据二次函数的对称性求解的坐标即可；②如图2，作直线使交于，可知直线与抛物线的交点即为点，根据勾股定理求出点坐标，待定系数法求的解析式，联立求交点坐标即可．
【小问1详解】
解：将点坐标代入抛物线解析式得
解得
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：当时，
∴
设直线的解析式为，将两点坐标代入得
解得
∴直线的解析式
如图1，过作交于，设，则
∴
∴
∵，
∴时，面积最大
∴．
小问3详解】
解：由题意知，分两种情况求解；
①如图2，作，
∵
∴
∴直线与抛物线的交点即为点
∵关于抛物线的对称轴直线对称
∴；
②如图2，作直线使交于
∵
∴直线与抛物线的交点即为点
∴
设，则
在中，由勾股定理得，即
解得
∴
设直线的解析式为，将点坐标代入得
解得
∴直线的解析式为
∴联立
解得或
∴；
综上所述，时，点M的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积综合，二次函数与角度综合．解题的关键在于对知识的灵活运用．
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销售量（件）
200
180
160
140
…