2022-2023学年北京燕山区初三上学期数学期末试卷及答案

这是一份2022-2023学年北京燕山区初三上学期数学期末试卷及答案，共26页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 心形线B. 蝴蝶曲线
C. 四叶玫瑰线D. 等角螺旋线
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握它们的概念，若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形．
2. 已知的半径为，点P在内，则线段的长度可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系可得，，即可求解．
【详解】解：点P在内，的半径为，
则，只有A选项符合题意；
故选：A
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系，正确得到．
3. 如图，，是的两条切线，A，B是切点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据切线的性质作答即可．
【详解】解：∵，是的两条切线，A，B是切点，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，即切线与半径成角．
4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】抓住三要素：旋转中心是原点，旋转方向是顺时针，旋转角度是，据此画图得到点及其坐标．
【详解】解：如图所示：将点A顺时针旋转得到点，其坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查在直角坐标系中的旋转问题，解题的关键是根据旋转的三要素画图得到所求点的坐标．
5. 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，计划在未来两个月内，将厨余垃圾的月加工处理量从现在的1000吨提高到1200吨，若加工处理量的月平均增长率相同，设月平均增长率为x，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均增长率公式，结合题意即可得解
【详解】解：设月平均增长率为x，依题意得
故选择：B
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用平均增长率问题，理解并掌握平均增长率公式是解题的关键．
6. 一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别写着数字1，2，3，除数字外三张卡片无其他区别，小乐随机从中抽取一张卡片，放回摇匀，再随机抽取一张，则小乐抽到的两张卡片上的数字都是奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用树状图法列出所有可能的情况以及都是奇数的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：树状图如下：
所有可能的情况有9种，两张卡片上的数字都是奇数的情况有4中，
则两张卡片上的数字都是奇数的概率为
故选：B
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握求解概率的方法．
7. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案
【详解】解：设半径为 ，则



在 中，有
，即

解得
故选：D
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件．
8. 下面的三个问题中都有两个变量y与x：
①王阿姨去坡峰岭观赏红叶，她登顶所用的时间y与平均速度x；
②用一根长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与矩形的一边长x；
③某篮球联赛采用单循环制（每两队之间都赛一场），比赛的场次y与参赛球队数x，
其中，变量y与x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条抛物线表示的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】对选项逐个判断，判断出每个选项的函数关系，即可求解．
【详解】解：①王阿姨去坡峰岭观赏红叶，她登顶所用的时间y与平均速度x，此时变量y与x之间的函数关系为反比例函数关系，不符合题意；
②用一根长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与矩形的一边长x，此时变量y与x之间的函数关系为二次函数的关系，即为抛物线，符合题意；
③某篮球联赛采用单循环制（每两队之间都赛一场），比赛的场次y与参赛球队数x，此时变量y与x之间的函数关系为二次函数的关系，即为抛物线，符合题意；
变量y与x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条抛物线表示的是②③，
故选：C
【点睛】此题考查了函数关系的判定，解题的关键是能够理解题意，正确得出各选项的函数关系．
二、填空题（共16分，每题2分）
9 平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可．
【详解】解：已知点与点关于原点对称，
则，即
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．
10. 一元二次方程的根是___________．
【答案】，
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：由可得
解得，
故答案为：，
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法．
11. 已知某函数当时，y随x的增大而增大，则这个函数解析式可以是___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】直接利用一次函数的性质得出答案
【详解】解：∵当自变量时，函数y随x的增大而增大，
∴可以设一次函数，，一次函数过，点，
代入得：，解得：，
∴一次函数解析式为：，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】此题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的性质是解题的关键．
12. 若关于x的方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b，c的值：___________，___________．
【答案】 ①. 2（答案不唯一） ②. 1（答案不唯一）
【解析】
【分析】先根据根的判别式求出b和c的关系，再取数作答即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
移项得，
当即时，，
故答案为2，1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
13. 为了认真学习贯彻党的二十大精神，某校开展了以“喜迎二十大，奋进新征程”为主题的党史知识竞赛活动，答题后随机抽取了100名学生答卷，统计他们的得分情况如下：
据此估计，若随机抽取一名学生答卷，得分不低于90分的概率为___________
【答案】##
【解析】
【分析】根据概率公式直接计算即可求解．
【详解】解：得分不低于90分的为人，总人数为100人，
∴随机抽取一名学生答卷，得分不低于90分的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率公式求概率是解题的关键．
14. 如图，为的直径，弦，E为上一点，若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】解：∵弦，为的直径，
∴
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，掌握以上知识是解题的关键．
15. 如图，已知的半径为3，点A，B，C都在上，，则的长是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由圆周角定理可得，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：由圆周角定理可得，
的长为，
故答案为：
【点睛】此题考查了弧长公式以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
16. 平面直角坐标系中，已知抛物线与直线如图所示，有下面四个推断：
①二次函数有最大值；
②抛物线C关于直线对称；
③关于x的方程的两个实数根为，；
④若过动点垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点和，则当时，m的取值范围是．
其中所有正确推断的序号是___________．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】根据函数的图象逐一判断即可得到结论．
【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，
∴二次函数有最大值，故①正确；
观察函数图象可知二次函数的图象的对称轴在和之间，不是关于直线对称，故②错误；
观察函数图象可知和的交点横坐标为：和，方程的两个实数根为，，故③正确；
当或时，直线在抛物线的上方，
∴m的取值范围为：或，故④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数综合，熟练运用函数图象上点的坐标特，掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】运用因式分解法—十字相乘法求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了求解一元二次方程，解决本题的关键是运用因式分解法—十字相乘法求解．
18. 已知m是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得：，即，根据完全平方公式和平方差公式对代数式进行化简，然后整体代入求解即可．
【详解】解：由m是方程的一个根可得，即，
将代入，可得原式
【点睛】此题考查了一元二次方程根的含义，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是理解一元二次方程根的含义，正确对代数式进行运算．
19. 已知抛物线经过点，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将该抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为___________
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用配方法得出二次函数顶点式，进而利用二次函数“左加右减”得出平移后解析式．
【小问1详解】
解：将，两点代入抛物线解析式得：
，解得：，
∴这个抛物线的解析式为：
【小问2详解】
解：∵，
∴将该抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的平移，得出二次函数解析式是解题关键．
20. 如图，中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，若，求线段的长．
【答案】线段的长为．
【解析】
【分析】根据含直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得，根据旋转的性质可得，，，则，再由勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，，，
则，，
根据旋转的性质可得，，，
∴，
∴，
线段的长为
【点睛】此题考查了旋转的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
21. 下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B，连接，；
②分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点O；
③以点O为圆心，长为半径作圆；
④以点A为圆心，长为半径作弧，与在l上方交于点Q；
⑤作直线，所以直线就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接，
∵点A，B，P，Q都在上，，
∴___________，
∴，（___________）（填推理的依据）
∴．
【答案】（1）作图见解析；
（2），在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；
（2）由作图可得，证明，利用圆周角定理可得，从而可得答案．
【小问1详解】
（1）如图，直线就是所求作的直线，
【小问2详解】
证明：连接，
∵点A，B，C，D在上，，
∴，
∴（在同圆中，等弧所对的圆周角相等），
∴．
故答案为：，在同圆中，等弧所对的圆周角相等．
【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，平行线的作图，圆周角定理的应用以及平行线的判定，掌握“圆周角定理”是理解作图的关键．
22. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可；
（2）根据根与系数的关系可得，，即可求解．
【小问1详解】
证：由题意可得，
判别式，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：设，为一元二次方程的两个实数根，
由该方程恰有一个实数根为非负数可得，即，解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
23. 2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国空间站再次进行太空授课，生动地演示了微重力环境下的四个实验现象（A．太空冰雪实验；B．液桥演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验），神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！为加深同学们的印象，某校团委组织了太空实验原理讲述的活动．
（1）小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”的概率是___________；
（2）若小南要从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据题意，列表法求概率即可求解．
【小问1详解】
解：共有4个实验，小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”概率是；
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下，
共有12种等可能结果，其中符合题意的有2种，
他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
24. 如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点E，过点E作，垂足为点F．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）为的切线，理由见解析．
（2）
【解析】
【分析】(1)连接，所以，由已知直角三角形斜边中线等于斜边一般可得，所以可以证得，，，即可得到为的切线．
(2)连接，所以，因为，所以可以求得的长度，进而求得，的长度，再利用三角函数即可求得的长度．
【小问1详解】
解：连接．
，为斜边中线
为的切线．
【小问2详解】
解：连接
【点睛】本题考查了圆的相关性质，切线的判定，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握以上知识点，正确做出辅助线是解题的关键．
25. 如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设在距桥塔水平距离为x（单位：m）的地点，主索距桥面的竖直高度为y（单位：m），则y与x之间近似满足函数关系
小石通过测量获得y与x的几组数据如下：
根据上述数据，解决以下问题
（1）主索最低点P与桥面的距离为___________m
（2）求出主索抛物线的解析式；
（3）若与点P水平距离为处，有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据可求得对称轴为，即，此时表格中对应的的值为，即可得米
（2）根据（1）所求结果，即可得，再将点代入抛物线解析式求得的值，即可求得抛物线的解析式
（3）与点P水平距离为处的点的横坐标为，将横坐标代入抛物线解析式即可求得吊索的长度
【小问1详解】
∵根据表格中的数据，抛物线的对称轴为，
∴，此时表格中对应的的值为，
∴
【小问2详解】
∵由（1）可知：，，
∴，
∴将点代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：
【小问3详解】
与点P水平距离为处的点的横坐标为，
将横坐标代入抛物线的解析式得：
，
∴这两条吊索的总长度为：
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答
26. 在平面直角坐标系，已知点为抛物线上任意两点，其中
（1）求该抛物线顶点P的坐标（用含m的式子表示）；
（2）当M，N的坐标分别为时，求m的值；
（3）若对于，都有，求m的取值范围，
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）求得抛物线的对称轴，代入即可求解；
（2）由题意可得，一元二次方程的的两个根为，根据根与系数的关系，求解即可；
（3）根据二次函数的性质，由可得，对式子进行化简，求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为，
将代入得，，
即该抛物线顶点P的坐标为；
【小问2详解】
解：由题意可得，一元二次方程的的两个根为
即的两个根为，
由根与系数的关系可得：，
解得；
【小问3详解】
解：抛物线
，开口向上，对称轴，
则由可得，
即，化简可得：
即，
∵，
∴，即
∴
又∵，
∴，即的最小值要大于，
解得．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
27. 如图，在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作的角平分线交的延长线于点E，连接，．
（1）依题意补全图形，并直接写出的度数；
（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）图见解析，；
（2），证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意，作出图形，设，再根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，求解即可；
（2）延长到点，使得，连接，通过全等三角形的判定与性质，求解即可．
【小问1详解】
解：图形如下所示：
设，则，，
∵平分，
∴，
∴
【小问2详解】
解：，证明如下：
延长到点，使得，连接，如下图：
∵，
∴，即
又∵，
∴，
∴，，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
28. 对于平面直角坐标系中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得，且，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”
（1）已知点，，
①在点中，是点O关于点A的“旋垂点”的是___________；
②若点是点O关于线段的“旋垂点”，求m的取值范围；
（2）直线与x轴，y轴分别交于C，D两点，的半径为，圆心为，若在上存在点P，线段上存在点Q，使得点Q是点P关于的一个“旋垂点”，且，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）①、；②；
（2）．
【解析】
【分析】（1）①根据“旋垂点”的定义，逐个判断即可；②结合图形，可得分别求得点关于点和点的“旋垂点”，即可求解；
（2）由题意可得上有一点，使得，且，分别求得点为点和点时，对应得取值，即可求解，画出函数图象，结合图形，求解即可．
【小问1详解】
解：①由题意可得，，
根据“旋垂点”定义，可知，
当时，，，
∴，，
∴，即是点O关于点A的“旋垂点”，
当时，，，
、、在一条直线上，
∴，即不是点O关于点A的“旋垂点”，
当时，，，
∴，，
∴，即是点O关于点A“旋垂点”，
故答案为：、；
②连接，分别作线段的垂直平分线，在垂直平分线上分别取和，使得，，且，如下图：
由题意可得，位于和之间，
由①可得的坐标为，
则；
【小问2详解】
解：由题意可得上有一点，使得，且，
直线与x轴，y轴分别交于C，D两点，则，
即，
当点为点时，如下图：
则，，
∴，
又∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，即
当点为点时，如下图：
同理可得：，
则，即，
综上，．
【点睛】此题考查了新定义问题，涉及了勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解“旋垂点”的含义，并利用数形结合的思想求解问题．
得分（x分）
人数（人）
10
m
n
48
x（m）
0
4
8
24
32
40
48
64
y（m）
18
14.25
11
3
2
3
6
18