【湖南专用】07-数列（基础卷）（解析版）

这是一份【湖南专用】07-数列（基础卷）（解析版），共10页。试卷主要包含了在等差数列中，，则，已知数列的前项和，则，若数列的前项和为，且，则，已知数列的前n项和是，则，已知等比数列中，，，则等内容，欢迎下载使用。

选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（ ）
A．3B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解.
【详解】由题意得，，解得.
故选：B
2．在正项等比数列中，，则数列的公比是（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】B
【分析】由等比数列通项公式列方程求公比即可.
【详解】设数列的公比是，则.
因为，所以，则，解得或（舍去）.
故选：B
3．在等差数列中，，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项.
【详解】设公差为，则，
解得.
故选：C
4．已知数列的前项和，则 （ ）
A．B．9C．11D．25
【答案】B
【分析】利用的关系可求答案.
【详解】因为，所以.
故选：B.
5．若数列的前项和为，且，则（ ）
A．8B．7C．6D．4
【答案】C
【分析】直接根据，即可求解结论．
【详解】∵数列的前项和为，且，
所以.
故选：C．
6．已知数列的前n项和是，则（ ）
A．9B．16C．31D．33
【答案】B
【分析】设数列的前n项和为，根据即可求解.
【详解】设数列的前n项和为，则，
则.
故选:B.
7．已知数列是公比为2的等比数列，且，则等于（ ）
A．24B．48C．72D．96
【答案】B
【分析】由等比数列通项公式的性质得出结果.
【详解】因为数列是公比为2的等比数列，且，
所以，
故选：B.
8．已知等比数列中，，，则（ ）
A．4或B．C．4D．8
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质计算即可.
【详解】设公比为，
则，
因为，，
所以，所以.
故选：C.
9．在等差数列中，若，是方程的两根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用韦达定理，结合等差数列的性质求解即可.
【详解】，是方程的两根，，
是等差数列，.
故选：D.
10．在等差数列中，，则（ ）
A．9B．11C．13D．15
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】由题意知，解得，所以，所以.
故选：C.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．在等差数列中，，，则 ．
【答案】12
【分析】根据等差数列性质求解即可.
【详解】根据等差数列性质可得，解得.
故答案为：12.
12．已知数列的通项公式是，则 .
【答案】
【分析】根据通项公式求得.
【详解】由于，所以.
故答案为：
13．在等差数列中，已知，，则 .
【答案】
【分析】先求出等差数列的公差，再求.
【详解】设等差数列公差为d，则，
所以.
故答案为：.
14．在等比数列 中，，则 ．
【答案】12
【分析】根据等比数列的通项公式可得结果.
【详解】设等比数列的公比为，，所以，
所以，
故答案为：12.
15．设是等比数列，，，则 .
【答案】16
【分析】结合等比数列通项公式计算即可得.
【详解】设，则，故.
故答案为：16.
三、解答题（本大题共7小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）设是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和的最值.
【答案】(1)
(2)有最小值，没有最大值.
【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算可得，由此即可得解.
（2）由等差数列前项和公式的二次函数特性即可得解.
【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为，
由题意，，
解得，
所以，
即数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，所以，对称轴为，
所以当时，有最小值，没有最大值.
17．（5分）已知在等差数列中，，公差.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项和的最大值.
【答案】(1)
(2)289
【分析】（1）根据题意求出数列的首项，即可求得答案；
（2）结合（1）求出数列的前n项和的表达式，结合二次函数性质，即可求得最大值.
【详解】（1）由题意知在等差数列中，，公差，
故，
故；
（2）由（1）可得，
故当时，的最大值为289.
18．（10分）已知等差数列中，前项和为，已知，.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出首项与公差，再根据等差数列的前项和公式即可得解；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）设公差为，
由，，
得，解得，
所以，
故；
（2）由（1）得，
所以.
19．（10分）在数列中，且满足（且）．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）变形得到，得到结论；
（2）在（1）的基础上得到，进而利用分组求和可得.
【详解】（1）（且），
（且），
，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）是首项为2，公比为2的等比数列，
，故，
.
20．（10分）各项均为正数的等比数列中，，．
(1)求的通项公式;
(2)记为的前项和，若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可得公比，即可求解，
（2）由求和公式即可求解.
【详解】（1）设公比为，由于，所以，
由于，所以，
又，所以
（2），故，解得
21．（10分）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若是等比数列，且，，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出等差数列的公差，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，可得，
所以，，所以，.
（2）解：设等比数列的公比为，则，，
所以，，，
因此，.
22．（10分）已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据与之间的关系，结合等比数列的定义和通项公式、等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）利用错位相减法，结合等差数列和等比数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】（1）由，
当时，由，
两式相减，得，
因此数列是以2为首项，为公式的等比数列，
即，
设等差数列的公差为，
因为，所以，
因此，
即，；
（2）由（1）可知，，
所以，
设数列前项和为，
则有，
，
两式相减，得
即，
因此.