【湖南专用】08 平面向量（基础卷）（解析版）

这是一份【湖南专用】08 平面向量（基础卷）（解析版），共9页。试卷主要包含了已知向量，，则与的夹角为，已知向量，，则，已知向量，其中，，则，已知点，，则向量的坐标是，已知，，若，则等于，若平面向量且 ，则的值为，已知向量，满足，，则，已知向量，，若与垂直，则等内容，欢迎下载使用。

选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量的加法得到，进而利用向量的减法化简即得.
【详解】，
故选：D.
2．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用和平面向量的数量积和模的坐标表示计算，然后求得.
【详解】,
所以，
故选：B.
3．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】A
【分析】利用数量积的定义，即可求解.
【详解】解：,所以,即，
解得,又因为向量夹角的范围为，则与的夹角为30°，
故选：A.
4．已知向量，，则（ ）
A．B．2C．D．5
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算求得，进而求模.
【详解】,
故选：A.
5．已知向量，其中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对平方，利用平面向量数量积公式对其化简，带入向量的模和夹角，即可求出结果.
【详解】因为
所以.
故选：.
6．已知点，，则向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用向量的终点坐标减去起点坐标即得.
【详解】点，，则向量,
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属简单题，一般的，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标.
7．已知，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将转化为，并利用向量数量积的坐标运算可求出的值.
【详解】，，且，，解得，
故选：C.
【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示，通常将向量垂直转化为两向量数量积为零，考查计算能力，属于基础题.
8．若平面向量且 ，则的值为（ ）
A．B．-1C．-4D．4
【答案】C
【分析】根据平面向量平行的坐标运算，即可求出结果.
【详解】由 ，可知，即.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了平面向量平行的坐标运算，属于基础题.
9．已知向量，满足，，则（ ）
A．(1，2)B．(1，-2)C．(-1，2)D．(-1，-2)
【答案】C
【解析】将向量与相减，可得的坐标，由此即可出结果.
【详解】因为，;
所以，所以.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查向量的减法和数乘的坐标运算，属于基础题.
10．已知向量，，若与垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求出向量的坐标，再根据向量垂直的数量积为0，以及数量积坐标运算公式，即可求出结果.
【详解】依题意，，
又与垂直，
所以，即，所以.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了平面向量垂直，数量积的坐标运算，属于基础题.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．已知，则线段的中点坐标为 .
【答案】
【分析】由题意利用向量的坐标运算求出点的坐标，再根据中点坐标公式，即可求出结果．
【详解】设
因为，
所以，即，
所以，所以，
∵，则线段的中点坐标为，
故答案为：．
12．已知向量，且，则的值为 .
【答案】3
【解析】根据向量垂直的坐标运算，列关系式，即可求出参数.
【详解】, 又，
所以，
故答案为：3.
【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，属于基础题.
13．已知向量，，，若，则实数 .
【答案】
【解析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得的坐标，利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可.
【详解】根据题意，，，则，
，，则，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
14．设向量，，若，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据共线向量的坐标表示得出关于实数的方程，解出即可.
【详解】向量，，且，则，解得.
因此，实数的值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用向量共线求参数的值，解题的关键就是利用共线向量的坐标表示列出方程求解，考查计算能力，属于基础题.
15．已知向量，，若向量，则实数为 ．
【答案】
【分析】根据平面向量共线向量的坐标表示，列关于的方程，解出即可.
【详解】，，且，则有，解得.
故答案为：.
【点睛】考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系，解题的关键就是根据共线向量的坐标表示列方程求解，考查运算求解能力，属于基础题.
三、解答题（本大题共7小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中，，．
（1）若，求；
（2）若与共线，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用向量的线性运算和向量垂直的坐标表示计算求得的值，然后计算模；
（2）利用向量的线性运算和向量共线的坐标表示计算求得的值.
【详解】（1）因为，，
，
，，
，
，
，；
（2）由已知：，，
，
．
17．（5分）平面向量，，，已知，.
（1）求向量和向量；
（2）求与夹角和.
【答案】（1），；（2）与的夹角为，.
【分析】（1）利用共线向量的坐标表示可求得的值，利用垂直向量的坐标表示可求得的值，由此可计算出向量和向量的坐标；
（2）计算出的值，可求得与的夹角，利用向量模的坐标计算公式可求出.
【详解】（1），，，且，，
所以，解得，
因此，，；
（2），则，即与的夹角为.
，因此，.
【点睛】本题考查利用向量平行与垂直求参数，同时也考查了向量夹角与模的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
18．（10分）已知向量与向量的夹角为，且，.
（1）求;
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）对等式两边同时平方，利用平面向量数量积的定义以及数量积的运算性质，可以求出；
（2）根据两个非零向量互相垂直等价于它们的数量积为零，可以得到方程，解方程可以求出的值.
【详解】解：（1）由得，
那么；
解得或（舍去）
∴；
（2）由得，
那么
因此
∴.
【点睛】本题考查了求平面向量模的问题，考查了两个非零平面向量互相垂直的性质，考查了平面向量数量积的定义及运算性质，考查了数学运算性质.
19．（10分）已知向量与的夹角为，且，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)12
【分析】(1)利用向量数量积的定义直接求解即可.
(2)利用向量数量积的运算律，求解即可.
【详解】（1）由已知得
（2）．
20．（5分）已知平面向量.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）先计算的坐标，然后由向量模的公式可得；
（2）由数量积的坐标表示可得.
【详解】（1）因为，
所以，
所以.
（2）因为，
所以.
21．（10分）已知，，.
(1)求；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两个向量的数量积的运算法则，以及求向量的模的方法，求出；
（2）设向量与的夹角的夹角为，根据两个向量的夹角公式，求出的值.
【详解】（1）已知，，
，
，
；
（2）设向量与的夹角的夹角为，
则，
向量与的夹角的余弦值为.
22．（10分）已知向量满足，且的夹角为.
(1)求的模；
(2)若与互相垂直，求λ的值.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据向量满足，且的夹角为，由求解；
（2）根据与互相垂直，由求解.
【详解】（1）因为向量满足，且的夹角为，
所以，
解得；
（2）因为与互相垂直，
所以，
，
即，解得或.