人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.5 相似多边形（基础篇）（专项练习）

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1．下列图形中不一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个圆
C．两个正方形D．两个等边三角形
2．下列说法正确的是（ ）
A．矩形都是相似图形；B．菱形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形；D．等边三角形都是相似三角形
3．如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，正五边形与正五边形相似，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
6．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）．
A．B．C．D．2
7．如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )
A．2 cm2B．4 cm2C．8 cm2D．16 cm2
8．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( )
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙
9．如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为( )
A．2：1B．4：1C．D．1：2
二、填空题
10．形状相同的图形叫做_________．
两个图形相似是指它们的_________相同，与它们的位置无关；
__________是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同．
11．矩形ABCD中，，矩形EFGH中，，，这两个矩形_____
12．把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为_______．
13．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是 _________
14．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为_____．
15．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，若四边形AEFB与四边形ABCD相似，AB=4，则AD的长度为______．
16．如图，四边形四边形，若，则________．
17．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝_____．
18．如图，菱形的面积为，对角线，交于点，点，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到菱形；点，，，分别是，，，的中点，连接，，，，得到菱形；…，依此类推，则菱形的面积为________．
三、解答题
19．如图，DE∥BC，EC=AD，AE=2cm，AB=7.5cm，求DB的长．
20．如图，所示的两个矩形是否相似？并简单说明理由.
21．如图，四边形与四边形相似，求的大小和的长度．

22．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？
23．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
24．如图，四边形为平行四边形，平分交于点，过点作，交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，四边形与四边形相似，求的长．
参考答案
1．A
【分析】
两个多边形相似，是指边数相同的两个多边形，对应角相等，对应边成比例，根据此定义即可判断．
解：A、两个矩形不一定相似，由于对应边不一定成比例，故符合题意；
B、两个圆一定相似，故不满足题意；
C、根据两个图形相似的定义，两个正方形相似，故不满足题意；
D、根据两个图形相似的定义，两个等边三角形相似，故不满足题意；
故选：A．
【点拨】本题考查两个图形的相似，关键是掌握两个图形相似的概念．
2．D
解：根据相似多边形的判定法则可以得出所有的等边三角形都是相似三角形.
考点：相似多边形的判定
3．B
【分析】
根据相似多边形的性质进行求解即可.
解：
图形中正方形A1B1C1D1和正方形ABCD一定相似,OF,OF1分别是两个正方形的边心距, △OC1F 是等腰直角三角形, 因而OF: OC1=因而则的值为 .
故选B.
【点拨】本题主要考查相似多边形的性质，边数相同的正多边形一定相似, 边心距的比, 半径的比都等于相似比.
4．B
【分析】
根据相似多边形的定义：各边对应成比例,各角对应相等的多边形叫做相似多边形，逐一分析即可．
解：因为相似多边形的对应角相等，对应边成比例，
所以，故可排除C和D
所以．故排除A
故选B．
【点拨】此题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键．
5．B
【分析】
由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为，宽为，然后根据相似多边形的定义，列出比例式即可求出结论．
解：由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为，宽为，
∵小长方形与原长方形相似，
故选B．
【点拨】此题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的定义列比例式是解决此题的关键．
6．B
【分析】
可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
解：∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，
∴ABEF是正方形．
又∵AB=1，
∴AF= AB=EF=1．
设AD=x，则FD=x－1．
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，即．
解得，（负值舍去）．
经检验是原方程的解．
故选B．
【点拨】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
7．C
解：设留下矩形的宽为xcm，
∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴，
解得
则留下矩形的面积为 .
故选C.
8．B
解：根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断.
∵
∴是相似形的是甲和丙
故选B.
考点：相似多边形
点评：特殊平行四边形的性质的应用是初中数学的重点，也是难点，是中考常见题，因而熟练掌握特殊平行四边形的性质极为重要.
9．A
【分析】
设原矩形的长为x，宽为y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
解：设原矩形ABCD的长为x，宽为y，
∴小矩形的长为y，宽为，
∵小矩形与原矩形相似，
，
∴x：y=2：1
故选：A．
【点拨】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．
10． 相似图形 形状 全等图形
略
11．相似
【分析】
根据相似多边形的判定方法解答即可.
解：∵，，，，
∴,.
又∵矩形的四个角都是直角，
∴这两个矩形相似.
故答案为相似.
【点拨】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备．
12．
解：不妨设原矩形长为，宽为，因为对折后与原矩形相似，则必定是沿着长的垂直平分线对折，且对折后矩形的两边长为和.根据相似三角形性质，有，所以，则.
【点拨】1.相似三角形的性质；2.求两个量之比.
13．②③⑤
【分析】
根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质、圆的性质逐一进行判断即可．
解：①所有的等腰三角形都相似，错误，如等腰锐角三角形与等腰直角三角形不相似；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误；
⑤所有的圆都相似，正确，
故答案为：②③⑤．
【点拨】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．
14．
【分析】
设BG=x，则BE=x，即BC=x，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.
解：设BG=x，
则BE=x，
∵BE=BC，
∴BC=x，
则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.
故答案为．
【点拨】本题主要考查正方形的性质，图形相似的的性质.解此题的关键在于根据正方形的性质得到相关边长的比.
15．
解：设AE=x，则AD=2x，
∵四边形ABCD与矩四边形ABFE是相似的，
∴AE：AB=AB：AD，
∴AB2=2x2，
∴AB=x=4，
∴x=2，
∴AD=4，
故答案为4．
【点拨】本题主要考查相似的性质，利用相似的性质建立方程是解题的关键．
16．103
【分析】
首先根据相似多边形的性质求出的度数，然后利用四边形内角和求解即可．
解：∵四边形四边形，
．
，
，
故答案为：103．
【点拨】本题主要考查相似多边形的性质及四边形内角和，掌握相似多边形的性质及四边形内角和是解题的关键．
17．1+
【分析】
根据相似图形的性质先设未知数再解方程即可得到结果.
解：∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，∴ABEF是正方形．
又∵AB=2，∴AF= AB=EF=2．
设AD=x，则FD=x－2．
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即
解得，（负值舍去）．
经检验是原方程的解．
∴AD.
故答案为
【点拨】此题重点考察学生对相似图形性质的理解，掌握相似图形的性质是解题的关键.
18．
【分析】
根据面积的比等于相似比的平方进行计算，菱形AlBlClDl的面积等于菱形ABCD的面积的 ，即为；菱形A2B2C2D2的面积等于菱形AlBlClDl的面积的，即，依此类推，则菱形A2009B2009C2009D2009的面积为．
解：∵点Al，Bl，Cl，Dl分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴＝，
∴菱形AlBlClDl∽菱形ABCD，
∵菱形ABCD的面积为l，
∴菱形AlBlClDl的面积等于，
∴菱形A2B2C2D2的面积等于菱形AlBlClDl的面积的，即，
依此类推，菱形A2009B2009C2009D2009的面积为．
故答案为．
【点拨】本题考查了菱形的相似和性质，注意：相似形的面积的比等于相似比的平方．
19．BD=4.5cm.
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得到，结合已知相关数据进行计算即可得.
解：∵DE∥BC，
∴，
∵EC=AD，AE=2cm，AB=7.5cm，
∴，
∴CE=3cm，
∴AD=3cm，
∴BD=AB-AD=4.5cm.
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.
20．相似，见分析
【分析】
要说明两个矩形是否相似，只要说明对应角是否相等，对应边的比是否相等．
解：相似.
理由：这两个的角是直角，因而对应角相等一定是正确的，
小矩形的长是20-5-5=10，宽是12-3-3=6，
因为，即两个矩形的对应边的比相等，
因而这两个矩形相似．
【点拨】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备．
21．，，
【分析】
根据相似多边形的定义和四边形的内角和，即可求出，然后列出比例式即可得出结论．
解：∵四边形与四边形相似，
．
在四边形中，．
∵四边形与四边形相似，
，
解得
【点拨】此题考查的是相似多边形的性质和四边形的内角和，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键．
22．
【分析】
由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
解：根据题意可知，．
由，得，
即．
∴．
开平方，得（舍去）．
【点拨】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．
23．（1）存在；理由见分析；（2）不存在，理由见分析．
【分析】
（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．
（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”正方形．
解：（1）存在
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则，
由①，得：，③
把③代入②，得，
解得，．
所以“减半”矩形长和宽分别为与．
（2）不存在
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．
【点拨】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．
24．（1）见分析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后利用平行线的性质和角平分线的定义可推出从而得出AB=BE，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形，即可证出结论；
（2）根据菱形的性质可得，然后根据相似多边形的定义列出比例式即可求出BC．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
又，
∴四边形是平行四边形．
由，
得．
平分
，
∴四边形是菱形，
平分．
（2）解：由（1）知，四边形为菱形，
．
∵四边形与四边形相似，
，
即，
或BC=（不符合实际，故舍去）．
【点拨】此题考查的是平行四边形的判定及性质、等腰三角形的性质、菱形的判定及性质和相似多边形的性质，掌握平行四边形的判定及性质、等角对等边、菱形的判定及性质和根据相似多边形的定义列比例式是解决此题的关键．