人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.6 相似多边形（巩固篇）（专项练习）

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1．若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为，则剩下的小矩形的较短边长为（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等腰梯形B．两个矩形C．两个直角三角形D．两个等边三角形
3．如果一个矩形与它的一半矩形是相似形,那么大矩形与小矩形的相似比是 ( )
A．∶1B．∶2C．2∶1D．1∶2
4．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝bB．a＝2bC．a＝2bD．a＝4b
5．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（ ）
A．2B．C．D．
6．小亮利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形，若每个图案花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，且，则四边形与四边形的面积之比等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…按此规律继续下去，则矩形的周长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，一块矩形绸布的长AB＝am，宽AD＝2m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是____．
11．如图，四边形四边形，，，则__________．
12．把正方形ABCD沿对角线AC的方向移动到A1B1C1D1的位置，它们重叠部分的面积是正方形ABCD的面积的一半，若AC=，则平移的距离是________.
13．下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
14．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为__．
15．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对折后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB=_________．
16．将一张长方形纸片对折，若得到的小长方形与原长方形相似，则原长方形的长与宽的比是_________．
17．将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若AB=2AD，则的值为________.
18．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，……，按此规律继续下去，则矩形的面积为______．
三、解答题
19．如图，四边形ABCD∽四边形．
∠B＝ °． (2) 求边x，y的长度．
20．已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：
(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；
(2)A′B′和BC的长；
(3)D′C′∶DC．
21．如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（不与顶点重合）．如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分，那么
（1）得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由；
（2）这样的直线可以作多少条？
22．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
23．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
24．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积．
参考答案
1．D
【分析】
一个矩形剪掉一个面积最大的正方形是以矩形的宽为边长的正方形，根据相似比求解即可．
解：
如图，设剩下的小矩形的较短边长为xcm，则剩下的小矩形的较长边长为（8-x）cm，
由题意得：∵剩下的小矩形与原来的矩形相似
∴，解得：x
∵（舍去）
∴
故选：D
【点拨】本题主要考查了相似的定义，对应边成比例的图形就是相似图形，熟练的掌握相似的定义并正确运用相似比求解是解题的关键．
2．D
【分析】
根据相似形的形状相同、大小不同的特点，再结合等腰梯形、矩形，直角三角形、等边三角形的性质与特点逐项排查即可．
解：A、两个等腰梯形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
B、两个矩形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
C、两个直角三角形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
D、两个等边三角形的大小不一定相同，但形状一定相同，则一定相似，故本选项正确．
故选D．
【点拨】本题主要考查了相似图形的定义，理解相似形的形状相同、大小不同的特点成为解答本题的关键．
3．A
【分析】
由题意得，小长方形长：宽=大长方形长：宽，相似比为大矩形的长：小矩形的长，据此求解．
解：设小长方形的宽为x，长为y，则大长方形的宽为y，长为2x，由题意得：
y：x=2x：y，
∴x：y=1：，
设x=k，y=k，则2x=2k，
∴相似比=2x：y=2k：k=：1．
故选A．
【点拨】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比等于相似比．
4．B
【分析】
根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．
解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
5．B
【分析】
根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．
解：∵四边形ABCD是矩形，宽BC＝ycm，
∴AD=BC=ycm，
由折叠的性质得：AE=AB=x，
∵矩形AEFD与原矩形ADCB相似，
∴，即，
∴x2=2y2，
∴x=y，
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．
6．C
【分析】
根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合的即可得到答案.
解：A.内外都是等边三角形，符合相似的定义，对应角相等，∴两个三角形相似，故不符合题意；
B.内外都是正方形，对应角都相等，对应边都成比例，∴两个正方形相似，故不符合题意；
C.两个矩形的对应角都相等，对应边不成比例，∴两个矩形不相似，符合题意；
D.两个正五边形对应角都相等，对应边都成比例，∴两个正五边形相似，不符合题意.
故选C.
【点拨】此题主要考查相似多边形的定义，对应角都相等，对应边都成比例的多边形是相似多边形，熟记定义并应用解题即可正确解答.
7．B
【分析】
根据位似的性质得到四边形ABCD和四边形AEFG的相似比为2：3，然后根据相似多边形的性质求解．
解：∵四边形ABCD和四边形AEFG是以点A为位似中心的位似图形AC：AF=2：3，
∴四边形ABCD和四边形AEFG的相似比为2：3，
∴四边形ABCD与四边形AEFG的面积比为4：9．
故选：B．
【点拨】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的两个图形相似；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
8．C
【分析】
根据已知和矩形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第n个矩形的周长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥DC，
∴，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，
∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为
∴矩形AB1C1C的周长和矩形ABCD的周长的比，
∵矩形ABCD的周长=（2+1）×2=6，
∴矩形AB1C1C的周长=，
依此类推，矩形AB2C2C1的周长和矩形AB1C1C的周长的比
∴矩形AB2C2C1的周长=
∴矩形AB3C3C2的周长=
……
按此规律矩形的周长为：
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
9．C
【分析】
由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴，
解得a＝或−（舍去），
∴a＝，
故选：C．
【点拨】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．
10．1.6．
【分析】
相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．
解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴CD：C′D′＝BC：B′C′，
∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，
∴C′D′＝1.6，
故答案为：1.6．
【点拨】本题考查了相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．
11．
【分析】
利用相似图形的性质即可求.
解：∵四边形四边形
∴∠A=∠E，∠D=∠H
∵
∴∠E=∠H=100°
∵
∴∠F=360°-∠E-∠H-∠G=95°
故答案为95°.
【点拨】本题考查的知识点是相似图形的性质，解题关键是熟记相似图形对应角相等.
12．##
【分析】
先根据大小正方形的面积关系求出大小正方形的相似比，再结合AC=运用线段的和差求得即可.
解：∵重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，即重叠部分与正方形的面积的比是1：2．则相似比是1：，
∴C：AC=1：，
∴A1C=1，
∵AC=，
∴=AC-=-1，
故答案为-1.
【点拨】本题主要考查了相似图形的性质、正方形的性质等知识点，确定大小两正方形的相似比成为解答本题的关键.
13．1
【分析】
根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断．
解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；
对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：1．
【点拨】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键．
14．
【分析】
根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
解：∵矩形CDFE∽矩形ADCB，
∴＝，即＝，
整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，
解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
15．或2．
解：∵ABFE是正方形，
∴AB=EF=AE，
∵矩形GFCH和矩形EGHD全等，
∴EG=DH=GF=HC，设ED=，EG=，
∴AD=，AB=，
∵矩形ABCD和矩形EGHD相似，
∴或，
①当时，
∴，解得：，
∴AD：AB=，
②当时，，
解得：，
∴AD：AB=，
故答案为：2或．
考点：相似多边形的性质．
16．∶1
【分析】
设AE＝ED＝a，AB＝b，根据每一个小长方形与原长方形相似，可知，再由a，b均为正数可知b＝a，由此即可得出结论．
解：设AE＝ED＝a，AB＝b，
∵每一个小长方形与原长方形相似，
∴ ，
∴b2＝2a2，
∵a，b均为正数，
∴b＝a，
∴，
∴原长方形的长与宽之比为：1．
故答案为：：1．
【点拨】本题考查的相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比叫做相似比．利用相似比列出比例式是解题的关键．
17．
【分析】
如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先证明x=3b-2a，利用相似三角形的性质构建关系式，即可解决问题．
解：如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，
∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，
∴CD=2a-b，
∵KQ=PF，
∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，
∴x=3b-2a，
∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，
∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，
∴∠EFH=∠FTP，
∴△EHF∽△FPT，
∴，
∴，
整理得，3b2-15ab+14a2=0，
∴b=a，
∵4a-2b＞0，
∴＜2，
∴=．
故答案为：．
【点拨】本题考查图形拼剪，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
18．
【分析】
根据相似多变形的面积比等于边长比的平方，找出相似比，列出面积的表达式；
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，AB=CD=1，BC=AD=2，
∴，
由题意得：所有的矩形都相似，相邻两矩形的相似比都等于，
∴相邻两矩形的面积比为：，
设S0为四边形ABCD的面积，则S0=2×1=2，
∴S1=S0，S2=S1=×S0，S3=S2=×S1=S0,……Sn==
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
19．(1)(2)，
【分析】
（1）直接利用相似多边形的性质，对应角相等，结合四边形内角和进行求解，即可得到答案；
（2）直接利用相似多边形的性质，对应边成比例即可得到答案．
(1)解：四边形四边形，
，
，
故答案为：；
(2)解：四边形四边形，
，
解得，．
【点拨】此题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是正确得出对应边关系进行求解．
20．(1)k＝2∶3；(2)A＇B＇＝9，BC＝8；(3)3∶2．
【分析】
根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可求出.
解：∵梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′相似，
∴AD：A′D′=4:6=2:3;
（2）由（1）知AB: A′B′= AD：A′D′=2:3，
∵AB=6，
∴A′B′=9；
同理可得，BC＝8；
（3）∵梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′相似，
∴D′C′∶DC= A′D′：AD=3:2.
【点拨】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了对应边成比例的性质，熟记性质是解题的关键．
21．见分析
解：（1）相似．理由如下：
因为EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，所以可设AB＝a，AD＝b，BE＝x．
于是有，
所以x＋AF＝b－x＋b－AF，即AF＝b－x．
又EC＝b－x，所以AF＝EC．
在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
所以DF＝BE，∠AFE＝∠FEC，∠DFE＝∠BEF，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
所以在四边形ABEF与四边形CDFE中，有
∠A＝∠C＝90°，∠B＝∠D＝90°，∠AFE＝∠FEC，∠BEF＝∠DFE，
，
所以四边形ABEF与四边形CDFE相似，相似比为1．
（2）这样的直线有无数条，只要过矩形对角线的交点且满足条件即可．
22．（1）见分析；（2）GD＝．
【分析】
（1）用SAS证明△AEB≌△AGD即可得到EB＝GD；
（2）连接BD.由（1）可知，求出EB即可得到GD的长.依次求出BP、AP、EP的长即可解决问题.
（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AEFG是菱形，ABCD是菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB＝1，
AP＝＝，AE＝AG＝，
∴EP＝2，
∴EB＝＝＝，
∴GD＝．
【点拨】本题考查了相似多边形的性质及菱形的性质，利用菱形对角线互相垂直平分构造的直角三角形进行计算是解题的关键.
23．（1）；（2）相似，理由见分析
【分析】
（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；
（2）根据相似图形的判定解答即可．

解：（1）如图1，设AB＝x，
由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°
∴∠BCF＝∠BDF=90°
又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF
∴∠ACB=∠ECF=45°
∴BC=x
∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，
∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，
∵DE＝AC＝AB＝x，
∴DF＝DE+EF＝（+2）x，
∴
故答案为：．
（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（+1）x，A5纸短边长为（）x，
∴对A5纸，长边：短边
∴A4纸与A5纸相似．
故答案为：相似．
【点拨】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答．
24．（1）观点一正确；观点二不正确；理由见分析；（2）54
【分析】
（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定两个观点是否正确；
（2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，根据相似三角形的性质可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积．
解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵，，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°，，
∴，，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：9×12＝54．
【点拨】本题主要考查了相似形的综合题，矩形的性质，平行线的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．