人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）

这是一份人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（APPB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（ ）
A．B．C．D．
2．已知点是线段的黄金分割点，且，，则长是（ ）
A．B．C．D．
3．把米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，点是线段上的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．每条线段有且仅有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC
D．以上说法都不对
6．下列说法正确的是（ ）
A．每一条线段有且只有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项
D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.618
7．下列命题正确的是（ ）
A．任意两个等腰三角形一定相似
B．任意两个正方形一定相似
C．如果C点是线段AB的黄金分割点，那么
D．相似图形就是位似图形
8．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（ ）
A．B．C．D．
9．已知点把线段分成两条线段、，且，下列说法错误的是（ ）
A．如果，那么线段被点黄金分割
B．如果，那么线段被点黄金分割
C．如果线段被点黄金分割，那么与的比叫做黄金比
D．是黄金比的近似值
10．等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上的一点，AD=BD，则以下结论中正确的有（ ）
①△BCD是等腰三角形；②点D是线段AC的黄金分割点；③△BCD∽△ABC；④BD平分∠ABC．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，下列结论：
①△ABD，△BCD都是等腰三角形；
②AD=BD=BC；
③BC2=CD•CA；
④D是AC的黄金分割点
其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
12．在线段上，点把线分成两条线段和，若，则点叫做线段的黄金分割点．若点是线段的黄金分割点（），当时，的长是__________．
13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．
14．把米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.
15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若数，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）
16．已知AB=2,点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则AC= .
17．把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．
18．已知线段，点是线段的黄金分割点（），那么线段______.（结果保留根号）
19．已知线段长为2cm，是的黄金分割点，则较长线段＝ ___；＝______．
20．黄金分割比是，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是 ．
21．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝10，则BC＝_____．
22．若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是_____cm．
三、解答题
23．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(5﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？
已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN =，求证：点A是MN的黄金分割点.
25．（1）对于实数、，定义运算“”如下：．若，求: 的值；
（2）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，求AC的长．
26．（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为 （填一个实数）：
（2）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E．
求证：点E是线段AB的黄金分割点．
27．某校要设计一座高的雕像(如图)，使雕像的点(肚脐)为线段(全身)的黄金分割点，上部(肚脐以上)与下部(肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到)米． (，结果精确到)．
28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．
(1)证明：ΔABE≌ΔCAD．
(2)若CE=CP，求证∠CPD=∠PBD．
(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.
参考答案
1．A
【分析】
根据黄金分割的定义得到AP=AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．
【详解】
解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP=AB，
∵AB的长度为8cm，
∴AP=×8=（cm），
∴BP=AB-AP=8-（）=．
故选：A．
【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB．
2．C
【分析】
利用黄金分割比的定义即可求解.
【详解】
由黄金分割比的定义可知

∴
故选C
【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键.
3．A
【分析】
根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解.
【详解】
解: 较短的线段长=2 (1-)
=2-+1=3-.
故选A.
【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值 () 是解题的关键.
4．A
【分析】
根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出AP的长度．
【详解】
解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且，
则．
故选：A．
【点拨】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．
5．B
【分析】
根据黄金分割的定义分别进行解答即可．
【详解】
A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；
B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．
故选B．
【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
6．D
【分析】
根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.
【详解】
解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；
B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；
C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；
D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；
故选D．
【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键．
7．B
【分析】
根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误；
B、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；
C、如果C点是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），那么，故原命题错误；
D、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误；
故选B．
【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键．
8．C
【分析】
根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比进行解答即可．
【详解】
解：根据黄金比的比值，，
则，
…
依此类推，则线段，
故选C．
【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
9．C
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义判断即可.
【详解】
根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;
C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.
所以C选项是正确的.
【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.
10．D
【详解】
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=（180°-36°）=72°，∵AD=BD，∴∠DBA=∠A=36°，∴∠BDC=2∠A=72°，∴∠BDC=∠C，∴△BCD为等腰三角形，所以①正确；∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∴∠ABD=∠DBC，∴BD平分∠ABC，所以④正确；∵∠DBC=∠A，∠BCD=∠ACB，∴△BCD∽△ABC，所以③正确；∴BD：AC=CD：BD，而AD=BD，∴AD：AC=CD：AD，∴点D是线段AC的黄金分割点，所以②正确．故选D.
11．D
【解析】
试题分析：在△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．
解：如图，∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴△ABD，△BCD都是等腰三角形，故①正确；
∴BC=BD=AD，故②正确；
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
即BC2=CD•AC，故③正确；
∵AD=BD=BC，
∴AD2=AC•CD=（AD+CD）•CD，
∴AD=CD，
∴D是AC的黄金分割点．故④正确，
故选D．
考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割．
12．
【分析】
根据若点是线段的黄金分割点（），则 =计算即可．
【详解】
当PM＞PN时，PM=MN=，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．
13．6.2
【分析】
黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．
【详解】
由题意知AC:AB=BC:AC，
∴AC:AB≈0.618，
∴AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)
故答案为6.2.
【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.
14．米
【解析】
【分析】
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【详解】
解：∵将长度为2米的线段进行黄金分割，
∴较长的线段==（米），
故答案为：米.
【点拨】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为是解的关键．
15．0.62
【分析】
把黄金分割比例按要求进行计算即可．
【详解】
解：∵（称为黄金分割比例），，
∴≈≈0.62，
故答案为：0.62．
【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键．
16．
【解析】
17．cm．
【解析】
根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．
解：较长线段的长=×4=（2）cm．
故答案为（2）cm．
18．
【分析】
根据黄金比值为计算即可.
【详解】
解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）
∴
故答案为：.
【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.
19．cm cm
【分析】
根据黄金分割的概念得到较长线段PA=AB，则PB=AB-PA=AB，然后把AB=2cm代入计算即可．
【详解】
解：∵P是AB的黄金分割点，
∴较长线段PA=AB，
∴PB=AB-PA=AB，
而AB=2cm，
∴PA=cm，PB=cm．
故答案为：cm；cm．
【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍．
20．0.6180
【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．
所以0.61803398…≈0.6180
21．
【分析】
根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC＝AB，代入数据即可得出AC的值．
【详解】
解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点，
且AC＜BC，BC为较长线段；
则BC＝10×＝5﹣5．
故答案为：．
【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
22．﹣5
【解析】
∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP=AB，
∵AB=10cm，
∴AP=.
故答案为．
点睛：若点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则AP2=BP·AB，即AP=AB.
23．C、D是黄金分割点.
【解析】
【分析】
根据题意求出AC与AB的关系，计算出AD与AB的关系，根据黄金比值进行判断即可．
【详解】
解：C、D是黄金分割点，
∵AC+CD+BD＝AB，CD＝(5﹣2)AB，AC＝BD，
∴AC＝3-52AB，
AD＝AC+CD＝3-52AB+(5﹣2)AB＝5-12AB，
∴D是AB的黄金分割点，
同理C也是AB的黄金分割点．
【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.
24．见解析
【解析】
试题分析：先求得AM=5-12，即可得到AMMN=ANAM=5-12，结论得证。
∵MN=1，AN=3-52
∴AM=5-12
∵AMMN=ANAM=5-12
∴点A是MN的黄金分割点
考点：本题考查了黄金分割
点评：解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3-52，较长的线段=原线段的5-12。
25．（1）;（2）6.
【分析】
（1）先根据新定义及得到代数式x2+x=5，再化简，把x2+x=5整体代入即可求解.
(2)根据黄金比值是计算即可．
【详解】
（1）∵
即
化简得x2+x=5
∴=-x2-x+4=-5+4=-1
（2）∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴BC＝AB=2()cm,
则AC＝4−2（）＝6.
【点拨】本题考查的是新定义运算及黄金分割，解题的关键是熟知整式的乘除与黄金分割的性质.
26．（1）；（2）见解析
【分析】
（1）根据题意列出一元二次方程，解方程即可；
（2）设BC=a，根据题意用a表示出AB、AC，结合图形、根据黄金分割的定义判断即可．
【详解】
解：（1）设AB长为1，P为线段AB上符合题意的一点，AP=x，则BP=1﹣x，
根据题意得，，
解得，（舍去），
故，
故答案为：；
（2）设BC=a，则AB=2a，
则AC=a，
由题意得，CD=BC=a，
∴AE=AD=a﹣a，
BE=AB﹣AE=3a﹣a，
∴=，=，
∴=，即点E是线段AB的黄金分割点．
【点评】
本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．
27．
【分析】
设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程求解即可．
【详解】
解：设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．
依题意，得
解得（不合题意，舍去）．
经检验，是原方程的根．
雕像下部设计的高度应该为：1.236m
故答案为：1.236m
【点拨】本题考查了黄金分割的应用，利用黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
28．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，又AE=CD，即可证明ΔABE≌ΔCAD；
（2）设则由等边对等角可得可得以及，故；
（3）可证可得，故由于可得，根据黄金分割点可证点是的黄金分割点；
【详解】
证明：
(1) ∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
在ΔABE与ΔCDA中，AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，
∴△AEB≌△CDA；
（2）由（1）知，
则，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
又，
∴；
（3）在和中，
，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴点是的黄金分割点；
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.