人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.25 位似（巩固篇）（专项练习）

这是一份人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.25 位似（巩固篇）（专项练习），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，点是正三角形的中心，分别是的中点，则与是位似三角形，此时与的位似中心是（ ）
A．点O B．点P C．点 D．点Q
3．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，下列结论不正确的是（ ）
A．AC∥DF B．
C．BC是△OEF的中位线 D．S△ABC：S△DEF =1：2
4．如图，与是位似图形，位似中心为点O，，的面积为9，则面积为（ ）
A．4B．6C．D．
5．如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若AA'：OA'＝2：3，则下列说法错误的是（ ）
A．△A'OB'∽△AOB
B．A'B'//AB
C．点O到A'B'与AB的距离之比为3:5
D．△A'B'C'与△ABC的面积之比为3：5
6．如图，在直角坐标系xy中，矩形EFGO的两边OE，OG在坐标轴上，以y轴上的某一点P为位似中心，作矩形ABCD，使其与矩形EFGO位似，若点B，F的坐标分别为（4，4），（-2，1），则位似中心P的坐标为（ ）
A．（0，1．5） B．（0，2）
C．（0，2．5） D．（0，3）
7．如图中，已知，，且的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（ ）
A．B．2C．D．4
9．如图，与位似，点O是位似中心．若，与的周长差为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（ ）
A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）
二、填空题
11．△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则与△ADF位似的三角形是________.
​
12．已知是轴的正半轴上的点，是由等腰直角三角形以为位似中心变换得到的，如图，已知，，则位似中心点的坐标是________．
13．如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为________．
14．如图，在矩形中，，．若矩形与矩形位似，点F在矩形的内部，且相似比为，则点C、F之间的距离为_________．
15．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为______．
16．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点的坐标为___________．
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续下去，若，则正方形的面积为________．
18．如下图所示，已知四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则四边形EFGH与四边形ABCD的周长比为______．
三、解答题
19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC和格点0.
(1) 以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到ΔA1B1C1，在网格中画出ΔA1B1C1；
(2) 将△ABC绕点0逆时针旋转90°得ΔA2B2C2，画出ΔA2B2C2；

20．如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
(1) 求证：△ADP∽△BCP；
(2) 直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；
(3) 若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．

21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为，变换后点、的对应点分别为点、，点在第一象限，并写出点坐标______；
（2）若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为_______．

22．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高．
（1）求证：；
（2）连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？

23．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
(1)在图1中，以BO为边，画出△OBC，使△OBC∽△ABO，C为格点．
(2)在图2中，以点O为位似中心，在网格内画出△ODE，使△ODE与△OAB位似，且位似比k=2，点D、E为格点．
(3)在图3中，在OA边上找一个点F，且满足．
24．（1）如图①，在8×6的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．点C坐标为（2，4），以O为位似中心，在网格图中作△A′B'C′，使△A′B'C′与△ABC位似，且位似比为1∶2，（保留作图痕迹），则点C'的坐标为 ，周长比C△A'B'C′∶C△ABC＝ ．
（2）如图②，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m，DE在阳光下的投影长为6cm．请你在图中②画出此时DE在阳光下的投影EF．根据题中信息，求得立柱DE的长为 m．
参考答案
1．B
【分析】
根据位似图形的定义逐一判定即可得答案．
解：①两个正方形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，
②两个等边三角形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，
③两个同心圆符合位似图形的定义，是位似图形，
④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，
∴正确的有③④，共2个，
故选：B．
【点拨】本题考查位似图形的定义，记住位似图形的性质是解题的关键①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
2．A
【分析】
先根据三角形中位线定理可得，，再根据位似中心的定义即可得．
解：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心．
分别是的中点，
，，
与是相似三角形，
又点和点、点和点、点和点的连线都经过点O，
与是位似三角形，其位似中心是点O，
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．
3．D
【分析】
根据位似图形的性质、中位线的定义、相似多边形的性质判断即可；
解：∵位似图形的对应线段平行且比相等；位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比；
∴AC∥DF，AB∶DE=OA∶OD=1∶2，即A、B选项正确；
∵BC∥EF，BC∶EF=1∶2，
∴BC是△OEF的中位线；即C选项正确；
∵位似图形是相似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，
∴S△ABC：S△DEF =1：4，即D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质和中位线的定义；掌握位似图形的性质是解题关键．
4．A
【分析】
根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解．
解：∵与是位似图形，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为9，
∴面积为4．
故选：A
【点拨】本题考查了位似的概念和性质，相似三角形的性质，熟知位似的概念，理解三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
5．D
【分析】
根据位移变换的性质得到，进而求得，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
解：△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的
AA'：OA'＝2：3
即点O到A'B'与AB的距离之比为3:5
所以，选项D错误，
故选：D．
【点拨】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握位似与相似的关系、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．B
【分析】
根据题意求出CG的长，利用相似三角形的性质求出PG的值，从而求出点P的坐标即可．
解：∵四边形ABCD和四边形EFGO均为矩形，点B，F的坐标分别为（4，4）、（-2，1），
∴，，点C（0，4），点G（0，1），
∴，，
∵，
∴，即，
解得，
∴点P坐标为（0，2），
故选：B．
【点拨】此题主要考查了位似中心的概念和位似图形的性质等知识，熟练掌握位似中心的概念和位似图形的性质是解题的关键．
7．B
【分析】
根据，可推出和的面积比，由已知和的面积和是18，可求出的面积，同理，由，可知和的面积比，即可求出的面积.
解：∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故选：B
【点拨】本题考查了两个三角形同高时，面积比就等于底边的比，已知两个三角形底边比和面积和，即可分别求出两个三角形面积.
8．A
【分析】
根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案．
解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4），
∴AB＝2，BC＝2，
由勾股定理得：AC＝＝，
∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2，
∴线段DF的长度为AC＝，
故选：A．
【点拨】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
9．B
【分析】
根据：位似图形高、周长的比都等于相似比即可解答．求出与的相似比为即可．
解：∵
∴
∴与的周长比为
∵与的周长差为
∴的周长=(cm)
故选：B
【点拨】本题主要考查了位似比，熟练的掌握位似图形高、周长的比都等于相似比是解题的关键．
10．A
【分析】
根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算即可得到答案．
解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，
∴△ACB∽△CED，
∵相似比为1：3，
∴，即 ，
解得，DE＝6，
∵△CED为等腰直角三角形，
∴CE＝DE＝6，
∵BC∥DE，
∴△OCB∽△OED，
∴ ，即，
解得OC＝3，
∴OE＝OC+CE＝3+6＝9，
∴点D的坐标为（9，6），
故选：A．
【点拨】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质，掌握位似变换的两个图形是相似图形是解题的关键．
11．△ABC​
【分析】
利用三角形中位线定理以及位似变换的定义得出即可．
解：∵点D. E. F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DF∥BC,ED∥AC,EF∥AB，
∴△ADF∽△ABC，则△ADF与△ABC是位似图形．
故答案为△ABC.
【点拨】此题考查位似变换，三角形中位线定理，解题关键在于掌握其性质定义.
12．
【分析】
根据位似图形的概念，连接AG，与CE的交点即是点P．根据相似三角形的性质求得OP的长，即可得点P的坐标.．
解：如图，连接AG，
∵EO=1，DC=2，
∴△ACD与△GOE的位似比是2：1，
∴AD：OG=2：1，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AD⊥x轴，
∴AD∥OG，
∴△OPG∽△DPA
∴PD：OP=2：1，
∵OD=2，
∴OP=，
∴位似中心P点的坐标是（，0）．
故答案为（，0）．
【点拨】本题考查了位似的相关知识，熟知位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解决问题的关键．
13．4
【分析】
延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积．
解：延长EG交CD于点H，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，
∴AD∥EG，
∴四边形AEHD是平行四边形，
∴．
∵位似图形与原图形的位似比为，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．
14．
【分析】
连接AC，先由勾股定理求得AC=4，再根据矩形与矩形位似，点F在矩形的内部，且相似比为，得，即可求出AF长，然后由CF=AC-A即可求解．
解：如图，连接AC，
∵矩形，
∴∠B=90°
∴AC=，
∵矩形与矩形位似，点F在矩形的内部，且相似比为，
∴点F在AC上，
∴，即，
∴AF=3，
∴CF=AC-AF=4-3=，
故答案为：．
【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
15．
【分析】
根据菱形的性质、等边三角形的性质求出，通过相似比即可得A的坐标.
解：若四边形是边长为6的菱形，.
∵是等边三角形
∴
则
∵，且相似比为3：1
∴
故答案为：
【点拨】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质、位似图形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
16．（2，3）或（-4，-3）
【分析】
先求出AB的坐标，然后根据△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，得到则O′B′=3，AO′=3，由此求解即可．
解：∵A、B分别是直线与x轴，y轴的交点，
∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（0，1），
∴OA=1,OB=1
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴O′B′=3，AO′=3，
∴B′的坐标为（2，3）或（-4，-3）．
故答案为：（2，3）或（-4，-3）．
【点拨】本题主要考查了位似变换和一次函数图象上点的坐标特征，得出点A和点B的坐标是解答此题的关键．
17．
【分析】
根据位似图形的概念求出OA2，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可．
解：∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，
∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴A1B1∥A2B2，
∴OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∵OA1=1，
∴OA2=2，
∴A1A2=1，
∴正方形A1B1C1A2的面积=1=40，
∵OA1=A1A2=A1B1=1，
∴∠B1OA1=45°，
∴OA2=A2B2=2，
∴正方形A2B2C2A3的面积=2×2=41，
∵A3B3⊥x轴，
∴OA3=A3B3=4，
∴正方形A3B3C3A4的面积=4×4=16=42，
……
则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为42021-1=42020=24040，
故答案为：24040．
【点拨】本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，掌握位似图形的性质、相似多边形的性质是解题的关键．
18．4∶7
【分析】
根据图形位似的性质可得，则可得的值，同理可得两个四边形其余三条对应边的比值，即可求解．
解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴ ，
，
，
同理可得： ， ， ，
，
即四边形EFGH与四边形ABCD的周长比为4∶7．
故答案为：4∶7．
【点拨】本题考查了图形的位似，相似三角形的判定和性质，熟练掌握图形位似的性质是解题的关键．
19．(1)作图见分析(2)作图见分析
【分析】
（1）利用相似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
(1)解：如图，△A1B1C1即为所求；
(2)解：如图，△A2B2C2即为所求．
【点拨】本题考查作图﹣旋转变换，相似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，相似变换的性质，属于中考常考题型．
20．(1)见分析；(2)不是位似图形；(3)6
【分析】
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）根据位似图形的定义判断，即可；
（3）根据△ADP∽△BCP，得到，再证明△APB∽△DPC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
(1)证明：∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴ △ADP∽△BCP．
(2)解：△ADP与△BCP不是位似图形．
理由是：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．△ADP与△BCP的对应点的连线交于一个点，
∴ △ADP与△BCP不是位似图形．
(3)解：∵△ADP∽△BCP，
∴，
∵∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴，
∴，
解得AP＝6．
【点拨】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．（1）图见分析，；（2）
【分析】
（1）根据相似比可确定三点的坐标，从而可画出并写出点坐标；
（2）根据相似比即可确定点的坐标．
解：（1）如图所示：△AˈBˈCˈ即为所求，；
故答案为：
（2）若P（a，b）为线段BC上的任一点，则变换后点P的对应点Pˈ的坐标为：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了在坐标系中作位似图形，求位似图形对应的坐标，关键是掌握位似图形的含义．
22．（1）见分析；（2）不是，理由见分析
【分析】
（1）利用三角形相似可求得各对应边成比例；
（2）根据两三角形不是相似三角形，即可判断不是位似图形．
（1）证明：、是高，
，
，
，
；
（2）解：如图，
∵△CDE与△CAB不一定是相似三有形，
∴与不是位似图形．
【点拨】本题考查了相似三角形，位似三角形，解题的关键是知道求各边成比例，一般应证明所在的三角形相似；位似三角形的前提一定是相似三角形，且任意两对应点的连线交于一点．
23．(1)见分析(2)见分析(3)见分析
【分析】
（1）根据相似三角形的判定与性质画出△OBC，使△OBC∽△ABO；
（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出△ODE；
（3）取格点G，连接BG交AO于点F，根据相似三角形的性质得出．
(1)如图所示，△OBC即为所求；
；
(2)如图所示，△ODE即为所求；
；
(3)如图所示，点F即为所求．
；
【点拨】本题主要考查了作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（1）（1，2），1：2；（2）9
【分析】
（1）利用位似变换的性质得出A′、B'、C′的坐标和周长比，顺次连接A′、B'、C′即可得到△A′B'C′；
（2）连接AC，根据太阳光线是平行光线，过D作DF∥AC交BC延长线于F，即可得DE在阳光下的投影EF，再根据相似三角形的判定与性质求解DE即可．
解：（1）由图知：A(－2，0)，B（4，0），
∵△A′B'C′与△ABC位似，且位似比为1∶2，O为位似中心，
∴A′（－1，0），B'（2，0），C′（1，2），C△A'B'C′∶C△ABC＝1：2，
顺次连接A′、B'、C′，如图①△A'B'C'即为所求作：
故答案为：（1，2），1：2；
（2）连接AC，过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图②，EF即为DE在阳光下的投影：
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，又∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB=6m，BC=4m，EF=6m，
∴，
解得：DE=9，
故答案为：9．
【点拨】本题考查坐标与位似图形、相似三角形的实际应用，利用位似变换的性质得出对应点的坐标和位置是解答的关键．