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重庆市梁平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+
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这是一份重庆市梁平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共28页。试卷主要包含了解答题解答时每小题必须等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝3C．直线 x＝﹣1D．直线x＝﹣3
2．（4分）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序、主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（ ）
A．小星抽到数字1的可能性最小
B．小星抽到数字2的可能性最大
C．小星抽到数字3的可能性最大
D．小星抽到每个数的可能性相同
3．（4分）已知函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，3），c的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转36°后得到△COD，若∠AOB＝24°，则∠AOD的度数是（ ）
A．24°B．12°C．36°D．60°
5．（4分）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB＝54°，则∠C＝（ ）
A．27°B．36°C．54°D．72°
6．（4分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+x）＝1456
B．400（1+x）+400（1+x）2＝1456
C．400（1+x）2＝1456
D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456
8．（4分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝2∠D，且AB＝3，则AC的长度是（ ）
A．1B．C．D．
9．（4分）如果关于x的方程（2﹣a）x＝2有整数解，且使二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴没有交点，那么符合条件的所有整数a的最大值是（ ）
A．7B．8C．4D．5
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应
11．（4分）单项选择题是数学试题的重要组成部分，当你遇到不懂做的情况时，如果你随便选一个答案（假设每个题目有4个备选答案），那么你答对的可能性为 ．
12．（4分）平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作⊙O，则点A（1，2）与⊙O的位置关系为点A在 ．
13．（4分）设方程3x2+7x﹣9＝0的两根为x1，x2，则x1x2＝ ．
14．（4分）在永辉超市的一次抽奖活动中，在一个不透明的纸质箱中抽球，规定任意摸出个球为红球获得一等奖．不透明的纸质箱中装有黑球25个，白球15个，红球6个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出1个球，要使中一等奖的概率为，需要往这个口袋再放入同种红球 个．
15．（4分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A按逆时针旋转90°后得到△AO1B1，则点B1的坐标是 ．
16．（4分）如图，在矩形中ABCD，E为BC的中点，连接AE，DE，∠AEB＝∠DEC＝45°，以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，图中阴影部分的面积为4﹣π，则BC＝ ．
17．（4分）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：
①b＞0；②b＝﹣3；③c＝﹣3b；④当0＜x＜1时，x2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的是 ．
18．（4分）若关于x的不等式组至少有4个整数解，关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须
19．（8分）（1）x（x+2）﹣（x+2）＝0；
（2）（2x﹣1）2＝x（2x+6）﹣7．
20．（10分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若x1、x2是该方程的两个实数根，且x12+x22＝12，求m的值．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径．
（1）用尺规作图作出∠ACB的平分线，交⊙O于点D，连接DA、DB（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若，AC＝1，求CB的长度．
22．（10分）某商品的售价为每件60元，每星期可卖出300件．经过市场调查发现，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
23．（10分）某中学缤纷社团课程受到了各年级学生的喜爱和支持，为了解学生对各社团的喜爱程度，学校从初二年级学生中选取部分学生进行了关于意向社团及喜爱程度的调查，参与调查的学生需从A，B，C，D，E五个社团中选择一个最喜爱的社团并根据喜爱程度对其打分（打分0﹣10分，10分为非常喜爱，0分为完全不喜爱，打分均为整数）．根据收集的结果学校做出如下统计：
其中选择A社团的同学打分数据如下（单位：分）8，7，7，10，9，9，6，8，10，6
根据题目信息回答以下问题：
（1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中m ，A组所对应的圆心角是 °；
（2）选择A社团的同学打分数据的平均数为 ，中位数为 ；
（3）若初二一班的两位同学要从A，B，C，D，E五个社团中选择一个报名且不可选同一个社团，请你用树状图或列表的方法求两位同学恰好选择了B社团和C社团的概率．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝10，E是线段AB上从点A向点B运动的一个动点（不含A、B），F是线段BC上从点B向点C运动的一个动点（不含B、C），点E、F同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接EF，DF．已知点E在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点F在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点E的运动时间为x秒，△BEF的面积为y1，△DFC的面积为y2．
（1）请求出y1和y2关于x的函数解析式，并说明x的取值范围；
（2）在图2中画出y1关于x的函数图象，并写出一条这一函数的性质： ；
（3）若，请结合图象直接写出满足条件的x所有整数的值．
25．（10分）已知点D是等边△ABC的边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接BE．
（1）如图1，连接CE，若CE⊥BC，且AB＝6，BD＝2，求线段CE的长；
（2）如图2，若点F为线段BE的中点，连接DF、CF，求证：DF⊥CF．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（﹣3，0），∠ACB＝90°．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PM⊥AC于M点，在射线MA上取一点N，使得2MN＝AC，连接PN，求△PMN面积的最大值及此时点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
1．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝3C．直线 x＝﹣1D．直线x＝﹣3
【分析】直接由二次函数的顶点式可求得答案．
【解答】解：
∵y＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
2．（4分）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序、主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（ ）
A．小星抽到数字1的可能性最小
B．小星抽到数字2的可能性最大
C．小星抽到数字3的可能性最大
D．小星抽到每个数的可能性相同
【分析】根据概率公式求出小星抽到各个数字的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：∵3张同样的纸条上分别写有1，2，3，
∴小星抽到数字1的概率是，抽到数字2的概率是，抽到数字3的概率是，
∴小星抽到每个数的可能性相同；
故选：D．
【点评】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
3．（4分）已知函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，3），c的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】代入（0，3）点，根据待定系数法即可求得．
【解答】解：∵函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，3），
∴3＝c．
∴c的值为3，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
4．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转36°后得到△COD，若∠AOB＝24°，则∠AOD的度数是（ ）
A．24°B．12°C．36°D．60°
【分析】根据旋转的性质即可解决问题．
【解答】解：由旋转可知，
∠BOD＝36°，
又∵∠AOB＝24°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝36°﹣24°＝12°．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键．
5．（4分）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB＝54°，则∠C＝（ ）
A．27°B．36°C．54°D．72°
【分析】根据圆周角定理即可直接求解．
【解答】解：∵∠AOB＝54°，∠C＝∠AOB，
∴∠C＝×54°＝27°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（4分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【解答】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
【点评】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
7．（4分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+x）＝1456
B．400（1+x）+400（1+x）2＝1456
C．400（1+x）2＝1456
D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于1456，列方程即可．
【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键．
8．（4分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝2∠D，且AB＝3，则AC的长度是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】如图，连接OB．由圆周角定理可得∠BOC＝2∠D，等量代换可得∠A＝∠BOC，进而可得OB＝AB＝3，根据切线的定义得出AB⊥OB，利用勾股定理求出，则．
【解答】解：如图，连接OB．
由圆周角定理可得∠BOC＝2∠D，
∵∠A＝2∠D，
∴∠A＝∠BOC，
∴OB＝AB，
∵AB＝3，
∴OB＝OC＝3．
∵AB是⊙O的切线，
∴AB⊥OB，
∴．
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的定义、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，利用圆周角定理得出∠BOC＝2∠D是解答本题的关键．
9．（4分）如果关于x的方程（2﹣a）x＝2有整数解，且使二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴没有交点，那么符合条件的所有整数a的最大值是（ ）
A．7B．8C．4D．5
【分析】先根据关于x的方程（2﹣a）x＝2有整数解求出a的值，再根据二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴没有交点求出a的取值范围，再求出符a的最大值．
【解答】解：由（2﹣a）x＝2得：x＝，
∵关于x的方程（2﹣a）x＝2有整数解，
∴2﹣a＝﹣2或2﹣a＝﹣1或2﹣a＝1或2﹣a＝2，
解得a＝4或a＝3或a＝1或a＝0，
∵二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴没有交点，
∴Δ＝4﹣4a＜0，
解得a＞1，
∴符合条件的所有整数a的最大值是4，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数与x轴的交点与一元二次方程解的关系．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应
11．（4分）单项选择题是数学试题的重要组成部分，当你遇到不懂做的情况时，如果你随便选一个答案（假设每个题目有4个备选答案），那么你答对的可能性为 ．
【分析】这个实验有4个出现机会相同的结果，而正确的只有1个，根据概率公式即可求解．
【解答】解：根据题意，每个题目有4个备选答案，而只有一个是正确的，
故答对的可能性为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是可能性大小的判断，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
12．（4分）平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作⊙O，则点A（1，2）与⊙O的位置关系为点A在 圆外 ．
【分析】直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案．
【解答】解：∵点A（1，2）
∴AO＝，
∵以原点O为圆心，2为半径作⊙O，
∴＞2，
∴点A（1，2）与⊙O的位置关系为：圆外．
故答案为：圆外．
【点评】此题主要是考查了点与圆的位置关系，能够得出点与圆心的距离是解题的关键．
13．（4分）设方程3x2+7x﹣9＝0的两根为x1，x2，则x1x2＝ ﹣3 ．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1x2＝＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．（4分）在永辉超市的一次抽奖活动中，在一个不透明的纸质箱中抽球，规定任意摸出个球为红球获得一等奖．不透明的纸质箱中装有黑球25个，白球15个，红球6个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出1个球，要使中一等奖的概率为，需要往这个口袋再放入同种红球 54 个．
【分析】设需要往这个口袋再放入同种红球x个，根据概率公式求出x的值即可．
【解答】解：设需要往这个口袋再放入同种红球x个，
∵从中任意摸出1个球，要使中一等奖的概率为，
∴＝，
解得x＝54．
故答案为：54．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝是解题的关键．
15．（4分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A按逆时针旋转90°后得到△AO1B1，则点B1的坐标是 （﹣2，﹣6） ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，结合旋转的性质，可得出AO1，O1B1的长，再结合点A的坐标，即可求出点B1的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣×0+8＝8，
∴点B的坐标为（0，8），
∴OB＝8；
当y＝0时，﹣x+8＝0，
解得：x＝6，
∴点A的坐标为（6，0），
∴OA＝6．
由旋转可知：AO1＝OA＝6，O1B1＝OB＝8，
∴点B1的坐标是（6﹣8，0﹣6），即（﹣2，﹣6）．
故答案为：（﹣2，﹣6）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化﹣旋转，利用一次函数图象上点的坐标特征及旋转的性质，找出点A的坐标及AO1，O1B1的长是解题的关键．
16．（4分）如图，在矩形中ABCD，E为BC的中点，连接AE，DE，∠AEB＝∠DEC＝45°，以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，图中阴影部分的面积为4﹣π，则BC＝ 4 ．
【分析】由矩形的性质推出AB＝CD，∠ABC＝∠DCE＝90°，由SAS推出△ABE≌△DEC（SAS），得到△ABE和△DEC的面积相等，而扇形EBM和扇形ECN的面积相等，因此两个阴影的面积相等，于是得到（△ABE的面积﹣扇形EBM的面积）×2＝4﹣π，由△ABE是等腰直角三角形，得到AB＝BE，因此（BE2﹣）×2＝4﹣π，求出BE＝2，即可得到BC＝2BE＝4．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCE＝90°，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
∴△ABE≌△DEC（SAS），
∴△ABE和△DEC的面积相等，
∵∠AEB＝∠DEC＝45°，BE＝CE，
∴扇形EBM和扇形ECN的面积相等，
∴两个阴影的面积相等，
∵图中阴影部分的面积为4﹣π，
∴（△ABE的面积﹣扇形EBM的面积）×2＝4﹣π，
∵∠ABE＝90°，∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∴（BE2﹣）×2＝4﹣π，
∴BE＝2（舍去负值），
∴BC＝2BE＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查矩形的性质，扇形的面积，全等三角形的判定和性质，关键是得到（△ABE的面积﹣扇形EBM的面积）×2＝阴影的面积．
17．（4分）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：
①b＞0；②b＝﹣3；③c＝﹣3b；④当0＜x＜1时，x2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的是 ②④ ．
【分析】根据所给二次函数的图象，用待定系数法求出二次函数的解析式再结合数形结合的数学思想即可解决问题．
【解答】解：将点（1，1）和点（3，3）代入二次函数解析式得，
，
解得，
所以二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+3．
则b＝﹣3，
故①错误，②正确．
c＝3＝﹣b，
故③错误．
当0＜x＜1时，
二次函数的图象在一次函数图象的上方，
所以x2+bx+c＞x，
即x2+（b﹣1）x+c＞0．
故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，用待定系数法求出二次函数的解析式及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
18．（4分）若关于x的不等式组至少有4个整数解，关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为 14 ．
【分析】分别求出符合不等式组和分式方程解的条件的整数a，再计算出所有整数a的和．
【解答】解：，
解该不等式组得：﹣1＜x≤a，
∵关于x的不等式组至少有4个整数解，
∴a≥3，
，
解该分式方程得：y＝6﹣a，
∵6﹣a≥0且6﹣a≠2，
解得a≤6且a≠4，
∴a取3≤a≤6且a≠4的整数，
即a取3，5，6．
3+5+6＝14．
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解解一元一次不等式组和解分式方程的方法，理解一元一次不等式组的解集和分式方程的增根是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须
19．（8分）（1）x（x+2）﹣（x+2）＝0；
（2）（2x﹣1）2＝x（2x+6）﹣7．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可．
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x（x+2）﹣（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣2．x2＝1．
（2）（2x﹣1）2＝x（2x+6）﹣7，
整理得x2﹣5x+4＝0，
（x﹣4）（x﹣1）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝4．x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型．
20．（10分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若x1、x2是该方程的两个实数根，且x12+x22＝12，求m的值．
【分析】（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得Δ＞0，由此可解得m的值；
（2）根与系数的关系及已知条件可得关于m的一元二次方程，解得m的值并根据（1）中的所得的m的取值范围作出取舍即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0；
（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，，
∵，
∴，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程的相关知识是关键．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径．
（1）用尺规作图作出∠ACB的平分线，交⊙O于点D，连接DA、DB（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若，AC＝1，求CB的长度．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）根据圆周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝90°，由角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD，进而可得AD＝BD＝，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再在Rt△ABC中利用勾股定理可得CB的长．
【解答】解：（1）如图，CD即为所求．
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°．
∵CD是∠ACB 的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，
∴．
【点评】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）某商品的售价为每件60元，每星期可卖出300件．经过市场调查发现，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
【分析】设每件涨价x元，则每件的利润是（60﹣40+x）元，所售件数是（300﹣10x）件，总利润为y；设每件降价a元，则每件的利润是（60﹣40﹣a）元，所售件数是（300+20a）件，总利润为w；根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
【解答】解：设涨价x元，利润为y元，
则y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）
＝﹣10x2+100x+6000
＝﹣10（x﹣5）2+6250，
因此当x＝5时，y有最大值6250．
60+5＝65元，
每件定价为65元时利润最大．
设每件降价a元，总利润为w，
则w＝（60﹣40﹣a）（300+18a），
＝﹣18a2+60a+6000，
＝﹣18（a﹣）2+6050，
因此当a＝时，w有最大值6050．
每件定价为57元时利润最大．
综上所知每件定价为65元时利润最大．
【点评】此题考查二次函数的实际运用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．
23．（10分）某中学缤纷社团课程受到了各年级学生的喜爱和支持，为了解学生对各社团的喜爱程度，学校从初二年级学生中选取部分学生进行了关于意向社团及喜爱程度的调查，参与调查的学生需从A，B，C，D，E五个社团中选择一个最喜爱的社团并根据喜爱程度对其打分（打分0﹣10分，10分为非常喜爱，0分为完全不喜爱，打分均为整数）．根据收集的结果学校做出如下统计：
其中选择A社团的同学打分数据如下（单位：分）8，7，7，10，9，9，6，8，10，6
根据题目信息回答以下问题：
（1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中m ＝15 ，A组所对应的圆心角是 36° °；
（2）选择A社团的同学打分数据的平均数为 8分 ，中位数为 8分 ；
（3）若初二一班的两位同学要从A，B，C，D，E五个社团中选择一个报名且不可选同一个社团，请你用树状图或列表的方法求两位同学恰好选择了B社团和C社团的概率．
【分析】（1）根据B社团人数及其所占百分比求出总人数，继而求出C对应人数，用D组人数除以总人数可得m的值，用360°乘以E组人数所占比例即可；
（2）根据平均数与中位数的定义求解即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】（1）解：25÷25%＝100人，
∴参与调查的学生人数为100人，
∴C社团的人数为100﹣10﹣25﹣15﹣20＝30人，
m%＝×100%＝15%，
∴m＝15，，
补全统计图如下：
故答案为：＝15；36°；
（2）把选择A社团的同学打分数据从低到高排列处在第5名和第6名的分数为8分，
∴选择A社团的同学打分数据的中位数为 （分），
∵平均分为：（分）．
故答案为：8分；8分；
3）列表如下：
由表格可知一共有20种等可能性的结果数，其中两位同学恰好选择了B社团和C社团的结果数有2种，
∴两位同学恰好选择了B社团和C社团的概率．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图，解答本题的关键是掌握概率的计算公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝10，E是线段AB上从点A向点B运动的一个动点（不含A、B），F是线段BC上从点B向点C运动的一个动点（不含B、C），点E、F同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接EF，DF．已知点E在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点F在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点E的运动时间为x秒，△BEF的面积为y1，△DFC的面积为y2．
（1）请求出y1和y2关于x的函数解析式，并说明x的取值范围；
（2）在图2中画出y1关于x的函数图象，并写出一条这一函数的性质： 当x＝3时，函数有最大值9（答案不唯一） ；
（3）若，请结合图象直接写出满足条件的x所有整数的值．
【分析】（1）作DG⊥BC于G，可得四边形ABGD为矩形，DG＝AB＝6，由题意可知：AE＝x，则BE＝6﹣x，BF＝2x，CF＝10﹣2x，再根据y1＝BE•BF，y2＝CF•DG，可得函数解析式，由其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，可得x的取值范围；
（2）利用描点法画出图形即可，由，根据最值或增减性可得函数性质；
（3）由，可得y1＞﹣2x+10，结合图象只需在图象中找到在y＝﹣2x+10上方部分对应的x的值即可．
【解答】解：（1）作DG⊥BC于G，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DG⊥BC，则AB∥DG，
∴四边形ABGD为矩形，
∴DG＝AB＝6，
由题意可知：AE＝x，则BE＝6﹣x，BF＝2x，CF＝10﹣2x，
∴△BEF的面积：y1＝BE•BF＝•（6﹣x）•2x＝﹣x2+6x，
△DFC的面积：y2＝CF•DG＝（10﹣2x）×6＝﹣6x+30，
∵当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，
则点E运动时间最多为：6÷1＝6秒，点F运动时间最多为：10÷2＝5（秒），
∴，y2＝﹣6x+30，0＜x＜5；
（2）列表：
描点（1，5），（2，8），（3，9），（4，8），（5，5）（用空心圆圈），
画出y1关于x的函数图象如图所示：
，
由此可知：①当x＝3时，函数有最大值9；
②当0＜x＜3时，y1随x增大而增大，当3＜x＜5时，y1随x增大而减小；
故答案为：当x＝3时，函数有最大值9（答案不唯一）；
（3）∵y1＞，
∴y1﹣（﹣6x+30）＞0，即y1﹣（﹣2x+10）＞0，即：y1＞﹣2x+10，
只需在图象中找到y1＝﹣x2+6x在y＝﹣2x+10上方部分对应的x的值即可，
由图可知两函数的交点横坐标约为1.5，其右侧部分y1＝﹣x2+6x在y＝﹣2x+10上方，
∴当y1＞时，x的取值范围为1.5＜x＜5，
∴满足条件的x所有整数的值为2，3，4．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查二次函数函数的图象与性质，根据函数图象解不等式等知识点，解题的关键是掌握相关知识．
25．（10分）已知点D是等边△ABC的边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接BE．
（1）如图1，连接CE，若CE⊥BC，且AB＝6，BD＝2，求线段CE的长；
（2）如图2，若点F为线段BE的中点，连接DF、CF，求证：DF⊥CF．
【分析】（1）作DG⊥AC于点G，由勾股定理求得GD＝＝2，再由直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△DCE≌Rt△AGD，则CE＝GD＝2；
（2）延长CF到点H，使HF＝CF，连接DH、EH，先证明△EFH≌△BFC，得∠FEH＝∠FBC，EH＝BC＝AC，再推导出∠HED＝∠CAD，即可证明△EHD≌△ACD，得CD＝HD，∠EDH＝∠ADC，根据等腰三角形的“三线合一”证明DF⊥CH，∠HDF＝∠CDF，再根据等腰三角形的性质可得结论．
【解答】（1）解：如图1，作DG⊥AC于点G，则∠CGD＝∠AGD＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，BD＝2，
∴AC＝BC＝AB＝6，∠DCG＝60°，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣2＝4，∠CDG＝30°，
∴CG＝CD＝×4＝2，
∴GA＝AC﹣CG＝6﹣2＝4，GD＝＝＝2，
∴CD＝GA，
由旋转得DE＝AD，
∵CE⊥BC，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE和Rt△AGD中，
，
∴Rt△DCE≌Rt△AGD（HL），
∴CE＝GD＝2，
∴线段CE的长是2.
（2）证明：如图2，延长CF到点H，使HF＝CF，连接DH、EH，
∵点F为线段BE的中点，
∴EF＝BF，
在△EFH和△BFC中，
，
∴△EFH≌△BFC（SAS），
∴∠FEH＝∠FBC，EH＝BC＝AC，
由旋转得∠ADE＝120°，
∴∠HED＝∠BED+∠FEH＝∠BED+∠FBC＝∠CDE＝120°﹣∠ADC，
∵∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣∠ADC，
∴∠HED＝∠CAD，
在△EHD和△ACD中，
，
∴△EHD≌△ACD（SAS），
∴CD＝HD，∠EDH＝∠ADC，
∴DF⊥CH，∠HDF＝∠CDF，
∴∠CDH＝∠EDH+∠CDE＝∠ADC+∠CDE＝∠ADE＝120°，
∵DC＝DH，CF＝FH，
∴DF⊥CH，即DF⊥CF．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形形内角和定理及其推论、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形斜边中线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（﹣3，0），∠ACB＝90°．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PM⊥AC于M点，在射线MA上取一点N，使得2MN＝AC，连接PN，求△PMN面积的最大值及此时点P的坐标．
【分析】（1）先利用锐角三角函数求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）过P作PH∥y轴交AC于H，利用锐角三角函数求得PM＝PH•sin∠PHM＝PH，再求得MN＝，则S△PMN＝•MN•PM＝PM＝PH，当PH最大时，S△PMN的面积最大，设P（p，﹣p2﹣p+），则H（p，p+），得到PH＝﹣（p+）2+，利用二次函数的性质求得的最大值即可求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝，则C（0，），OC＝，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
则tan∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°，又∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∴OB＝＝1，则B（1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
将C（0，）代入，得﹣3a＝，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；
（2）如图1，过P作PH∥y轴交AC于H，则∠PHM＝∠ACO＝90°﹣∠OAC＝60°，
∵PM⊥AC，
∴PM＝PH•sin∠PHM＝PH，
∵AC＝2OC＝2，2MN＝AC，
∴MN＝，
∴S△PMN＝•MN•PM＝PM＝PH，当PH最大时，S△PMN最大；
设直线AC解析式为y＝kx+b′，
将A（﹣3，0）、C（0，）代入，得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+，
由题意，设P（p，﹣p2﹣p+），则H（p，p+），
∴PH＝﹣p2﹣p+﹣（p+）
＝﹣p2﹣p
＝﹣（p+）2+，
∵﹣＜0，﹣3＜p＜0，
∴当p＝﹣时，PH有最大值，最大值为，
即S△PMN最大，最大值为×＝，此时，点P的坐标为（﹣，）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、锐角三角函数、坐标与图形、平行四边形的性质、二次函数图象的平移、中点坐标公式的运用、解一元二次方程等知识，综合性强，计算量较大，属于中考压轴题，熟练掌握相关的知识与运用是解答的关键．
A
B
C
D
E
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）
x
1
2
3
4
5
y1
5
8
9
8
5
1．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝3C．直线 x＝﹣1D．直线x＝﹣3
2．（4分）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序、主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（ ）
A．小星抽到数字1的可能性最小
B．小星抽到数字2的可能性最大
C．小星抽到数字3的可能性最大
D．小星抽到每个数的可能性相同
3．（4分）已知函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，3），c的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转36°后得到△COD，若∠AOB＝24°，则∠AOD的度数是（ ）
A．24°B．12°C．36°D．60°
5．（4分）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB＝54°，则∠C＝（ ）
A．27°B．36°C．54°D．72°
6．（4分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+x）＝1456
B．400（1+x）+400（1+x）2＝1456
C．400（1+x）2＝1456
D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456
8．（4分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝2∠D，且AB＝3，则AC的长度是（ ）
A．1B．C．D．
9．（4分）如果关于x的方程（2﹣a）x＝2有整数解，且使二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴没有交点，那么符合条件的所有整数a的最大值是（ ）
A．7B．8C．4D．5
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应
11．（4分）单项选择题是数学试题的重要组成部分，当你遇到不懂做的情况时，如果你随便选一个答案（假设每个题目有4个备选答案），那么你答对的可能性为 ．
12．（4分）平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作⊙O，则点A（1，2）与⊙O的位置关系为点A在 ．
13．（4分）设方程3x2+7x﹣9＝0的两根为x1，x2，则x1x2＝ ．
14．（4分）在永辉超市的一次抽奖活动中，在一个不透明的纸质箱中抽球，规定任意摸出个球为红球获得一等奖．不透明的纸质箱中装有黑球25个，白球15个，红球6个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出1个球，要使中一等奖的概率为，需要往这个口袋再放入同种红球 个．
15．（4分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A按逆时针旋转90°后得到△AO1B1，则点B1的坐标是 ．
16．（4分）如图，在矩形中ABCD，E为BC的中点，连接AE，DE，∠AEB＝∠DEC＝45°，以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，图中阴影部分的面积为4﹣π，则BC＝ ．
17．（4分）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：
①b＞0；②b＝﹣3；③c＝﹣3b；④当0＜x＜1时，x2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的是 ．
18．（4分）若关于x的不等式组至少有4个整数解，关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须
19．（8分）（1）x（x+2）﹣（x+2）＝0；
（2）（2x﹣1）2＝x（2x+6）﹣7．
20．（10分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若x1、x2是该方程的两个实数根，且x12+x22＝12，求m的值．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径．
（1）用尺规作图作出∠ACB的平分线，交⊙O于点D，连接DA、DB（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若，AC＝1，求CB的长度．
22．（10分）某商品的售价为每件60元，每星期可卖出300件．经过市场调查发现，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
23．（10分）某中学缤纷社团课程受到了各年级学生的喜爱和支持，为了解学生对各社团的喜爱程度，学校从初二年级学生中选取部分学生进行了关于意向社团及喜爱程度的调查，参与调查的学生需从A，B，C，D，E五个社团中选择一个最喜爱的社团并根据喜爱程度对其打分（打分0﹣10分，10分为非常喜爱，0分为完全不喜爱，打分均为整数）．根据收集的结果学校做出如下统计：
其中选择A社团的同学打分数据如下（单位：分）8，7，7，10，9，9，6，8，10，6
根据题目信息回答以下问题：
（1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中m ，A组所对应的圆心角是 °；
（2）选择A社团的同学打分数据的平均数为 ，中位数为 ；
（3）若初二一班的两位同学要从A，B，C，D，E五个社团中选择一个报名且不可选同一个社团，请你用树状图或列表的方法求两位同学恰好选择了B社团和C社团的概率．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝10，E是线段AB上从点A向点B运动的一个动点（不含A、B），F是线段BC上从点B向点C运动的一个动点（不含B、C），点E、F同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接EF，DF．已知点E在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点F在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点E的运动时间为x秒，△BEF的面积为y1，△DFC的面积为y2．
（1）请求出y1和y2关于x的函数解析式，并说明x的取值范围；
（2）在图2中画出y1关于x的函数图象，并写出一条这一函数的性质： ；
（3）若，请结合图象直接写出满足条件的x所有整数的值．
25．（10分）已知点D是等边△ABC的边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接BE．
（1）如图1，连接CE，若CE⊥BC，且AB＝6，BD＝2，求线段CE的长；
（2）如图2，若点F为线段BE的中点，连接DF、CF，求证：DF⊥CF．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（﹣3，0），∠ACB＝90°．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PM⊥AC于M点，在射线MA上取一点N，使得2MN＝AC，连接PN，求△PMN面积的最大值及此时点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
1．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝3C．直线 x＝﹣1D．直线x＝﹣3
【分析】直接由二次函数的顶点式可求得答案．
【解答】解：
∵y＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
2．（4分）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序、主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（ ）
A．小星抽到数字1的可能性最小
B．小星抽到数字2的可能性最大
C．小星抽到数字3的可能性最大
D．小星抽到每个数的可能性相同
【分析】根据概率公式求出小星抽到各个数字的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：∵3张同样的纸条上分别写有1，2，3，
∴小星抽到数字1的概率是，抽到数字2的概率是，抽到数字3的概率是，
∴小星抽到每个数的可能性相同；
故选：D．
【点评】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
3．（4分）已知函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，3），c的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】代入（0，3）点，根据待定系数法即可求得．
【解答】解：∵函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，3），
∴3＝c．
∴c的值为3，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
4．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转36°后得到△COD，若∠AOB＝24°，则∠AOD的度数是（ ）
A．24°B．12°C．36°D．60°
【分析】根据旋转的性质即可解决问题．
【解答】解：由旋转可知，
∠BOD＝36°，
又∵∠AOB＝24°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝36°﹣24°＝12°．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键．
5．（4分）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB＝54°，则∠C＝（ ）
A．27°B．36°C．54°D．72°
【分析】根据圆周角定理即可直接求解．
【解答】解：∵∠AOB＝54°，∠C＝∠AOB，
∴∠C＝×54°＝27°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（4分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【解答】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
【点评】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
7．（4分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+x）＝1456
B．400（1+x）+400（1+x）2＝1456
C．400（1+x）2＝1456
D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于1456，列方程即可．
【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键．
8．（4分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝2∠D，且AB＝3，则AC的长度是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】如图，连接OB．由圆周角定理可得∠BOC＝2∠D，等量代换可得∠A＝∠BOC，进而可得OB＝AB＝3，根据切线的定义得出AB⊥OB，利用勾股定理求出，则．
【解答】解：如图，连接OB．
由圆周角定理可得∠BOC＝2∠D，
∵∠A＝2∠D，
∴∠A＝∠BOC，
∴OB＝AB，
∵AB＝3，
∴OB＝OC＝3．
∵AB是⊙O的切线，
∴AB⊥OB，
∴．
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的定义、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，利用圆周角定理得出∠BOC＝2∠D是解答本题的关键．
9．（4分）如果关于x的方程（2﹣a）x＝2有整数解，且使二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴没有交点，那么符合条件的所有整数a的最大值是（ ）
A．7B．8C．4D．5
【分析】先根据关于x的方程（2﹣a）x＝2有整数解求出a的值，再根据二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴没有交点求出a的取值范围，再求出符a的最大值．
【解答】解：由（2﹣a）x＝2得：x＝，
∵关于x的方程（2﹣a）x＝2有整数解，
∴2﹣a＝﹣2或2﹣a＝﹣1或2﹣a＝1或2﹣a＝2，
解得a＝4或a＝3或a＝1或a＝0，
∵二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴没有交点，
∴Δ＝4﹣4a＜0，
解得a＞1，
∴符合条件的所有整数a的最大值是4，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数与x轴的交点与一元二次方程解的关系．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应
11．（4分）单项选择题是数学试题的重要组成部分，当你遇到不懂做的情况时，如果你随便选一个答案（假设每个题目有4个备选答案），那么你答对的可能性为 ．
【分析】这个实验有4个出现机会相同的结果，而正确的只有1个，根据概率公式即可求解．
【解答】解：根据题意，每个题目有4个备选答案，而只有一个是正确的，
故答对的可能性为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是可能性大小的判断，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
12．（4分）平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作⊙O，则点A（1，2）与⊙O的位置关系为点A在 圆外 ．
【分析】直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案．
【解答】解：∵点A（1，2）
∴AO＝，
∵以原点O为圆心，2为半径作⊙O，
∴＞2，
∴点A（1，2）与⊙O的位置关系为：圆外．
故答案为：圆外．
【点评】此题主要是考查了点与圆的位置关系，能够得出点与圆心的距离是解题的关键．
13．（4分）设方程3x2+7x﹣9＝0的两根为x1，x2，则x1x2＝ ﹣3 ．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1x2＝＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．（4分）在永辉超市的一次抽奖活动中，在一个不透明的纸质箱中抽球，规定任意摸出个球为红球获得一等奖．不透明的纸质箱中装有黑球25个，白球15个，红球6个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出1个球，要使中一等奖的概率为，需要往这个口袋再放入同种红球 54 个．
【分析】设需要往这个口袋再放入同种红球x个，根据概率公式求出x的值即可．
【解答】解：设需要往这个口袋再放入同种红球x个，
∵从中任意摸出1个球，要使中一等奖的概率为，
∴＝，
解得x＝54．
故答案为：54．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝是解题的关键．
15．（4分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A按逆时针旋转90°后得到△AO1B1，则点B1的坐标是 （﹣2，﹣6） ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，结合旋转的性质，可得出AO1，O1B1的长，再结合点A的坐标，即可求出点B1的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣×0+8＝8，
∴点B的坐标为（0，8），
∴OB＝8；
当y＝0时，﹣x+8＝0，
解得：x＝6，
∴点A的坐标为（6，0），
∴OA＝6．
由旋转可知：AO1＝OA＝6，O1B1＝OB＝8，
∴点B1的坐标是（6﹣8，0﹣6），即（﹣2，﹣6）．
故答案为：（﹣2，﹣6）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化﹣旋转，利用一次函数图象上点的坐标特征及旋转的性质，找出点A的坐标及AO1，O1B1的长是解题的关键．
16．（4分）如图，在矩形中ABCD，E为BC的中点，连接AE，DE，∠AEB＝∠DEC＝45°，以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，图中阴影部分的面积为4﹣π，则BC＝ 4 ．
【分析】由矩形的性质推出AB＝CD，∠ABC＝∠DCE＝90°，由SAS推出△ABE≌△DEC（SAS），得到△ABE和△DEC的面积相等，而扇形EBM和扇形ECN的面积相等，因此两个阴影的面积相等，于是得到（△ABE的面积﹣扇形EBM的面积）×2＝4﹣π，由△ABE是等腰直角三角形，得到AB＝BE，因此（BE2﹣）×2＝4﹣π，求出BE＝2，即可得到BC＝2BE＝4．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCE＝90°，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
∴△ABE≌△DEC（SAS），
∴△ABE和△DEC的面积相等，
∵∠AEB＝∠DEC＝45°，BE＝CE，
∴扇形EBM和扇形ECN的面积相等，
∴两个阴影的面积相等，
∵图中阴影部分的面积为4﹣π，
∴（△ABE的面积﹣扇形EBM的面积）×2＝4﹣π，
∵∠ABE＝90°，∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∴（BE2﹣）×2＝4﹣π，
∴BE＝2（舍去负值），
∴BC＝2BE＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查矩形的性质，扇形的面积，全等三角形的判定和性质，关键是得到（△ABE的面积﹣扇形EBM的面积）×2＝阴影的面积．
17．（4分）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：
①b＞0；②b＝﹣3；③c＝﹣3b；④当0＜x＜1时，x2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的是 ②④ ．
【分析】根据所给二次函数的图象，用待定系数法求出二次函数的解析式再结合数形结合的数学思想即可解决问题．
【解答】解：将点（1，1）和点（3，3）代入二次函数解析式得，
，
解得，
所以二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+3．
则b＝﹣3，
故①错误，②正确．
c＝3＝﹣b，
故③错误．
当0＜x＜1时，
二次函数的图象在一次函数图象的上方，
所以x2+bx+c＞x，
即x2+（b﹣1）x+c＞0．
故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，用待定系数法求出二次函数的解析式及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
18．（4分）若关于x的不等式组至少有4个整数解，关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为 14 ．
【分析】分别求出符合不等式组和分式方程解的条件的整数a，再计算出所有整数a的和．
【解答】解：，
解该不等式组得：﹣1＜x≤a，
∵关于x的不等式组至少有4个整数解，
∴a≥3，
，
解该分式方程得：y＝6﹣a，
∵6﹣a≥0且6﹣a≠2，
解得a≤6且a≠4，
∴a取3≤a≤6且a≠4的整数，
即a取3，5，6．
3+5+6＝14．
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解解一元一次不等式组和解分式方程的方法，理解一元一次不等式组的解集和分式方程的增根是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须
19．（8分）（1）x（x+2）﹣（x+2）＝0；
（2）（2x﹣1）2＝x（2x+6）﹣7．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可．
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x（x+2）﹣（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣2．x2＝1．
（2）（2x﹣1）2＝x（2x+6）﹣7，
整理得x2﹣5x+4＝0，
（x﹣4）（x﹣1）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝4．x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型．
20．（10分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若x1、x2是该方程的两个实数根，且x12+x22＝12，求m的值．
【分析】（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得Δ＞0，由此可解得m的值；
（2）根与系数的关系及已知条件可得关于m的一元二次方程，解得m的值并根据（1）中的所得的m的取值范围作出取舍即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0；
（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，，
∵，
∴，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程的相关知识是关键．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径．
（1）用尺规作图作出∠ACB的平分线，交⊙O于点D，连接DA、DB（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若，AC＝1，求CB的长度．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）根据圆周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝90°，由角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD，进而可得AD＝BD＝，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再在Rt△ABC中利用勾股定理可得CB的长．
【解答】解：（1）如图，CD即为所求．
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°．
∵CD是∠ACB 的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，
∴．
【点评】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）某商品的售价为每件60元，每星期可卖出300件．经过市场调查发现，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
【分析】设每件涨价x元，则每件的利润是（60﹣40+x）元，所售件数是（300﹣10x）件，总利润为y；设每件降价a元，则每件的利润是（60﹣40﹣a）元，所售件数是（300+20a）件，总利润为w；根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
【解答】解：设涨价x元，利润为y元，
则y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）
＝﹣10x2+100x+6000
＝﹣10（x﹣5）2+6250，
因此当x＝5时，y有最大值6250．
60+5＝65元，
每件定价为65元时利润最大．
设每件降价a元，总利润为w，
则w＝（60﹣40﹣a）（300+18a），
＝﹣18a2+60a+6000，
＝﹣18（a﹣）2+6050，
因此当a＝时，w有最大值6050．
每件定价为57元时利润最大．
综上所知每件定价为65元时利润最大．
【点评】此题考查二次函数的实际运用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．
23．（10分）某中学缤纷社团课程受到了各年级学生的喜爱和支持，为了解学生对各社团的喜爱程度，学校从初二年级学生中选取部分学生进行了关于意向社团及喜爱程度的调查，参与调查的学生需从A，B，C，D，E五个社团中选择一个最喜爱的社团并根据喜爱程度对其打分（打分0﹣10分，10分为非常喜爱，0分为完全不喜爱，打分均为整数）．根据收集的结果学校做出如下统计：
其中选择A社团的同学打分数据如下（单位：分）8，7，7，10，9，9，6，8，10，6
根据题目信息回答以下问题：
（1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中m ＝15 ，A组所对应的圆心角是 36° °；
（2）选择A社团的同学打分数据的平均数为 8分 ，中位数为 8分 ；
（3）若初二一班的两位同学要从A，B，C，D，E五个社团中选择一个报名且不可选同一个社团，请你用树状图或列表的方法求两位同学恰好选择了B社团和C社团的概率．
【分析】（1）根据B社团人数及其所占百分比求出总人数，继而求出C对应人数，用D组人数除以总人数可得m的值，用360°乘以E组人数所占比例即可；
（2）根据平均数与中位数的定义求解即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】（1）解：25÷25%＝100人，
∴参与调查的学生人数为100人，
∴C社团的人数为100﹣10﹣25﹣15﹣20＝30人，
m%＝×100%＝15%，
∴m＝15，，
补全统计图如下：
故答案为：＝15；36°；
（2）把选择A社团的同学打分数据从低到高排列处在第5名和第6名的分数为8分，
∴选择A社团的同学打分数据的中位数为 （分），
∵平均分为：（分）．
故答案为：8分；8分；
3）列表如下：
由表格可知一共有20种等可能性的结果数，其中两位同学恰好选择了B社团和C社团的结果数有2种，
∴两位同学恰好选择了B社团和C社团的概率．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图，解答本题的关键是掌握概率的计算公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝10，E是线段AB上从点A向点B运动的一个动点（不含A、B），F是线段BC上从点B向点C运动的一个动点（不含B、C），点E、F同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接EF，DF．已知点E在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点F在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点E的运动时间为x秒，△BEF的面积为y1，△DFC的面积为y2．
（1）请求出y1和y2关于x的函数解析式，并说明x的取值范围；
（2）在图2中画出y1关于x的函数图象，并写出一条这一函数的性质： 当x＝3时，函数有最大值9（答案不唯一） ；
（3）若，请结合图象直接写出满足条件的x所有整数的值．
【分析】（1）作DG⊥BC于G，可得四边形ABGD为矩形，DG＝AB＝6，由题意可知：AE＝x，则BE＝6﹣x，BF＝2x，CF＝10﹣2x，再根据y1＝BE•BF，y2＝CF•DG，可得函数解析式，由其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，可得x的取值范围；
（2）利用描点法画出图形即可，由，根据最值或增减性可得函数性质；
（3）由，可得y1＞﹣2x+10，结合图象只需在图象中找到在y＝﹣2x+10上方部分对应的x的值即可．
【解答】解：（1）作DG⊥BC于G，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DG⊥BC，则AB∥DG，
∴四边形ABGD为矩形，
∴DG＝AB＝6，
由题意可知：AE＝x，则BE＝6﹣x，BF＝2x，CF＝10﹣2x，
∴△BEF的面积：y1＝BE•BF＝•（6﹣x）•2x＝﹣x2+6x，
△DFC的面积：y2＝CF•DG＝（10﹣2x）×6＝﹣6x+30，
∵当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，
则点E运动时间最多为：6÷1＝6秒，点F运动时间最多为：10÷2＝5（秒），
∴，y2＝﹣6x+30，0＜x＜5；
（2）列表：
描点（1，5），（2，8），（3，9），（4，8），（5，5）（用空心圆圈），
画出y1关于x的函数图象如图所示：
，
由此可知：①当x＝3时，函数有最大值9；
②当0＜x＜3时，y1随x增大而增大，当3＜x＜5时，y1随x增大而减小；
故答案为：当x＝3时，函数有最大值9（答案不唯一）；
（3）∵y1＞，
∴y1﹣（﹣6x+30）＞0，即y1﹣（﹣2x+10）＞0，即：y1＞﹣2x+10，
只需在图象中找到y1＝﹣x2+6x在y＝﹣2x+10上方部分对应的x的值即可，
由图可知两函数的交点横坐标约为1.5，其右侧部分y1＝﹣x2+6x在y＝﹣2x+10上方，
∴当y1＞时，x的取值范围为1.5＜x＜5，
∴满足条件的x所有整数的值为2，3，4．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查二次函数函数的图象与性质，根据函数图象解不等式等知识点，解题的关键是掌握相关知识．
25．（10分）已知点D是等边△ABC的边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接BE．
（1）如图1，连接CE，若CE⊥BC，且AB＝6，BD＝2，求线段CE的长；
（2）如图2，若点F为线段BE的中点，连接DF、CF，求证：DF⊥CF．
【分析】（1）作DG⊥AC于点G，由勾股定理求得GD＝＝2，再由直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△DCE≌Rt△AGD，则CE＝GD＝2；
（2）延长CF到点H，使HF＝CF，连接DH、EH，先证明△EFH≌△BFC，得∠FEH＝∠FBC，EH＝BC＝AC，再推导出∠HED＝∠CAD，即可证明△EHD≌△ACD，得CD＝HD，∠EDH＝∠ADC，根据等腰三角形的“三线合一”证明DF⊥CH，∠HDF＝∠CDF，再根据等腰三角形的性质可得结论．
【解答】（1）解：如图1，作DG⊥AC于点G，则∠CGD＝∠AGD＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，BD＝2，
∴AC＝BC＝AB＝6，∠DCG＝60°，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣2＝4，∠CDG＝30°，
∴CG＝CD＝×4＝2，
∴GA＝AC﹣CG＝6﹣2＝4，GD＝＝＝2，
∴CD＝GA，
由旋转得DE＝AD，
∵CE⊥BC，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE和Rt△AGD中，
，
∴Rt△DCE≌Rt△AGD（HL），
∴CE＝GD＝2，
∴线段CE的长是2.
（2）证明：如图2，延长CF到点H，使HF＝CF，连接DH、EH，
∵点F为线段BE的中点，
∴EF＝BF，
在△EFH和△BFC中，
，
∴△EFH≌△BFC（SAS），
∴∠FEH＝∠FBC，EH＝BC＝AC，
由旋转得∠ADE＝120°，
∴∠HED＝∠BED+∠FEH＝∠BED+∠FBC＝∠CDE＝120°﹣∠ADC，
∵∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣∠ADC，
∴∠HED＝∠CAD，
在△EHD和△ACD中，
，
∴△EHD≌△ACD（SAS），
∴CD＝HD，∠EDH＝∠ADC，
∴DF⊥CH，∠HDF＝∠CDF，
∴∠CDH＝∠EDH+∠CDE＝∠ADC+∠CDE＝∠ADE＝120°，
∵DC＝DH，CF＝FH，
∴DF⊥CH，即DF⊥CF．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形形内角和定理及其推论、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形斜边中线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（﹣3，0），∠ACB＝90°．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PM⊥AC于M点，在射线MA上取一点N，使得2MN＝AC，连接PN，求△PMN面积的最大值及此时点P的坐标．
【分析】（1）先利用锐角三角函数求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）过P作PH∥y轴交AC于H，利用锐角三角函数求得PM＝PH•sin∠PHM＝PH，再求得MN＝，则S△PMN＝•MN•PM＝PM＝PH，当PH最大时，S△PMN的面积最大，设P（p，﹣p2﹣p+），则H（p，p+），得到PH＝﹣（p+）2+，利用二次函数的性质求得的最大值即可求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝，则C（0，），OC＝，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
则tan∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°，又∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∴OB＝＝1，则B（1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
将C（0，）代入，得﹣3a＝，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；
（2）如图1，过P作PH∥y轴交AC于H，则∠PHM＝∠ACO＝90°﹣∠OAC＝60°，
∵PM⊥AC，
∴PM＝PH•sin∠PHM＝PH，
∵AC＝2OC＝2，2MN＝AC，
∴MN＝，
∴S△PMN＝•MN•PM＝PM＝PH，当PH最大时，S△PMN最大；
设直线AC解析式为y＝kx+b′，
将A（﹣3，0）、C（0，）代入，得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+，
由题意，设P（p，﹣p2﹣p+），则H（p，p+），
∴PH＝﹣p2﹣p+﹣（p+）
＝﹣p2﹣p
＝﹣（p+）2+，
∵﹣＜0，﹣3＜p＜0，
∴当p＝﹣时，PH有最大值，最大值为，
即S△PMN最大，最大值为×＝，此时，点P的坐标为（﹣，）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、锐角三角函数、坐标与图形、平行四边形的性质、二次函数图象的平移、中点坐标公式的运用、解一元二次方程等知识，综合性强，计算量较大，属于中考压轴题，熟练掌握相关的知识与运用是解答的关键．
A
B
C
D
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