吉林省吉林市蛟河市2023-2024学年九年级上学期期末水平测试数学试卷

这是一份吉林省吉林市蛟河市2023-2024学年九年级上学期期末水平测试数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.点P(2a+1,4)与P′(1,3b−1)关于原点对称，则2a+b=( )
A. 3B. −2C. −3D. 2
2.若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥−1且k≠0B. k≥−1C. k>−1D. k>−1且k≠0
3.从−2，−1，+1，0，2，五个数中任选一个数作为m的值，能使得x2−2mx+4是关于x的完全平方式的概率是( )
A. 45B. 35C. 25D. 15
4.如图，反比例函数y=kx(x0；②a−b+c>0；③4a+2b+c>0；④b2−4ac>0.其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.一元二次方程x2−1=0的根______ .
8.小球在如图所示的地板上自由地滚动并随机地停留在某块方砖上，则它最终停留在黑砖上的概率是______.
9.一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是______ 号窗口.
10.如图，矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标为(2,1)，点B与点D都在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，则矩形ABCD的面积为______ .
11.如图是小孔成像原理的示意图，OA=25cm，OC=10cm，AB//CD.若物体AB的高度为15cm，则像CD的高度是______ cm.
12.如图，▱ABCD绕点A逆时针旋转32∘，得到▱AB′C′D′，若点B的对应点B′恰好落在BC边上，则∠C=______ ∘.
13.如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为______ .
14.抛物线y=12x2+12x的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上．点B1，B2，B3，B4…，B2022在y轴的正半轴上，△OA1B1，、△B1A2B2、…、△B2021A2022B2022都是等腰直角三角形，则B2021A2022=______.
三、解答题：本题共12小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
用求根公式解方程x2−6x+5=0.
16.(本小题5分)
如图，在△ABC，AC=BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.求证：DE为⊙O的切线.
17.(本小题5分)
有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，放在一个不透明的口袋中，从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回，再从口袋中随机摸出一个小球，记下标号.用画树状图(或列表)的方法，求两次摸出的小球号码恰好都大于1的概率.
18.(本小题5分)
已知二次函数y=a(x−h)2，当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点(1,−3)，求此二次函数的关系式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大．
19.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E.
(1)请画出△ADE的外接圆⊙O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求证：BC是⊙O的切线；
20.(本小题7分)
某校“综合与实践”活动小组想要测量某指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB=60cm，BC=40cm，∠ABC=135∘，∠BCD=75∘，四边形DEFG为矩形，且DE=12cm.请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离.(结果精确到0.1cm.参考数据：sin75∘≈0.97，cs75∘≈0.26，tan75∘≈3.73， 3≈1.73).
21.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，直角△ABC的三个顶点分别是A(−3,1)B(0,3)C(0,1).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180∘，画出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)分别连接AB1，BA1后，求四边形AB1A1B的面积．
22.(本小题7分)
一种笔记本电脑，原来的售价是15000元，经过连续两年的降价，今年每台售价为12150元，每年降价的百分率相同．
(1)求每年降价的百分率是多少？
(2)若小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs.
(1)当PQ//BC时，求x的值．
(2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
24.(本小题8分)
如图，A，B是双曲线y=12x(x>0)上任意两点，点P在△OAB内，且PB//y轴，PA//x轴，若△BOP的面积为4.
(1)求△AOP的面积；
(2)求△ABP的面积．
25.(本小题8分)
【问题提出】(1)如图①，在四边形ABCD中，∠A=60∘，∠ABC=∠ADC=90∘，点E为AB延长线上一点，连接EC并延长，交AD的延长线于点F，则∠BCE+∠DCF的度数为______ ∘.
【问题探究】(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，点D，E在直线BC上，连接AD，AE，若∠DAE=60∘，AB=6，求△ADE面积的最小值.
【问题解决】(3)某校欲将校园内一片三角形空地ABC(如图③所示)进行扩建作为跨学科主题学习活动中心，在AB的延长线上取一点D，连接DC并延长到点E，连接AE，已知AE//BC，AB=BC=40米，∠ABC=90∘.为节约修建成本，需使修建后的△ADE的面积尽可能小，则△ADE的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由.
26.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+c(a≠0)过点P(3,0)，Q(1,4).
(1)求抛物线的解析式；
(2)点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB⊥x轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC.
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵点P(2a+1,4)与P′(1,3b−1)关于原点对称，
∴2a+1=−1，3b−1=−4，
解得：2a=−2，b=−1，
∴2a+b=−2−1=−3，
故选：C.
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意得k≠0且△=22−4k×(−1)≥0，
解得k≥−1且k≠0.
故选：A.
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=22−4k×(−1)≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△0时，抛物线开口向上；当a0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab0)的图象上，
∴对于y=6x，当y=1时，x=6，当x=2时，y=3，
∴点B的坐标为(1,6)，点D的坐标为(2,3)，
∴AB=6−2=4，AD=3−1=2，
∴S矩形ABCD=AB⋅AD=4×2=8.
故答案为：8.
先根据已知条件求出点B(1,6)，点D(2,3)，进而得AB=4，AD=2，由此可求出矩形ABCD的面积．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，，矩形的性质，理解反比例函数图象上点满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
11.【答案】6
【解析】解：∵AB//CD，
∴△AOB∽△COD，
∴ABCD=OAOC=2510，
又∵AB=15cm，
∴CD=1025×15=6(cm).
故答案为：6.
正确理解小孔成像的原理，首先由AB//CD可证得△AOB∽△COD，再根据相似三角形的性质，即可求出CD的长．
本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】106
【解析】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转32∘，得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点)，
∴AB=AB′，∠BAB′=32∘，
∴∠B=∠AB′B=(180∘−32∘)÷2=74∘，
∴∠C=180∘−74∘=106∘.
故答案为：106.
根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=32∘，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数．
此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B=∠AB′B=74∘是解题关键．
13.【答案】3π−9 32
【解析】解：如图，连接CO，交AB于点D，
由折叠的性质得：OA=OB=AC=BC=3，
∴四边形AOBC是菱形，
∴∠AOB=2∠AOC，OD=12OC=32，AB=2AD，
∴AD= OA2−OD2=3 32，
∴AB=3 3，
∵OC=OA=3，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60∘，
∴∠AOB=2∠AOC=120∘，
∴阴影部分的面积为S扇形AOB−S菱形AOBC=120π×32360−12×3×3 3=3π−9 32.
故答案为：3π−9 32.
连接CO，交AB于点D，根据折叠的性质可得四边形AOBC是菱形，从而得到∠AOB=2∠AOC，OD=12OC=32，AB=2AD，再求出AB的长，再证明△AOC是等边三角形，可得∠AOB=2∠AOC=120∘，再由阴影部分的面积为S扇形AOB−S菱形AOBC，即可求解．
本题主要考查了求扇形的面积，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
14.【答案】2022 2
【解析】解：设A1B1=x，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴OB1=x，
则A1的坐标为(x,x)，代入二次函数y=12x2+12x，
得x=12x2+12x，
解得x=1或x=0(舍)，
设A2B2=m，
∵△B1A2B2是等腰直角三角形，
∴B1B2=m，
∴A2的坐标为(m,1+m)，
代入二次函数y=12x2+12x，得12m2+12m=1+m，
解得m=2或m=−1(舍)，
同理可求出A3B3=3，
A4B4=4，
∴B2022A2022=2022，根据勾股定理，得B2021A2022=2022 2，
故答案为：2022 2.
先设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A1的坐标，代入二次函数的解析式，求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A2的坐标，代入二次函数的解析式，求出m，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边．
本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是解决本题的关键．
15.【答案】解：a=1，b=−6，c=5.
b2−4ac=36−20=16>0.
∴x=−(−6)± 162=6±42，
即x1=5，x2=1.
【解析】首先确定二次项系数，一次项系数，常数项的值，计算判别式的值确定方程是否有解，若有解即可代入求根公式计算．
本题主要考查了公式法解一元二次方程，主要公式运用的条件是b2−4ac>0.
16.【答案】解：连接OD，如图所示，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠ODB=∠A，
∴OD//AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
【解析】连接OD，证得OD//AC，可知DE⊥OD，即可证得DE为⊙O的切线．
本题主要考查的是切线的判定，准确作出辅助线，证得平行是解题的关键．
17.【答案】解：画树状图得：
由图可得共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球号码恰好都大于1的有4种结果，
∴两次摸出的小球号码恰好都大于1的概率为49.
【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果及两次摸出的小球号码恰好都大于1的结果，根据概率公式求解可得．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：根据题意得y=a(x−2)2，
把(1,−3)代入得a=−3，
所以二次函数解析式为y=−3(x−2)2，
因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，
所以当x