高教版（2021）基础模块下册7.3 平面向量的内积精品备课教学ppt课件

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如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，
那么，这个人做了多少功？
做功等于力与在力的方向上移动
的距离的乘积．力F是水平方向的力
与垂直方向的力的和，垂直方向上
没有产生位移，没有做功，水平方向
这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由
两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与
向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．
a与向量b的夹角，记作．
两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b
的内积，记作a·b， 即
a·b＝|a||b|cs (7.10)
a·0＝0, 0·a＝0.
由内积的定义可以得到下面几个重要结果：
可以验证，向量的内积满足下面的运算律：
(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
例1　 已知|a|＝3,|b|＝2, ＝60°，求a·b．
解 a·b＝|a||b| cs ＝3×2×cs 60°＝3．
由于 0≤≤180°，
1. 已知|a|＝7,|b|＝4，a和b的夹角为60°，求a·b．
2. 已知a·a＝9,求|a|.
3. 已知|a|＝2,|b|＝3, ＝30°，求(2a＋b)·b ．
设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故i·j ＝0,
又| i |＝|j|＝1,所以
a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j)
＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j
＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2
＝ x1 x2＋ y1 y2.
这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，
a·b＝ x1 x2＋ y1 y2　　 　 (7.11)
利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.
由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非零向量时，
解 　(1) a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；
(2) a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；
(3) a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．
例4　已知a＝(−1,2)，b＝(−3,1)．求a·b, |a|,|b|, ．
解 a·b＝(−1)(−3)＋2×1＝5.
例5　判断下列各组向量是否互相垂直：
(1) a＝(−2, 3),　　b＝(6, 4)；
(2) a＝(0, −1),　　b＝(1, −2)．
解 (1) 因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a⊥ b．
(2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×(−2)＝2，
1.已知a＝(5,−4)，b＝(2,3)，求a·b．
2.已知a＝(2, −3)，b＝(3, −4)，c＝( −1,3),求a·(b＋c)．