北京市西城区2023-2024学年高三上学期期末数学试题（Word版附答案）

这是一份北京市西城区2023-2024学年高三上学期期末数学试题（Word版附答案），共10页。

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.设，，且，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知双曲线的一个焦点是，渐近线为，则的方程是（ ）
A.B.C.D.
5.已知点，点满足.若点，其中，则的最小值为（ ）
A.5B.4C.3D.2
6.在中，，，，则的面积为（ ）
A.B.C.D.
7.已知函数，则（ ）
A.在上是减函数，且曲线存在对称轴
B.在上是减函数，且曲线存在对称中心
C.在上是增函数，且曲线存在对称轴
D.在上是增函数，且曲线存在对称中心
8.设，是非零向量，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
9.设是首项为正数，公比为的无穷等比数列，其前项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
10.如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，，，则另外三根柱子的高度之和为（ ）
A.B.C.D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.在的展开式中，的系数为______.（用数字作答）
12.设，函数.若曲线关于直线对称，则的一个取值为______.
13.已知函数，则的定义域是______；的最小值是______.
14.已知抛物线：.
①则的准线方程为______.
②设的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称若平分，则点的横坐标为______.
15.设，函数给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③当时，直线与曲线恰有3个交点；
④存在正数及点（）和（），使.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题13分）
已知函数的一个零点为.
（Ⅰ）求的值及的最小正周期；
（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值和的最小值.
17.（本小题13分）
生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.
（Ⅰ）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；
（Ⅱ）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）
18.（本小题14分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，为中点，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅲ）求四面体的体积.
19.（本小题15分）
已知椭圆：（）的离心率为，且经过点.
（Ⅰ）求的方程：
（Ⅱ）过点的直线交于点，（点，与点不重合）.设的中点为，连接并延长交于点.若恰为的中点，求直线的方程.
20.（本小题15分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）当且时，判断与的大小，并说明理由.
21.（本小题15分）
给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：，，…，满足如下三个性质：
①，且（）；
②（）；
③与不同时在数对序列中.
（Ⅰ）当，时，写出所有满足的数对序列；
（Ⅱ）当时，证明：；
（Ⅲ）当为奇数时，记的最大值为，求.
北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷
高三数学答案及评分参考
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. C 2. A 3. D 4. D 5. C 6. B 7. D 8. A 9. B 10. A
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 12 13. 3（答案不唯一） 13. 14. 2 15.①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
16.（共13分）
解：（Ⅰ）由题设，解得.
所以
.
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）因为，所以.
所以，即.
当，即时，取得最大值1，
当，即时，取得最小值.
由题设，且.
所以的最大值是；的最小值是1.
17.（共13分）
解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件，
则.
（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为，
所以的所有可能取值为0，1，2.
，，.
所以的分布列为
故的数学期望.
（Ⅲ）.
18.（共14分）
解：（Ⅰ）因为，为中点，所以.
又因为平面平面，
平面平面，且平面.
所以平面.
所以.
因为平面，
所以.
所以平面.
（Ⅱ）因为平面，，所以平面.
又平面，所以，，两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，则即
令，则.于是.
设直线与平面所成角为，则
.
所以直线与平面所成角的大小为30°.
（Ⅲ）因为，
所以点到平面的距离为.
因为，
所以四面体的体积为.
19.（共15分）
解：（Ⅰ）由题设，解得，.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）若直线与轴重合，则点与原点重合，符合题意，
此时直线的方程为.
若直线与轴不重合，设其方程为.
由得.
设，，则.
所以，.
因为是的中点，
所以，.
因为，
所以.
整理得.解得.
但此时直线经过点，不符合题意，舍去.
综上，直线的方程为.
20.（共15分）
解：（Ⅰ）当时，，所以.
所以，.
所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）的定义域为，且.
令，得.
与的情况如下：
所以的单调递增区间为；单调递减区间为和.
（Ⅲ）当且时，，证明如下：
令，则.
设，则.
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
从而，即.
所以的单调递增区间为和.
当时，，即；
当时，，即.
综上，当且时，.
21.（共15分）
解：（Ⅰ）：，，，或：，，.
（Ⅱ）因为和不同时出现在中，
故，所以1，2，3，4，5，6每个数至多出现5次.
又因为（），
所以只有，对应的数可以出现5次，
故.
（Ⅲ）当为奇数时，先证明.
因为和不同时出现在中，所以.
当时，构造：，，恰有项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.
对奇数，如果可以构造一个恰有项的序列，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：首先，对于如下个数对集合：
，，
，，
……，
，，
每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，所以.
其次，对每个不大于的偶数，将如下4个数对并为一组：
，，，，
共得到组，将这组数对以及，，
按如下方式补充到的后面，即：，，，，，，…，，，，，，.
此时恰有项，所以.
综上，当为奇数时，
跑步软件一
跑步软件二
跑步软件三
跑步软件四
中学生
80
60
40
20
大学生
30
20
20
10
0
1
2
－
－
0
＋