湖北省十堰市2023-2024学年高三上学期元月调研考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖北省十堰市2023-2024学年高三上学期元月调研考试数学试卷（Word版附答案），共15页。试卷主要包含了选择题的作答，考生必须保持答题卡的整洁，已知双曲线，已知角的终边过点，且角满足，则，设向量，，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试题卷共4页，共22道题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．
3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知圆锥的底面面积为，体积为，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3B．4C．5D．
4．函数在上的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线：（，）的一个焦点到一条渐近线的距离为，则的离心率为（ ）
A．3B．C．4D．
6．已知角的终边过点，且角满足，则（ ）
A．B．C．D．3
7．若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第二次取出的卡片上的数字为1”，表示“事件两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A．与相互独立B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知甲组样本数据为1，2，2，7，8，10，乙组样本数据为3，3，5，6，9，10，则（ ）
A．甲组样本数据的平均数大于乙组样本数据的平均数
B．甲组样本数据的极差大于乙组样本数据的极差
C．甲组样本数据的方差大于乙组样本数据的方差
D．甲组样本数据的第75百分位数大于乙组数据的第75百分位数
10．设向量，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．与夹角的余弦值为D．在方向上的投影向量的坐标为
11．已知点，，动点在圆：上，则（ ）
A．直线截圆所得的弦长为
B．的面积的最大值为15
C．满足到直线的距离为的点位置共有3个
D．的取值范围为
12．正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，为棱上的动点，则（ ）
A．平面平面
B．点到平面的距离为
C．与所成角的余弦值的取值范围为
D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．若为奇函数，当时，，则______．
14．若抛物线的准线方程为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，则______．
15．函数的最小值为______．
16．在首项为1的数列中，，若存在，使得不等式成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，，数列的前项和为．
（1）求；
（2）设数列的前项和为，证明：．
18．（12分）
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按，，，，，分成6组，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于60分，则被认定为成绩合格，低于60分说明成绩不合格．从参加知识竞赛的市民中随机抽取5人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望．
19．（12分）
如图，在中，，在线段的延长线上，为上的点，且，，．
（1）求的长；
（2）若，求．
20．（12分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，垂足为，为的中点，平面．
（1）证明：；
（2）若，，与平面所成的角为60°，求平面与平面夹角的余弦值．
21．（12分）
已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的右顶点，，是椭圆上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且．过作，垂足为，试问是否存在定点，使得线段的长度为定值?若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由．
22．（12分）
已知函数．
（1）求的单调性；
（2）若有两个不相同的零点，，设的导函数为．证明：
十堰市2024年高三年级元月调研考试
数学参考答案
1．B 由，解得，所以，由可知，则．
2．A 因为，所以复数在复平面内的点位于第一象限．
3．C 由题意知解得则该圆锥的母线长为．
4．D 令，，则，，
故函数的单调递减区间为，，
令，得函数在上的单调递减区间为．
5．A 易知的一个焦点到一条渐近线的距离为，则，
所以的离心率．
6．D 因为角的终边过点，所以，．
由，解得或．又因为是第二象限角，
所以是第一或第三象限角，所以．
7．C 设切点为，因为，所以．又因为切点在直线上，所以，解得，所以．令，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，故的取值范围为．
8．B 由题意知，，
，
，
因为，所以A错误，
因为，所以B正确，
因为，所以C错误，
因为，所以D错误．
9．BC 对于A，甲组样本数据的平均数为，
乙组样本数据的平坋数为，A错误．
对于B，甲组样本数据的极差为．乙组样本数据的极差为，B正确．
对于C，甲组样本数据的方差为，
乙组样本数据的方差为，C正确．
对于D，，故甲组样本数据的第75百分位数为8，乙组样本数据的第75百分位数为9，D错误．
10．BCD 因为，所以A错误；因为，所以B正确；
因为，所以C正确；
在方向上的投影向量的坐标为，则D正确．
11．BCD 对于A，因为，，所以直线的方程为，圆心到直线的距离为，又因为圆的半径，所以直线截圆所得的弦长为，A错误．
对于B，易知，要想的面积最大，只需点到直线的距离最大，而点到直线的距离的最大值为，所以的面积的最大值为，B正确．
对于C，当点在直线上方时，点到直线的距离的范围是，即，由对称性可知，此时满足到直线的距离为的点位置有2个．当点在直线下方时，点到直线的距离的范围是，即，此时满足到直线的距离为的点位置只有1个．综上所述，满足到直线的距离为的点位置共有3个，C正确．
对于D，由题意知．
又因为，，，所以，，故，．设点满足，
则，故解得即，．所以．又因为，所以，即的取值范围为，，D正确．
12．ACD 对于A，取的中点，连接，（图略），易知也是的中点，在中，因为，为的中点，所以，在中，因为，为的中点，所以，又因为，平面，所以平面．又因为平面，所以平面平面，A正确．
对于B，设点到平面的距离为，易知，，
因为，所以，解得，B错误．
对于C，取的中点，连接（图略），易知．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则。，设，，，，设与所成的角为，则．令（），则，当即时，；当即时，，可知；当即时，可知．综上，与所成角的余弦值的取值范围为，C正确．
对于D，由A选项中的结论知平面，．又因为球面的半径为，所以以为球心，为半径的球面与侧面的交线（圆的一部分）的半径为．如图，，，所以，解得，由圆与正方形的对称性知，所以球面与侧面的交线长为，D正确．
13． 因为为奇函数，所以．
14．12 因为，所以，故抛物线的方程为，焦点，易知过焦点且斜率为的直线的方程为，联立方程组消去得．设，，则，所以．
15．4 ．令，则（），故．令（），则，所以在上单调递增，，即，所以在上单调递增，则，当时，取得最小值4．
16．由题意可得，所以，显然，由，解得或．
由题意可知，或．
当为偶数时，，，
所以或；
当为奇数时，，，
所以或．
综上，的取值范围为．
17．（1）解：由题意知，即，化简得．
因为，所以．
又，所以．
联立方程组解得
（2）证明：由（1）知，
所以，
又因为，所以，即．
18．解：（1）100份样本数据的平均值为
．
（2）竞赛成绩不低于60分的频率为，
低于60分的频率为，
的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，则，
，，，
，
，，
所以的分布列为
故．
19．解：（1）由题可知．
在中，设，由余弦定理得，
所以，解得，即．
（2）在中，由正弦定理得，
解得．
因为，，
，即为钝角，所以．
所以
．
20．（1）证明：取的中点，连接，，，因为为的中点，所以．
又平面，平面，所以平面．
因为平面，，所以平面平面．
因为平面平面，平面平面，所以．
因为，所以．
由平面，可得．又，所以平面，从而．
因为是的中垂线，所以．
（2）解：因为平面，所以与平面所成的角为，
又，，所以．
作，垂足为，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面的法向量为，
则令，得．
所以，即平面与平面夹角的余弦值为．
21．解：（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以，
则椭圆的方程为．
又椭圆经过点，所以，
解得，，所以椭圆的方程为．
（2）设，，直线的方程为，且，
联立方程组消去得，
由，得，所以，．
又因为，所以，整理得，
即，
化简得．
所以，
化简得，解得，即直线恒过点．
因为，所以点在以线段为直径的圆上，取线段的中点为，
则，所以存在定点，使得线段的长度为定值．
22．（1）解：的定义域为，
且，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递增，
故至多有一个零点，不符合要求，故．
因为有两个不相同的零点，，所以，
解得，，，故，
要证，
即证
，即证．
不妨设，，，
两式相减得，
变形为，
下面证明成立．
只需证，即．
10分令，即要证（）．
构造函数（），
则恒成立，
所以在上单调递增，
则，所以（），
所以，即，所以，0
1
2
3
4