四川省泸州市合江县马街中学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省泸州市合江县马街中学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知双曲线，双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知条件，求解、，即可得出双曲线的离心率.
【详解】双曲线，可得，，
所以双曲线的离心率为：.
故选：D.
【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的离心率，一般计算出、、的值或者通过三者之间的等量关系进行计算，考查计算能力，属于基础题.
2. 已知向量a→=(1，1，k)，b→=(-1，0，-1)，c→=(0，2，1)，且向量与互相垂直，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算和向量垂直数量积为0可解.
【详解】解：根据题意，易得a→-2b→=(1， 1， k)-2(-1， 0， -1)=(3， 1， k+2)，
∵ 与两向量互相垂直，∴ 0+2+k+2=0，解得.
故选：D
3. 如果事件，互斥，且事件，分别是，的对立事件，那么（ ）
A. 是必然事件B. 是必然事件
C. 与一定互斥D. 与一定不互斥
【答案】B
【解析】
【分析】
根据事件，互斥，可得，即可判断正确.
【详解】 由于事件与互斥，
，
则(为全集)，
是必然事件.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是互斥事件、对立事件的定义，而互斥事件、对立事件的定义是判断两个事件是不是互斥事件、对立事件的一种最有效、简便的方法由对立事件的定义可知对立事件首先是互斥事件，并且其中一个一定要发生，因此两个对立事件一定是互斥事件，但两个互斥事件却不一定是对立事件，解题时一定要弄清两个事件之间的关系，是基础题.
4. 直线截圆所得的弦长（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：先求圆心坐标及圆的半径，再求圆心到直线的距离，结合直线与圆的相交弦长公式求弦长.
方法二：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，利用两点距离公式求弦长；
方法三：联立直线与圆方程，利用设而不求法结合弦长公式求弦长.
【详解】（方法1：几何法）圆的半径r＝，圆心坐标为，
圆心到直线的距离，
所以.
（方法2：两点距离公式）由，消去得，
解得或，直线与圆的交点坐标为，，
则．
（方法3：韦达定理）由，消去得，
方程的判别式，设，
由韦达定理得，，，
所以．
故选：C．
5. 记为等差数列的前项和，若，则数列的通项公式（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，根据等差数列通项公式得到结果.
【详解】设等差数列的公差为，则，解得：，
.
故选：B.
6. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第2天所织布的尺数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意，得到该女子每天所织布的长度构成等比数列，根据题意求出首项和公比，即可求出结果.
【详解】由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为，
由题意知，
首项为，前项和为，
由题意可得，解得，
所以第二天织的布为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.
7. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

不妨设，则，
所以，平面的一个法向量为
设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，
所以，
即AM与平面所成角的正弦值为．
故选：B．
8. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点M为线段的中点（O为坐标原点），点P在椭圆上且满足轴，点M到直线的距离为，则椭圆的离心率为（ ）
A. 或B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何关系求出P和M的坐标，写出直线的方程，根据M到的距离即可求出离心率．
【详解】∵轴，∴将代入椭圆可得，
∴不妨设，∴直线的斜率为，
则直线的方程为，即，
则到直线的距离为，
整理得，所以，解得或，
即或，
则椭圆的离心率为或
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.
【详解】解：A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋；
B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝；
C中，＋＋＝＋；
D中，－＋－＝＋＋＋.
故选：BD.
10. 已知直线，圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在直线上B. 点在圆上
C. 直线与圆相离D. 直线与圆相切
【答案】ABD
【解析】
【分析】将点M代入直线和圆的方程，根据是否满足方程即可判断在不在直线和圆上，根据距离等于半径，可推断直线与圆相切.
【详解】解：将点代入直线l的方程，满足，
所以点M在圆C上，A选项正确；
将点代入圆C的方程，满足，
所以点M在圆C上，B选项正确；
圆心到直线的距离
直线与圆相切，C选项错误，D选项正确；
故选：ABD.
11. 已知数列满足，，，，是数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. 数列是等差数列D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】直接已知式中由求得，判断A选项，变形后可判断B选项，由B选项结论求出，并得出，判断C选项，由等比数列前项和公式求和判断D选项．
【详解】时，，而，故选项错误；
，即，又，故B选项正确；
，故选项正确；
，故D选项正确.
故选：BCD．
12. 已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（ ）
A. 若，的斜率分别为，，则
B.
C. 的最小值为
D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】先求出双曲线的渐近线方程：，设点，，利用点线距离公式求出，，再利用直线之间的关系求出直线，的斜率，结合选项选出正确答案即可．由均值不等式及为定值可判断C正确，由余弦定理可得的最小值，判断D正确．
【详解】如图所示，
设，，则．由题设条件知：
双曲线的两渐近线：，．
设直线，的斜率分别为，，则，，所以，
故选项正确；
由点线距离公式知：，，
，故B错误；
，所以C错误；
由四边形中，所以，
，
当且仅当时等号成立，所以D正确，
故选：AD．
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为___________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析:抽取的所有能有共九种,其中的数字之和都是的倍数,所以两次抽得的数字之和为的倍数的概率为,故应填答案.
考点：古典概型公式及运用．
14. 等差数列的前项和为，且，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列的前项和公式及下标和性质计算可得.
【详解】解：根据等差数列的前项和公式及性质可得，
解得，
故答案为：.
15. 若直线：与：平行，则的值为_____．
【答案】-7
【解析】
【分析】由已知条件可得关于m的方程，解方程即可求出m的值，代入直线方程验证即可.
【详解】因为,所以有，解之得,或.当时，直线重合,舍去.
【点睛】本题主要考查两直线平行的判定条件，属于基础题型.
16. 已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】在中，由结合正弦定理可得，在设抛物线上点，列式求解即可得，则可求.
【详解】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点，
所以，，
因为在中，，
所以由正弦定理可得，,

因为为抛物线上一点，所以可设为
由此可得，
平方化简可得：，即，可得,
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求；
（2）求事件“且甲获胜”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
（2）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
【小问1详解】
就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，
则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此.
【小问2详解】
“且甲获胜”，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，
且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得分，后两球均为甲得分．
因此事件“X＝4且甲获胜”的概率为：.
18. 在中，已知点，的内角平分线BD所在的直线方程是，边上的中线所在的直线方程是，求：
（1）点的坐标；
（2）边所在直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出点，根据题意点在直线方程上，且线段的中点在中线所在的直线方程上，列出方程组求解即可；
（2）先求出点关于直线的对称点，则点在直线上，从而求出边所在直线的方程.
【小问1详解】
设点，依题意可知：点在直线方程上，且线段的中点在中线所在的直线方程上，又点，
则有：，解得：，
所点的坐标为：.
【小问2详解】
设点关于直线的对称点为，
则的中点坐标为，，于是，
解得：，则，
由（1）知，所以，
所以边所在直线的方程为：，即.
19. 已知圆的圆心在直线上，且过和两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）假设圆心坐标，利用可构造方程求得圆心和半径，由此可得圆方程；
（2）设，根据，由即可得到所求的轨迹方程.
【小问1详解】
设圆心，则，
即，解得：，
，又圆心，圆的标准方程为；
【小问2详解】
为弦中点，，即，
设，则，，
，
即点的轨迹方程为：.
20. 如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且平面．
（1）求的值；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
（1）设，由平面，可得，从而数量积为零，可求出的值，进而可求得的值；
（2）利用空间向量求二面角的余弦值
【详解】解：（1）如图，以点为原点，，，方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设，
则点，，，．
则，．
因为平面，
所以，
所以，
解得或．
当时，，，；
当时，，，．
（2）因为，由（1）知，．
平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
因为，，
所以令，则．
所以，
由图知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
21. 设为数列的前n项和，已知．
（1）求通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【小问1详解】
因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
【小问2详解】
因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
22. 已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点
【解析】
【分析】（1）根据焦点三角形的面积和点坐标求解出的值，则的值可求，故椭圆的标准方程可知；
（2）当直线的斜率不存在时，直接分析即可；当直线的斜率存在时，设出的方程并与椭圆方程联立得到横坐标的韦达定理形式，将斜率关系转化为坐标运算，从而求解出直线方程中参数的关系，由此可求直线所过的定点.
【小问1详解】
因为点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为，所以且，
所以，，所以，
所以椭圆的标准方程：；
【小问2详解】
设，
当直线的斜率不存在时，则，
由，
解得，此时，故重合，不符合题意，
所以直线的斜率一定存在，设不经过点的直线方程为：，
由得，
且，即，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，即，
化简可得：，
因为，所以，
所以，
所以直线必过定点．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法：
（1）若设直线方程为或，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为之间的线性关系，再用替换或用替换代入直线方程，则定点坐标可求；
（2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标.