江苏省南京市秦淮区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份江苏省南京市秦淮区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列手机应用的图标是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．4，5，6D．5，12，13
3．（2分）点A（2，﹣1）关于x轴对称的点B的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
4．（2分）如图，EC⊥BD，垂足为C，A是EC上一点，且AC＝CD，AB＝DE．若AC＝3.5，BD＝9，则AE的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．5.5
5．（2分）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A．5B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷相应位置上）
7．（2分）＝ ．
8．（2分）在实数，，，3.1415，中，无理数有 个．
9．（2分）比较大小： ﹣1（填“＞”“＜”或“＝”）．
10．（2分）如图，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADC，还需添加条件： ．（填写一个你认为正确的即可）
11．（2分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x+1图象上的两点，若x1＞x2，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
12．（2分）在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为 ．
13．（2分）已知一次函数y＝x﹣m+3（m为常数）的图象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围为 ．
14．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 ．
15．（2分）在课本上的“数学活动折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为2cm，则EA'的长为 cm．
16．（2分）如图，一次函数的图象与x轴交于点A．将该函数图象绕点A逆时针旋转45°，则得到的新图象的函数表达式为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）求下列各式中的x．
（1）3x2﹣12＝0
（2）（x﹣1）3＝﹣64
19．（6分）已知：如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）∠ADE＝∠AED．
20．（7分）一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象经过点（2，﹣2），（0，2）．
（1）求该函数的表达式；
（2）画出该函数的图象；
（3）不等式kx+b＜0的解集为 ．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．
（1）若∠A＝25°，求∠DBC的度数；
（2）若BC＝4，求BD的长．
22．（6分）已知一次函数y＝mx+2m﹣2（m为常数，m≠0）．
（1）若该函数的图象经过原点，求m的值；
（2）当0＜m＜1时，该函数图象经过第 象限．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（5，2），C（2，2）．将点A，C分别向下平移3个单位长度得到点A′，C′．
（1）点A′，C′的坐标分别为 ， ；
（2）求证：点A′，C′，B在一条直线上．
24．（6分）如图，已知线段a，b，c．求作△ABC，使AB＝a，BC＝b，且分别满足下列条件：（1）AB上的中线为c．
（2）AB上的高为c．
（说明：①尺规作图，保留作图痕迹；②可以有必要的作图说明；③每小题作出满足条件的一个三角形即可．）
25．（9分）甲、乙两家快递公司都要将货物从A地派送至B地．甲公司运输车要先在A地的集货中心拣货，然后直接发往B地．乙公司运输车从A地出发后，先到达位于A、B两地之间的C地休息，再以原速驶往B地．两车离B地的距离s（km）与乙公司运输车所用时间t（h）的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达B地．
（1）A地与B地之间的距离为 km．
（2）求线段MN对应的函数表达式．
（3）已知C地距离A地160km，当t为何值时，甲、乙两公司运输车相距80km？
26．（8分）回顾旧知
（1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使PA+PB最小？将下面解决问题的思路补充完整．
解决问题
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，E，F为AB上的两个动点，且AE＝BF，求CE+CF的最小值．
变式研究
（3）如图③，在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝5，BC＝4，点D，E分别为AB，AC上的动点，且AD＝CE，请直接写出CD+BE的最小值．
2023-2024学年江苏省南京市秦淮区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（2分）下列手机应用的图标是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
2．（2分）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．4，5，6D．5，12，13
【解答】解：A、12+22＝5≠32，故不能组成直角三角形，不符合题意；
B、22+32＝13≠42，故不能组成直角三角形，不符合题意；
C、42+52＝41≠62，故不能组成直角三角形，不符合题意；
D、52+122＝169＝132，故能组成直角三角形，符合题意．
故选：D．
3．（2分）点A（2，﹣1）关于x轴对称的点B的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：点A（2，﹣1）关于x轴对称的点B的坐标为：（2，1）．
故选：A．
4．（2分）如图，EC⊥BD，垂足为C，A是EC上一点，且AC＝CD，AB＝DE．若AC＝3.5，BD＝9，则AE的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．5.5
【解答】解：∵EC⊥BD，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴CB＝CE，AC＝CD＝3.5，
∵BD＝CB+CD＝9，
∴CB＝5.5，
∴CE＝5.5，
∴AE＝CE﹣AC＝5.5﹣3.5＝2，
故选：A．
5．（2分）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：把点P（﹣2，n）代入得，n＝×（﹣2）+＝3，
∴P（﹣2，3），
∵一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，3），
∴关于x，y的方程组的解是，
故选：B．
6．（2分）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A．5B．C．D．
【解答】解：将第一层小正方形的顶面和正面，以及第二层小正方形的顶面和正面展开，
如图，连接MN，则MN＝＝5，
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷相应位置上）
7．（2分）＝ 5 ．
【解答】解：＝5，
故答案为：5．
8．（2分）在实数，，，3.1415，中，无理数有 2 个．
【解答】解：＝3，
在实数，，，3.1415，中，无理数有，，共2个．
故答案为：2．
9．（2分）比较大小： ＞ ﹣1（填“＞”“＜”或“＝”）．
【解答】解：∵≈1.414，≈2.236，
∴﹣1≈2.236﹣1＝1.236，
∴＞﹣1，
故答案为：＞．
10．（2分）如图，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADC，还需添加条件： AB＝AC ．（填写一个你认为正确的即可）
【解答】解：由已知可得，
∠1＝∠2，AC＝AC，
∴若添加条件AB＝AC，则△ABC≌△ADC（SAS）；
若添加条件∠ACB＝∠ACD，则△ABC≌△ADC（ASA）；
若添加条件∠ABC＝∠ADC，则△ABC≌△ADC（AAS）；
故答案为：AB＝AC．
11．（2分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣2x+1图象上的两点，若x1＞x2，则y1 ＜ y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
12．（2分）在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为 45°或72° ．
【解答】解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°，
当∠A是顶角时，∠A+2∠B＝180°，
即：4x＝180，
解得：x＝45，
此时∠C＝∠B＝45°；
当∠A是底角时，2∠A+∠B＝180°，
即5x＝180，
解得：x＝36°，
此时∠C＝2∠B＝72°，
故答案为：45°或72°．
13．（2分）已知一次函数y＝x﹣m+3（m为常数）的图象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围为 m＜3 ．
【解答】解：∵一次函数y＝x﹣m+3（m为常数）的图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴﹣m+3＞0，
解得m＜3．
故答案为：m＜3．
14．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 14 ．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4+5+5＝14．
故答案为14．
15．（2分）在课本上的“数学活动折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为2cm，则EA'的长为 2﹣ cm．
【解答】解：由折叠的性质可得：AE＝DE＝1，AB＝A'B＝2，BF＝CF＝1，EF＝AB＝2，
∴A'F＝＝，
∴A'E＝2﹣，
故答案为：2﹣．
16．（2分）如图，一次函数的图象与x轴交于点A．将该函数图象绕点A逆时针旋转45°，则得到的新图象的函数表达式为 y＝3x+12 ．
【解答】解：∵一次函数的图象与x轴交于点A．
∴A（﹣4，0），
设一次函数的图象与y轴交于点B．则B（0，2），
设旋转45°后的直线为L，过点B作BD⊥L，垂足为点D，
过点D作DN⊥y轴，DM⊥x轴，△ABD为等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
在△AMD和△BND中，
，
∴△AMD≌△BND（AAS），
∴DM＝DN，
∵2+NB＝4﹣NB，
∴NB＝1，
∴D（﹣3，3），
设直线L的解析式为y＝kx+b，代入点A（﹣4，0），D（﹣3，3）得：
，
解得，
∴直线L的解析式为：y＝3x+12．
故答案为：y＝3x+12．
三、解答题（本大题共10小题，共68分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝3+2﹣3
＝2．
（2）
＝﹣﹣（2﹣）
＝﹣﹣2+
＝﹣2．
18．（6分）求下列各式中的x．
（1）3x2﹣12＝0
（2）（x﹣1）3＝﹣64
【解答】解：（1）3x2﹣12＝0，
3x2＝12，
x2＝4，
x＝±2；
∴x1＝2，x2＝﹣2．
（2）（x﹣1）3＝﹣64，
x﹣1＝﹣4，
x＝﹣3．
19．（6分）已知：如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）∠ADE＝∠AED．
【解答】证明：（1）∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA）；
（2）由（1）知△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED．
20．（7分）一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象经过点（2，﹣2），（0，2）．
（1）求该函数的表达式；
（2）画出该函数的图象；
（3）不等式kx+b＜0的解集为 x＞1 ．
【解答】解：（1）把（2，﹣2），（0，2）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+2；
（2）如图，
（3）观察函数图象，不等式kx+b＜0的解集为x＞1．
故答案为：x＞1．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．
（1）若∠A＝25°，求∠DBC的度数；
（2）若BC＝4，求BD的长．
【解答】解：（1）∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝25°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣25°＝65°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝65°﹣25°＝40°；
（2）设BD＝x，则DA＝x，
∴CD＝8﹣x，
由勾股定理得：BD2＝CD2+BC2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴BD＝5．
22．（6分）已知一次函数y＝mx+2m﹣2（m为常数，m≠0）．
（1）若该函数的图象经过原点，求m的值；
（2）当0＜m＜1时，该函数图象经过第 一、三、四 象限．
【解答】解：（1）∵该函数的图象经过原点，
∴m≠0且2m﹣2＝0，
解得m＝1；
（2）∵0＜m＜1，
∴0＜2m＜2，
∴2m﹣2＜0，
∴该函数图象经过第一、三、四象限．
故答案为：一、三、四．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（5，2），C（2，2）．将点A，C分别向下平移3个单位长度得到点A′，C′．
（1）点A′，C′的坐标分别为 （1，﹣2） ， （2，﹣1） ；
（2）求证：点A′，C′，B在一条直线上．
【解答】（1）解：∵A（1，1），C（2，2），将点A，C分别向下平移3个单位长度得到点A′，C′．
∴A′（1，﹣2），C′（2，﹣1）；
故答案为：（1，﹣2），（2，﹣1）；
（2）证明：设直线A′C′的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线A′C′的解析式为y＝x﹣3，
当x＝5时，y＝5﹣3＝2，
∴点A′，C′，B在一条直线上．
24．（6分）如图，已知线段a，b，c．求作△ABC，使AB＝a，BC＝b，且分别满足下列条件：（1）AB上的中线为c．
（2）AB上的高为c．
（说明：①尺规作图，保留作图痕迹；②可以有必要的作图说明；③每小题作出满足条件的一个三角形即可．）
【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求；
（2）如图2中，△ABC即为所求．
25．（9分）甲、乙两家快递公司都要将货物从A地派送至B地．甲公司运输车要先在A地的集货中心拣货，然后直接发往B地．乙公司运输车从A地出发后，先到达位于A、B两地之间的C地休息，再以原速驶往B地．两车离B地的距离s（km）与乙公司运输车所用时间t（h）的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达B地．
（1）A地与B地之间的距离为 360 km．
（2）求线段MN对应的函数表达式．
（3）已知C地距离A地160km，当t为何值时，甲、乙两公司运输车相距80km？
【解答】解：（1）由图象可知，A地与B地之间的距离为360km，
故答案为：360．
（2）设线段MN对应的函数表达式为s＝k1t+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
∵当t＝2时，s＝360；当t＝8时，s＝0，
∴，解得，
∴线段MN对应的函数表达式为s＝﹣60t+480（2≤t≤8）．
（3）由（2）可知，甲公司运输车s与t的函数关系式为s＝．
∵C地距离A地160km，
∴C地距离B地为360﹣160＝200（km）．
∵乙公司运输车的速度为＝80（km/h），
∴乙公司运输车从C地驶往B地用时＝（h），
∴当t＝8﹣＝时，乙公司运输车从C地出发驶往B地．
设当0≤t＜2时，乙公司运输车s与t的函数关系式为s＝k2t+b2（k2、b2为常数，且k2≠0），
∵当t＝0时，s＝360；当t＝2时，s＝200，
∴，解得，
∴s＝﹣80t+360（0≤t＜2）；
设当≤t≤8时，乙公司运输车s与t的函数关系式为s＝k3t+b3（k3、b3为常数，且k3≠0），
∵当t＝时，s＝200；当t＝8时，s＝0，
∴，解得，
∴s＝﹣80t+640（≤t≤8）；
综上，当0≤t≤8时，乙公司运输车s与t的函数关系式为s＝．
①当0≤t＜2时，|﹣80t+360﹣360|＝80，
经整理，得80t＝80，
解得t＝1；
②当2≤t＜时，|﹣60t+480﹣200|＝80，
经整理，得280﹣60t＝80或60t﹣280＝80，
解得t＝或6（不符合题意，舍去）；
③当≤t≤8时，|﹣60t+480﹣（﹣80t+640）|＝80，
经整理，得20t﹣160＝80或160﹣20t＝80，
解得t＝12（不符合题意，舍去）或4；
综上，当t＝1、或4时，甲、乙两公司运输车相距80km．
26．（8分）回顾旧知
（1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使PA+PB最小？将下面解决问题的思路补充完整．
解决问题
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，E，F为AB上的两个动点，且AE＝BF，求CE+CF的最小值．
变式研究
（3）如图③，在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝5，BC＝4，点D，E分别为AB，AC上的动点，且AD＝CE，请直接写出CD+BE的最小值．
【解答】解：（1）在l上任取一点P'，作点A关于l的对称点A'，AA'与直线l相交于点C．连接P'A'，
∴AC＝A′C，∠ACP′＝∠A′CP′，
∵CP′＝∠CP′，
∴△AP'C≌△A′P'C（SAS），
∴P'A＝P'A'．
在△A'P'B中，根据“两点之间，线段最短”可知A'B与l的交点P即为所求．
故答案为：△A′P'C，两点之间，线段最短；
（2）过点E作ED∥CF，使ED＝CF，连接DF，CD，设CD交AB于O，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴OC＝OD，OE＝OF，
∵AE＝BF，
∴AO＝BO＝AB＝4，
∵∠ACB＝90°，AB＝8，
∴OC＝OD＝AB＝4，
∴CD＝8，
∵CE+CF＝CE+ED≥CD，
∴CE+CF的最小值为CD，即CE+CF的最小值为8；
（3）如图，过点C作CK∥AB，使CK＝AC＝5，过点B作BG⊥KC，交KC的延长线于点G，连接BK，
则∠KCE＝∠CAD，
在△CKE和△ACD中，
，
∴△CKE≌△ACD（SAS），
∴EK＝CD，
∴CD+BE＝EK+BE≥BK，
∴CD+BE的最小值为BK，
∵CK∥AB，BG⊥CK，
∴BG⊥AB，∠BGK＝90°，
∴∠ABG＝90°，
∴∠CBG＝∠ABG﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴CG＝BC＝×4＝2，
在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG＝＝＝2，
KG＝CK+CG＝5+2＝7，
在Rt△BGK中，由勾股定理得：BK＝＝＝，
∴CD+BE的最小值为．
解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中!据此，在l上任取一点P'，作点A关于l的对称点A'，AA'与直线l相交于点C．连接P'A'，易知△AP'C≌ ，从而有P'A＝P'A'．这样，在△A'P'B中，根据“
”可知A'B与l的交点P即为所求．
解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中!据此，在l上任取一点P'，作点A关于l的对称点A'，AA'与直线l相交于点C．连接P'A'，易知△AP'C≌ △A′P'C ，从而有P'A＝P'A'．这样，在△A'P'B中，根据“
两点之间，线段最短 ”可知A'B与l的交点P即为所求．