广东省惠州市2024届高三上学期第三次调研考试数学

这是一份广东省惠州市2024届高三上学期第三次调研考试数学，文件包含广东省惠州市高2024届高三上学期第三次调研考试数学试题docx、广东省惠州市高2024届高三上学期第三次调研考试数学答案及评分标准pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2. 作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3. 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1. 已知集合A={x∈N|x2-x-6b,c>d,则a+c>b+dB. 若a>b,cc>0,则ba＜b+ca+c
10. 德国数学家狄利克雷(Dirichlet,1805-1859),是解析数论的创始人之一. 他提出了著
名的狄利克雷函数：Dx=1, &x是有理数0, x是无理数，以下对D(x)的说法正确的是（）
A. D(D(x))=1
B. D(x)的值域为{0,1}
C. 存在x是无理数，使得D(x+1)=D(x)+1
D. ∀x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1)
11. 在△ABC中，cs2A+cs2B=1,则下列说法正确的有（）
A. |sinA=|csB|B. A+B=π2
C. sinA·sinB的最大值为12D. tanA·tanB=±1
12. 在四面体ABCD中，AB=CD=1,AC=AD=BC=BD=2,E,F,G分别是棱BC,AC,AD上的动点，且满足AB,CD均与面EFG平行，则（）
A. 直线AB与平面ACD所成的角的余弦值为1616
B. 四面体ABCD被平面EFG所截得的截面周长为定值1
C. 三角形EFG的面积的最大值为18
D. 四面体ABCD的内切球的表面积为7π30
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 某电池厂有A,B两条生产线，现从A生产线中取出产品8件，测得它们的可充电次
数的平均值为210,方差为4;从B生产线中取出产品12件，测得它们的可充电次数的平
匀值为200,方差为4. 则20件产品组成的总样本的方差为
(参考公式：已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和
样本方差分别为：m，x，s12；n，y，s22、记总的样本平均数为w,样本方差为s2；
w=mm+nx+nm+ny；为s2=1m+n{m［s12+（x-w）2］+n［s22+（y-w）2］}
14. 若f(x)=2sin(x+φ)-sinx为偶函数，则φ= . (填写符合要求的一个值)
15. 如图在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，
∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量PC在向量BC上
的投影向量为 . (用向量BC来表示).
16. 已知N为抛物线x2=4y上的任意一点，M为圆x2+(y-5)2=4上的一点，A(0,1)
则2|MN|+|MA|的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分10分)
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD,BC⊥AB,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求证：CB⊥平面SAB;
(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.
18. (本小题满分12分)
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cacsB+bcsA=2csC
(1)求角C;
(2)若CD是∠ACB的角平分线，且CD=433,c=3，求△ABC的面积
19. (本小题满分12分)
魔方是民间益智玩具，能培养数学思维，锻炼眼脑的协调性，全面提高专注力、观察力、反应力. 基于此特点某小学开设了魔方兴趣班，共有100名学生报名参加，在一次训练测试中，老师统计了学生还原魔方所用的时间(单位：秒),得到相关数据如下：
(1)估计这100名学生这次训练测试所用时间的第78百分位数；
(2)在这次测试中，从所用时间在［80,110)和［110,140)内的学生中各随机抽取1人，记
抽到低年级学生的人数为X,求X的分布列和数学期望.
20. (本小题满分12分)
已知数列{an}满足：an+1+an=2n+7(n∈N*),且a1=4.
求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}满足：bn=1，n=1lg（n+2）an，n≥2，n∈N∗，定义使b1•b2•b3…•bk(k∈N*)为整数的k叫做“幸福数”,求区间[1,2024]内所有“幸福数”的和.
21. (本小题满分12分)
如图，已知半圆C1：x2+y2=b2(y≤0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于E点，半椭圆上C2：y2a2+x2b2=1（y＞0，a＞b＞0）焦点为F,并且△ABF是面积为3的等边三角形，将满足y2a2+x2b2=1，y≥0x2+y2=b2，y＜0的曲线记为“Г”.
(1)求实数a,b的值；
(2)直线l:y=2x与曲线T交于M、N两点，在曲线Г上再取两点S、T(S、T分别在直线l两侧),使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；
(3)设点K(0,t)(t∈R),P是曲线Г上任意一点，求|PK|的最小值.
22. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=(ax2+x+a)e-x(a∈R).
(1)若a≥0,函数f(x)的极大值为3e，求实数a的值；
(2)若对任意的a≤0,f(x)≤bln(x+1)在x∈(0,+∞)上恒成立，求实数b的取值范围.
年级
人数
时间
［50,80)
［80,110)
［110,140)
［140,170)
［170,200)
低年级
2
8
12
14
4
高年级
10
22
16
10
2