太原市第五中学校2022-2023学年八年级下学期月考数学试卷(含解析)

这是一份太原市第五中学校2022-2023学年八年级下学期月考数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D.
4. 如图，．则是的（ ）
A. 4倍B. 3倍C. 2倍D. 1倍
5. 2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（ ）
A. 两种客车总的载客量不少于990人B. 两种客车总的载客量不超过990人
C. 两种客车总的载客量不足990人D. 两种客车总的载客量恰好等于990人
6. 下列命题中，逆命题是真命题的有（ ）
（1）两直线平行，同旁内角互补； （2）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；
（3）相等的角是内错角； （4）有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7. 如图，在△ABC中，，，点P从点B开始以的速度向点C移动，当为直角三角形时，则运动的时间为（ ）
A B. 或C. 或D. 或
8. 在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A. 当时，B. 方程 的解是
C. 当时，D. 不等式 的解集是
9. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A. 只有乙B. 甲和乙C. 乙和丙D. 乙和丁
10. 如图，在中，垂直平分，分别交、于、，连接，平分，交于，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，每空3分，共15分）
11. 不等式的正整数解是_______．
12. 若关于的方程的解为负数，则的取值范围是_______．
13. 在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 ____个．

14. 2022年教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在同年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，请列出符合题意的一元一次不等式_______．
15. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________．
三、解答题（本大题共8个小题，共55分）
16. （1）解不等式，并把它解集表示在数轴上；
（2）解不等式，并求出它的负整数解的和．
17. 如图，，，于，于，，求证：点是的中点．
18. 为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售．
如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的3倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？
19. 在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，．
求证：．
（1）完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线，使
∴（ ）
又∵，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴．
（2）上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
20. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设（）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线上．
活动一：
如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒．
（1）设．
①_______度；
②若记小棒的长度为（n为正整数，如）则_______，_______，并直接写出_______（用含n的式子表示）．
活动二：
如图乙所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且．
数学思考：
（2）若已经摆放了3根小棒，_______，_______，_______；（用含的式子表示）
（3）若只能摆放4根小棒，求的取值范围．
21. （1）操作实践：中，，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）
（2）分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值；
（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明）
22. （1）阅读理解“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“”可理解为___________________________________________________；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为_______________．
我们定义：形如“”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）理解应用：根据绝对值几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是_________________．
②不等式的解集是_______________．
23. 如图①，，，直线AE是经过点A的直线，于D，于E，则；
（1）[线形训练]如图②，中，，，直线AE是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：．
（2）[问题创设]如图③，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（1）中结论还成立吗？如果不成立，BD，DE，CE三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论．
（3）[发散探究]如图④，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点H在y轴正半轴上，顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，若另一顶点落在第四象限，求a的值．
答案
1解析：解：，
解得：，
在数轴上表示解集为： ，
故选：C．
2解析：解：点在第二象限，
，
解得：，
故选：D．
3解析：解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
4解析：解：，
是等边三角形，和是等腰三角形，
，
，
，
是的4倍，
故选：A．
5解析：解：不等式“”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于990人，
故选：A．
6解析：解：（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题；
（2）在同一平面内，如果两直线平行，那么这两条直线垂直于同一直线，真命题；
（3）内错角相等，假命题；
（4）等边三角形是有一个角是的等腰三角形，真命题；
故符合题意的有3个，
故选：C．
7解析：解：∵在△ABC中，，，
∴，，
当时，在中，，
∴，
∴运动时间为，
当时，在中，，
∴
∴运动时间为，
综上，运动时间为或，
故选：B．
8解析：解：由函数的图象可知，
当时，，A选项错误，不符合题意；
方程 的解是，B选项错误，不符合题意；
当时，，故C正确，符合题意；
不等式 的解集是，故D错误，不符合题意．
故选：C．
9解析：解：，
去分母，得，
故步骤甲错误．
移项、合并同类项，得
故步骤乙错误．
合并同类项，得．
化系数为，得．
故选：B．
10解析：解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：．
11解析：解：，
，
为正整数，
．
故答案：．
12解析：解：，
，
方程的解为负数，
，
解得：，
故答案为：．
13解析：解：第一图：由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确；
第二图：由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误；
第三图：由作图可知BA=BD，又∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°，AB=BC，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=CD=AD，
∴△ADC是等腰三角形，故正确；
第四图：由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确．
故答案为：3．
14解析：解：依题意得：，
故答案为：．
15解析：解：解：如图，连接BF，
∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠DBF=∠DBE=30°，
又∵∠ABC=30°，
∴∠CBF=60°，
∴即射线BF的位置是固定的，
∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°，
∴BF=BC.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=，
∴BF=，
设BD=2x，则DF=x，
∴，即，解得x=3
∴BD=6
∴的周长为18．
故填：18．
16解析：解：（1），
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：，
将不等式的解集在数轴上表示如下：
（2），
去分母，得：
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：，
∴不等式的负整数解为：；，
∴不等式的负整数解的和为．
17解析：证明：，
在和中，
，
，
，
于，于，
，
在和中，
，
，
，
点是的中点．
18解析：解：设购进A型电动汽车辆，则购进B型电动汽车辆，
由题意得：，
解得：，
设利润为，由题意得：，
，
当时，利润最大，最大值为：万元，
购进15辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润为19万元．
19 小问1解析：
证明：假设．
如图2，过点O作直线，使，
（同位角相等，两直线平行）
又，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
故答案为∶ ；同位角相等，两直线平行；
小问2解析：
解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
故答案为：②
20小问1解析：
解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∴.
又∵，
∴，.
同理：，
∴∠，
∴，
∴，
∵，
∴
同理可得，
……，
∴，
故答案为：，，；
小问2解析：
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
小问3解析：
解：由（2）可得，
∴根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得，
解得，．
21解析：解：（1）如图所示：
（2）设分割线为，相应用的角度如图所示：
图1的最大角，图2的最大角，
图3的最大角，图4的最大角，
故的最大内角可能值是或或或；
（3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一：
①该三角形是直角三角形；
②该三角形有一个角是最小角的2倍；
③该三角形有一个角是其中一个角的3倍．
22解析：解：（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
②使不等式“”成立的整数为，（答案不唯一，合理即可）．
故答案为：，．
（2）①不等式的解集是或．
故答案为：或．
②不等式的解集是，解得．
故答案为：．
23解析：证明：如图①，∵于D，于E，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°，
∵，
∴∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
在△ADB和△CEA中，
，
∴（AAS）
（1）如图②，∵于D，于E，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴（AAS）
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE= DE + AD =DE+CE；
（2）（1）中的结论不成立，BD=DE-CE，理由如下：
∵
∴∠DBA+∠DAB=180°-∠BDA=80°，∠DAB+∠EAC=180°-∠BAC=80°，
∴∠DBA=∠EAC，
在△ADB和△CEA中，
，
∴（AAS）
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE= DE - AD =DE-CE，
∴BD= DE-CE；
（3）过点G作GF⊥y轴，过点K作KH⊥y轴于H，
∴∠GFN=∠NHK=90°，
∴∠EGN+∠FNG=90°，
∵△GNK为等腰直角三角，
∴NG=NK，∠GNK=90°，
∴∠FNG+∠HNK=90°，
∴∠FGN=∠HNK，
在△GFN和△NHK中，
，
∴（AAS），
∴GF=NH，FN=HK，
∵顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，
设点G（n,n），
∵，点K在第四象限，
∴KH=a，OH=2a-6，OF=m，FG=n，
∴ON=OF-HK=n-a，
∴NH=ON+OH=n-a+2a-6=n+a-6，
∴，
∴．
成本价（万元/辆）
售价（万元/辆）
A型
16
16.8
B型
28
29.4