2023-2024学年四川省成都市锦江区师一学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市锦江区师一学校九年级（上）期末数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.关于矩形的性质、下面说法错误的是( )
A. 矩形的四个角都是直角B. 矩形的两组对边分别相等
C. 矩形的两组对边分别平行D. 矩形的对角线互相垂直平分且相等
2.甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地匀速行驶到乙地所用时间y(ℎ)与行驶速度x(km/ℎ)之间的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
3.如图，△ABC在灯光O的正下方，它在地面上形成的影子是△A′B′C′，△ABC平行于地面，且O到△ABC的距离和△ABC与地面的距离相等，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2.下面关于△A′B′C′的说法，其中正确的是( )
A. △A′B′C′的面积为4 2
B. △A′B′C′的周长为8+4 2
C. A′B′=2 2
D. B′C′=8
4.一个几何体如图水平放置，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
5.反比例函数y=kx(x<0)的图象如图所示，AB/​/y轴，若△ABC的面积为3，则k的值为( )
A. 12
B. 32
C. 3
D. −6
6.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？( )
A. 8B. 10C. 7D. 9
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠ADE=22.5°，BD=4，则AE的长为( )
A. 1
B. 2
C. 2 2
D. 4
8.如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于 5−12，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形.如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是( )
A. ( 5−12)2023B. ( 5−12)2024C. (3+ 52)2023D. (3+ 52)2024
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9.已知ab=cd=5，若b+d≠0，则a+cb+d= ______ ．
10.某三棱柱的三种视图如图所示，它的主视图是三角形，左视图和俯视图都是矩形，且俯视图的面积是左视图面积的2倍，左视图中矩形ABCD的边长AB=3，则主视图的面积为______ ．
11.双曲线y=kx位于二、四象限内，点A(− 3,y1)和点B(−112,y2)在这条双曲线上，则y1与y2的大小关系为______ ．
12.如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P(2,2)处，木杆AB两端的坐标分别为(0,1)，(3,1).则木杆AB在x轴上的影长CD为______．
13.如图，点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，点B在y轴负半轴上，AB交x轴于点C，若AC：BC=5：3，S△AOC=3，则k的值为______ ．
14.已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
15.如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为______．
16.点P(m,n)是函数y=3x和y=x+4图象的一个交点，则m2+n2的值为______ ．
17.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形AOBC是平行四边形，点B的坐标为(3,2)，点C的坐标为(1,4)，点A在第二象限，反比例函数y=kx(x<0)的图象恰好经过点A，则k的值为______ ．
18.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，点M为AB边上一点，AM=2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为______．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19.解方程：(1)3x2−10x+6=0；
(2)5(x+3)2=2(x+3)．
20.如图，△ABC的顶点和定点O都在单位长度为1的正方形网格的格点上．
(1)以点O为位似中心，在网格纸中画出△ABC的位似△A′B′C′，使它与△ABC的相似比为2，且位于点O的右侧；
(2)在(1)的情况下，线段B′C′经过格点D(不同于点B′，C′)，连接CD，BC′，直接写出四边形BC′DC的形状及其面积．
21.为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
(1)请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数；
(2)将两个统计图补充完整；
(3)随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率．
22.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了以下尝试．
(1)如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其上方点P处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm.那么灯泡离地面的高度PM为多少．
(2)不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
23.如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为(a,8)，AB⊥x轴于点B，ABOB=43，反比例函数y=kx的图象的一支分别交AO，AB于点C，D，延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标；
(2)连接CD，OD，求S△OCD；
(3)在x轴上是否存在两点M，N(M在N的左侧)，使以E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．
24.某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y是销售单价x的函数，其销售单价x，周销售量y，周销售利润w的三组对应值如表：
(1)请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式；
(2)①请求出该商品的进价；
②若该公司想每周获利2000元，并尽可能让利给顾客，请求出此时该商品销售单价．
25.某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边△ABC中，AB=2，点D在射线BC上运动，连接AD，以AD为一边在AD右侧作等边△ADE．

(1)【问题发现】如图(1)，当点D在线段BC上运动时(不与点B重合)，连接CE.则线段BD与CE的数量关系是______ ；直线BA与CE的位置关系是______ ；
(2)【拓展延伸】如图(2)，当点D在线段BC的延长线上运动时，直线AD，CE相交于点M，请探究△MAE的面积与△MDC的面积之间的数量关系；
(3)【问题解决】当点D在射线BC上运动时(点D不与点B，C重合)，直线AD，CE相交于点M，若△MCD的面积是 32，请求出线段BD的长．
26.对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”.如图1中，若∠PQR=∠PRQ，则直线PQ与直线PR称为“等腰三角线”；反之，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，则∠PQR=∠PRQ．
(1)如图1，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为(2,5)、(−3,0)，求直线PR的解析式；
(2)如图2，直线y=14x与双曲线y=1x交于点A、B，点C是双曲线y=1x上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、n(0①求证：直线AC与直线BC为“等腰三角线”；
②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F；连接EF，当∠EFD=∠DCA时，求出线段DE+EF的值(用含n的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、矩形的四个角都是直角，说法正确，不符合题意；
B、矩形的两组对边分别相等，说法正确，不符合题意；
C、矩形的两组对边分别平行，说法正确，不符合题意；
D、矩形的对角线互相平分且相等但不一定垂直，说法错误，符合题意；
故选：D．
根据矩形的性质对选项逐一进行判断即可．
本题考查了矩形的性质，矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意可知时间y(小时)与行驶速度x(千米/时)之间的函数关系式为：y=100x(x>0)，
所以函数图象大致是D．
故选：D．
根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，要注意自变量x的取值范围，结合自变量的实际范围作图．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可知，AB= AC2+BC2= 22+22=2 2，
∴C△ACB=AC+BC+AB=4+2 2，S△ACB=12AC⋅BC=12×2=2，
∴△A′B′C′～△ABC且相似比为2：1，
∵S△A′B′C′S△ABC=(21)2，
∴S△A′B′C′=4S△ABC=4×2=8，故A选项错误，不符合题意；
∵C△A′B′C′C△ABC=21，
∴C△A′B′C′=2C△ABC=8+4 2，故B选项正确，符合题意；
∵A′B′AB=B′C′BC=21，
∴A′B′=2AB=4 2，B′C′=2BC=4，故C、D选项错误，不符合题意；
故选：B．
分别求出AB=2 2、C△ACB=4+2 2、S△ACB=2再依据相似三角形的性质进行判断即可．
本题考查了相似三角形性质的应用；解题的关键是掌握相似三角形的边长和周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
4.【答案】D
【解析】解：可得它的俯视图是
故选：D．
根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，明确能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的前提．
5.【答案】D
【解析】解：如图所示，连接AO，
∵AB/​/y轴，
∴S△ABC=S△AOB=3，
∴12|k|=3，
∴|k|=6，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k<0，
∴k=−6，
故选：D．
根据反比例函数k的几何意义即可求解．
本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得x(x−1)2=45，
解得x=10或x=−9(舍)，
∴共有10支队伍参加比赛．
故选：B．
设共有x支队伍参加比赛，根据“循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，BD=4，
∴AC=BD=4,AO=12AC=2，
∵AE⊥BD，∠ADE=22.5°，
∴∠EAD=67.5°，
∴∠EAO=67.5°−22.5°=45°，AE=EO，
即AE2+EO2=AO2=4，
解得AE= 2，
故选：B．
先由对角线相等，结合等边对等角，得∠DAO=∠ADE=22.5°，结合直角三角形两个锐角互余，得∠EAD=67.5°，故∠EAO=67.5°−22.5°=45°，AE=EO，根据勾股定理列式，计算即可作答．
本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余、勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵△ABC是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为AB=AC=1，
∴BCAB= 5−12，
∴BC= 5−12AB= 5−12，
∵△BCD是第2个黄金三角形，
∴CDBC= 5−12，第2个黄金三角形的腰长是 5−12，
∴CD= 5−12BC=( 5−12)2，
∵△CDE是第3个黄金三角形，
∴DECD= 5−12，第3个黄金三角形的腰长是( 5−12)2，
∴DE= 5−12CD=( 5−12)3，
∴第4个黄金三角形的腰长是( 5−12)3，
…，
∴第n个黄金三角形的腰长是( 5−12)n−1，
∴第2024个黄金三角形的腰长是( 5−12)2024−1=( 5−12)2023，
故选：A．
由黄金三角形的定义得BC= 5−12AB= 5−12，同理求出CD=( 5−12)2，DE=( 5−12)3，可得第1个黄金三角形的腰长为AB=AC=1，第2个黄金三角形的腰长是 5−12，第3个黄金三角形的腰长是( 5−12)2，第4个黄金三角形的腰长是( 5−12)3，得出规律第n个黄金三角形的腰长是( 5−12)n−1，即可得出答案．
本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键．
9.【答案】5
【解析】解：∵ab=cd=5，
∴a=5b，c=5d，
∴a+cb+d=5b+5db+d=5，
故答案为：5．
若ab=cd=k，b+d≠0，则a+cb+d=k，由此可解．
本题考查等比性质的应用，将ab=cd=k进行变形是解题的关键．
10.【答案】9
【解析】解：∵主视图、俯视图与左视图的长相等，若左视图中矩形ABCD的边长AB=3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，
∴主视图的宽为2AB=6，
∵主视图与左视图关系知主视图三角形的高为AB=3，
∴主视图的面积为12×6×3=9，
故答案为：9．
根据三视图关系可知，主视图、俯视图与左视图的长相等，由左视图中矩形ABCD的边长AB=3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，可知主视图的宽为2AB=6，由主视图与左视图关系可知，主视图三角形的高为AB=3，从而利用三角形面积公式即可得到主视图的面积为12×6×3=9．
本题考查三视图边长关系，熟练掌握“长对正、高平齐、宽相等”，通过三视图准确得到相应图形的边长是解决问题的关键．
11.【答案】y1>y2
【解析】解：∵双曲线y=kx位于二、四象限内，
∴k<0，
∴双曲线y=kx在每个象限内y随x增大而增大，
∵点A(− 3,y1)和点B(−112,y2)在这条双曲线上，− 3>−112，
∴y1>y2．
故答案为：y1>y2．
先根据反比例函数图象经过第二、四象限得到k<0，则双曲线y=kx在每个象限内y随x增大而增大，再由− 3>−112即可得到答案．
本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，正确判断出反比例函数在每个象限内的增减性是解题的关键．
12.【答案】6
【解析】解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，
∵P(2,2)，A(0,1)，B(3,1)．
∴PM=1，PE=2，AB=3，
∵AB/​/CD，
∴ABCD=PMPE
∴3CD=12
∴CD=6，
故答案为：6．
利用中心投影，作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，证明△PAB∽△CPD，然后利用相似比可求出CD的长．
本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系．
13.【答案】−16
【解析】解：如下图，过点A作AD⊥x轴于D，
∴∠ADC=∠BOC=90°，
在△ADC和△BOC中，∠ADC=∠BOC∠ACD=∠BCO，
∴△ADC∽△BOC，
∴ADBO=ACBC=53，
∵S△AOCS△BOC=ACBC=53,S△AOC=3，
∴S△BCO=95，
∵S△ADCS△BOC=(53)2，
∴S△ADC=5，
∴S△ADO=S△ADC+S△ACO=5+3=8，
根据反比例函数k的几何意义得12|k|=S△ADO=8，
∴|k|=16，
∵k<0，
∴k=−16，
故答案为：−16．
过点A作AD⊥x轴于D，则△ADC∽△BOC，即可求得S△BCO=95，利用相似三角形求出S△ADC=5，得出S△ADO=S△ADC+S△ACO=8，再根据反比例函数的k的几何意义得结果．
本题考查了反比例函数的k的几何意义的应用，三角形相似的判定及性质，解题的关键是求得△ADO的面积．
14.【答案】解：(1)3x2−10x+6=0，
∵a=3，b=−10，c=6，
∴b2−4ac=(−10)2−4×3×6=28>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=10± 286=5± 73，
∴x1=5+ 73，x2=5− 73；
(2)5(x+3)2=2(x+3)，
5(x+3)2−2(x+3)=0，
(x+3)(5x+13)=0，
x+3=0或5x+13=0，
解得x1=−3，x2=−135．
【解析】(1)方程利用公式法求解即可；
(2)方程利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握求根公式以及提公因式法因式分解是解答本题的关键．
15.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′为所作；

(2)(2)如图2，四边形BC′DC为所求，

∵BC=C′D= 12+42= 17，CD=BC′= 22+42=2 5，
∴四边形BC′DC是平行四边形，
∴S▱BC′DC=5×6−(12×1×4)×2−(12×2×4)×2=30−4−8=18．
【解析】(1)延长AO到A′使OA′=2OA，延长BO到B′使OB′=2OB，延长CO到C′使OC′=2OC，则△A′B′C′满足条件；
(2)利用BC=C′D，CD=BC′，可判断四边形BC′DC为平行四边形，利用割补法：根据平行四边形所在的矩形的面积减去四周4个小直角三角形的面积，列式计算平行四边形面积即可．
本题考查了位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤(先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形).也考查了勾股定理以及用割补法求平行四边形面积．
16.【答案】解：(1)由图形可知：A实心球的人数是15人，占学生总人数的10%，
∴被调查的学生总人数为15÷10%=150(人)，
∴喜欢“跑步”的学生人数为150−(15+45+30)=60(人)；
(2)喜欢“跑步”的学生占学生总人数1−(10%+30%+20%)=40%，
补全统计图如下：

(3)画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，刚好抽到2名女生的有2种情况，
∴刚好抽到2名女生的概率为212=16．
【解析】(1)用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数，再用抽查的总人数减去A、B、D的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数；
(2)根据四个项目的百分比之和为1求出C对应的百分比，补全统计图即可；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到2名女生情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，画树状图法求概率，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息以及掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：(1)∵AD//A′D′，
∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得ADA′D′=PNPM，
∴3036=PM−30PM，
解得PM=180．
∴灯泡离地面的高度PM为180cm；
(2)设横向影子A′B，D′C的长度和为y cm，
同理可得6060+y=150180，
解得y=12．
即横向影子A′B，D′C的长度和为12cm．
【解析】(1)根据相似三角形的判定可得△PAD∽△PA′D′，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；
(2)同法可得到横向影子A′B，D′C的长度和．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质．
18.【答案】解：(1)∵A点的坐标为(a,8)，AB⊥x轴于点B，
∴AB=8，
∵ABOB=43，
∴OB=6，
∴A(6,8)，
又∵点D的纵坐标为2，
∴D(6,2)，
∵点D在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=6×2=12，
∴反比例函数的表达式为：y=12x，
设直线OA的表达式为：y=bx，
∵点A在直线OA上，
∴6b=8，
解得：b=43，
∴直线OA的表达式为：y=43x，
联立得：
y=12xy=43x，
解得x1=3y1=4或x2=−3y2=−4，
∴C(3,4)，E(−3,−4)；
(2)由(1)可知C(3,4)，D(6,2)，B(6,0)，
∵S△OCD=S△OAB−S△OBD−S△ACD，
∴S△OCD=12OB×|yA|−12OB×|yD|−12AD×|xB−xD|
=12×6×8−12×6×2−12×(8−2)×(6−3)
=24−6−9
=9；
(3)在x轴上存在两点M，N，使以E，M，C，N为顶点的四边形为矩形，理由如下：
∵设M(m,0)，N(−m,0)，
∴OM=ON，
∵C(3,4)，E(−3,−4)，
∴OC=OE，
∴四边形EMCN是平行四边形，
当MN=CE=2OC=2× 32+42=10时，
∴OM=ON=5，即m=5或−5，
∴OM=ON=OC，
∴∠OMC=∠OCM，∠ONC=∠OCN，
∵∠OMC+∠OCM+∠ONC+∠OCN=180°，
∴∠OCM+∠OCN=90°，即∠MCN=90°，
∴此时平行四边形EMCN为矩形，
∵M在N的左侧，
∴m=−5，
∴CM= (3+5)2+42=4 5，CN= (3−5)2+42=2 5，
∴矩形EMCN周长为(4 5+2 5)×2=12 5．
【解析】(1)根据ABOB=43得出点A、D的坐标，即可求出反比例函数的表达式，因为点E是反比例函数和直线OA的交点，所以先求出直线OA的表达式，再将反比例函数的表达式与直线OA的表达式联立，即可求出点E的坐标；
(2)根据S△OCD=S△OAB−S△OBD−S△ACD即可求出S△OCD；
(3)存在，当OM=ON时，四边形EMCN是平行四边形，当OM=ON=OC时，可证∠MCN=90°，此时平行四边形EMCN为矩形，利用勾股定理分别求出CM、CN，即可得到矩形的周长．
本题考查了求反比例函数和一次函数的表达式，求坐标系内图形的面积，平行四边形和矩形的判定，根据要求求出点的坐标是解答本题的关键．
19.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
根据根的判别式的意义得到Δ=62−4m=0，然后解关于m的方程即可．
【解答】
解：根据题意得Δ=62−4m=0，
解得m=9．
故答案为：9．
20.【答案】12
【解析】解：设S1、S2、S3、S4中分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，
∴能够让灯泡发光的概率为：612=12，
故答案为：12．
根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．正确的画出树状图是解题的关键．
21.【答案】22
【解析】解：∵点P(m,n)是函数y=3x和y=x+4图象的一个交点，
∴mn=3，m+4=n，
即m−n=−4，
∴m2+n2=(m−n)2+2mn=(−4)2+2×3=22，
故答案为：22．
根据在函数图象上的点一定满足对应的函数解析式得到mn=3，m−n=−4，再根据完全平方公式进行求解即可．
本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、完全平方公式的变形求值，正确得到mn=3，m−n=−4是解题的关键．
22.【答案】−4
【解析】解：∵四边形AOBC是平行四边形，
∴xB−xO=xC−xA，yB−yO=yC−yA，
∵B(3,2)，C(1,4)，O(0,0)，
∴3−0=1−xA，2−0=4−yA，
解得xA=−2，yA=2，
∴A(−2,2)，
将A(−2,2)代入y=kx并解得k=−4，
故答案为：−4．
根据平行四边形的性质和点B，C，O的坐标求出点A的坐标，再把点A的坐标代入y=kx即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
23.【答案】2或5− 13
【解析】【分析】
分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，由折叠的性质得：AN=PN，AM=PM，证出∠AMN=∠ANM=60°，得出AN=AM=2；
②当点P在菱形对角线BD上时，设AN=x，由折叠的性质得：PM=AM=2，PN=AN=x，∠MPN=∠A=60°，求出BM=AB−AM=1，证明△PDN∽△MBP，得出DNBP=PDBM=PNPM，求出PD=12x，由比例式3−x3−12x=x2，求出x的值即可．
本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是关键．
【解答】
解：分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，如图1所示：
：由折叠的性质得：AN=PN，AM=PM，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠PAM=∠PAN=30°，
∴∠AMN=∠ANM=90°−30°=60°，
∴AN=AM=2；
②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示：
设AN=x，
由折叠的性质得：PM=AM=2，PN=AN=x，∠MPN=∠A=60°，
∵AB=3，
∴BM=AB−AM=1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC=180°−60°=120°，∠PDN=∠MBP=12∠ADC=60°，
∵∠BPN=∠BPM+60°=∠DNP+60°，
∴∠BPM=∠DNP，
∴△PDN∽△MBP，
∴DNBP=PDBM=PNPM，即3−xBP=PD1=x2，
∴PD=12x，
∴3−x3−12x=12x
解得：x=5− 13或x=5+ 13(不合题意舍去)，
∴AN=5− 13，
综上所述，AN的长为2或5− 13；
故答案为：2或5− 13．
24.【答案】解：(1)由题意，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将(60,80)和(70,60)代入y=kx+b，得60k+b=8070k+b=60，
解得k=−2b=200，
∴y关于x的函数解析式为y=−2x+200．
(2)由题意，①由表格知，x=60时，y=80，w=2400，
设该商品进价为a元，
∴80×(60−a)=2400，
∴解得a=30．
∴该商品进价为30元．
②设此时该商品销售单价为m元，
则(−2m+200)(m−30)=2000，
整理得m2−130m+4000=0，
解得m1=50，m2=80，
∵每件的售价尽可能让利给顾客，
∴此时该商品销售单价为50元．
【解析】(1)依据题意，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法求解即可；
(2)依据题意，①设该商品进价为a元，从表格中选择1列数据列一元一次方程，即可求解；②设此时该商品销售单价为m元，则周销量为(−2m+200)件，根据售价、进价、销量、利润之间的关系列一元二次方程，解方程即可．
本题主要考查二次函数的实际应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
25.【答案】BD=CE BA/​/CE
【解析】解：(1)∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE (SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴BA//CE，
故答案为：BD=CE，BA/​/CE；
(2)S△MAE−S△MDC= 3，理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE (SAS)，
∴S△ABD=S△ACE，
∵S△ACE−S△ACD=S△MAE−S△MDC，
∴S△MAE−S△MDC=S△ABD−S△ACD=S△ABC= 34AB2= 34×22= 3；
(3)由(1)(2)可知，无论点D在线段BC上还是在线段BC的延长线上，
都有△ABD≌△ACE(SAS)，BD=CE，BA/​/CE，S△MAE−S△MDC= 3，
∵S△MCD= 32，
∴S△MAE= 3+ 32=3 32，
∵BA//CE，
∴△MAE的边ME上的高=△ABC的边AB上的高= 3，
∴ME=3，
∵BA//CE，
∴△MDC∽△ADB，
∴CDBD=CMAB，
∴CD⋅AB=BD⋅CM，
设CD=x，
①当点D在线段BC上时，如图(3)，
则BD=2−x，CE=ME−CM=3−CM，
∵BD=CE，
∴2−x=3−CM，
∴CM=x+1，
∴2x=(2−x)(x+1)，
整理得：x2+x−2=0，
解得：x1=1，x2=−2(不符合题意，舍去)，
∴BD=2−x=1；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图(4)，
则BD=2+x，CE=ME+CM=3+CM，
∵BD=CE，
∴2+x=3+CM，
∴CM=x−1，
∴2x=(2+x)(x−1)，
整理得：x2−x−2=0，
解得：x1=2，x2=−1(不符合题意，舍去)，
∴BD=2+x=4；
综上所述，线段BD的长为1或4．
(1)证△ABD≌△ACE (SAS)，得BD=CE，∠B=∠ACE，再证∠BAC=∠ACE，则BA/​/CE；
(2)证△ABD≌△ACE(SAS)，得S△ABD=S△ACE，再证S△MAE−S△MDC=S△ABD−S△ACD=S△ABC，即可解决问题；
(3)由(1)(2)可知，△ABD≌△ACE(SAS)，BD=CE，BA/​/CE，S△MAE−S△MDC= 3，则S△MAE=3 32，则ME=3，再证△MDC∽△ADB，得CD⋅AB=BD⋅CM，设CD=x，①当点D在线段BC上时则BD=2−x，CE=ME−CM=3−CM，求出CM=x+1，则2x=(2−x)(x+1)，解方程即可；
②当点D在线段BC的延长线上时，解法同①．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形面积、一元二次方程的解法以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
26.【答案】(1)解：如图1，过点P作x轴的垂线PE，

∵直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，
∴∠PQR=∠PRQ，
∵PE⊥QR，
∴QE=ER=1−(−3)=4，
∴OR=ER+OE=1+4=5，
∴R(5,0)，
设直线PR的解析式为y=kx+b，把P、R代入得：
4=k+b0=5k+b，
解得：k=−1b=5，
∴PR的解析式为y=−x+5；
(2)①证明：如图2，

∵直线y=14x与双曲线y=1x交于点A、B，联立得：
y=14xy=1x，
解得：x1=2y1=12或x2=−2y2=−12，
∴A(2,12)、B(−2,−12)；
∵C的横坐标n，且在双曲线y=1x的图象上，
∴C的坐标为C(n,1n)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C代入得：
1n=nk+b−12=−2k+b，
解得：k=12nb=2−n2n，
∴BC的解析式为y=12nx+2−n2n，
∴当y=0时，x=n−2，即D(n−2,0)；
∴设直线AC的解析式为y=ex+f，将A、C代入得：
12=2e+f1n=ne+f，
解得：e=−12nf=2+n2n，
∴AC的解析式为y=−12nx+2+n2n，
∴当y=0时，x=n+2，即E(n+2,0)，
过点C作x轴的垂线CM，
∴MD=n−(n−2)=2，ME=n+2−n=2，
∴MD=ME，
∴CM垂直平分DE，
∴DC=EC，
∴∠CDA=∠CED，
∴直线AC与直线BC为“等腰三角线”；
②解：设CM交EF于点N，如图3，

∵直线AC与直线BC为“等腰三角线”，
∴CM平分∠DCE，CM垂直平分DE，
∵DF⊥x轴，
∴DF/​/CM轴，
∴∠FDC=∠DCM=∠ECM，
∴△DFE∽△MNE，
∴MNDF=ENEF=EMED=12，
∴DE+EF=2(EM+EN)，
∵∠EFD=∠DCA，
∴∠FDC=∠CEF，
∴∠FDC=∠DCM=∠ECM=∠CEF，即∠MCE=∠CEF，
∴CN=NE，
在Rt△MNE中，由勾股定理得：
EN2=22+(1n−EN)2，
解得：EN=2n+12n，
∴DE+EF=2(EM+EN)=2(2+2n+12n)=4+4n+1n．
【解析】(1)利用“等腰三角线”的性质，可知△PQR为等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出R的坐标，设直线PR的解析式为y=kx+b，将点P、R的坐标代入计算即可；
(2)①先求出直线BC、AC的解析式，再求出CM垂直平分DE，得DC=EC，求出∠CDA=∠CED，即可得答案；
②设CM交EF于点N，求出△DFE∽△MNE，得DE+EF=2(ME+NE)，再求出CN=NE，利用勾股定理求得NE，进一步解答即可得到答案．
本题考查了“等腰三角线”的性质和判定，一次函数解析式的求法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用“等腰三角线”的性质做题．销售单价x(元)
60
65
70
75
周销售量y(件)
80
70
60
50
周销售利润w(元)
2400
2450
2400
2250