2023-2024学年广东省东莞市长安实验中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞市长安实验中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图标中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. (−a)3÷(−a)=a2B. (a2)3=a5
C. a2⋅a3=a6D. a3+a2=a5
3.等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是( )
A. 20°B. 50°C. 60°D. 80°
4.科学家在实验中检测出某微生物细胞直径约为0.0000035m，将0.0000035用科学记数法表示为( )
A. 3.5×10−6B. 3.5×106C. 3.5×10−5D. 3.5×105
5.化简a−1a÷a−1a2的结果是( )
A. 1aB. aC. a−1D. 1a−1
6.在△ABE与△DBC中，BC=BE，AB=DB，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是( )
A. ∠E=∠CB. ∠ABD=∠CBE
C. ∠ABE=∠DBED. ∠A=∠D
7.若分式3xx+2有意义，则x的取值范围为( )
A. x=−2B. x≠−2C. x=0D. x≠0
8.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是( )
A. 2B. −2C. ±4D. ±8
9.如图，AC=AD，BC=BD，则有( )
A. AB垂直平分CD
B. CD垂直平分AB
C. AB与CD互相垂直平分
D. CD平分∠ACB
10.如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP/​/AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的序号为( )
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.(2x−y)(2x+y)= ______ ．
12.七边形的外角和为______ 度．
13.已知x+y=3，xy=−4，则x2y+xy2的值是______ ．
14.如图，∠ACD=90°，∠D=15°，B点在AD的垂直平分线上，若AC=4，则AB为______ ．
15.如图，∠AOB=60°，点P在∠AOB的角平分线上，OP=10cm，点E、F是∠AOB两边OA、OB上的动点，当△PEF的周长最小时，点P到EF距离是______．
三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：已知10a=2，10b=3，求10a+b的值．
17.(本小题5分)
计算：(−5xy)⋅(2x)2÷x3y.
18.(本小题7分)
某化肥厂由于采取了新技术，每天比原计划多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么该化肥厂原计划每天生产化肥多少吨？
19.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，点B、C、D在同一条直线上，FD//EC，∠D=42°，求∠B的度数．
20.(本小题7分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1)，
(1)若点A、B、C关于x轴的对称点分别为A1、B1、C1，则A1(______ ，______ )，B1(______ ，______ ，)，C1(______ ，______ )，并在图中画出△A1B1C1；
(2)求△ABC的面积．
21.(本小题8分)
如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB=DE．
(1)求∠BDE的度数；
(2)求证：△CED为等腰三角形．
22.(本小题8分)
先化简，再求值：(xx−3+1x−3)÷x2+xx2−9，其中x=3．
23.(本小题8分)
△ABC中，P是BC边上的一点，过P作直线交AB于M，交AC的延长线于N，且PM=PN，MF//AN，
(1)求证：△PMF≌△PNC；
(2)若AB=AC，求证：BM=CN．
24.(本小题10分)
仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，则x2−4x+m=(x+3)(x+n)，
即x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴n+3=−43n=m，解得m=−21n=−7．
故另一个因式为x−7，m的值为−21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式x2+3x−k有一个因式是x−5，求另一个因式以及k的值．
25.(本小题10分)
已知A(m,0)，B(0,n)，满足：|n−4|+ m+n=0．

(1)求m和n的值；
(2)如图，点D是A点左侧的x轴上一动点，连接BD，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接AB、EA，EA交BD于点G．
①求证：∠AED=∠ABD；
②当AB=AD时，求证：AE平分∠BED．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D的图象图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形，熟知轴对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：(−a)3÷(−a)=(−a)3−1=(−a)2=a2，故选项A正确；
∵(a2)3=a2×3=a6≠a5，a2⋅a3=a2+3=a5≠a6，
由于a3与a2不是同类项，不能合并，∴选项B、C、D均不正确．
故选：A．
按法则计算每一个选择支，得到结论．
本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及整式的加减．记住法则并准确运用法则是关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵等腰三角形的一个顶角为80°
∴底角=(180°−80°)÷2=50°．
故选：B．
根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．
考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．
4.【答案】A
【解析】解：0.0000035=3.5×10−6．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】B
【解析】解：a−1a÷a−1a2=a−1a×a2a−1=a．
故选B．
本题考查的是分式的除法运算，做除法运算时要转化为乘法的运算，注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
6.【答案】B
【解析】解：A、加上∠E=∠C，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
B、加上∠ABD=∠CBE可得∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，即∠ABE=∠DBC，根据SAS能证明这两个三角形全等，故此选项符合题意；
C、加上∠ABE=∠DBE，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
D、加上∠A=∠D，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据所给条件可知，应加已知边的夹角才可证明这两个三角形全等．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7.【答案】B
【解析】解：x+2≠0，
∴x≠−2
故选：B．
根据分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
8.【答案】C
【解析】解：当m=4时，x2+4x+4=(x+2)2，
当m=−4时，x2−4x+4=(x−2)2，
∴m=±4，
故选：C．
根据完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，对m进行求值即可．
本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式的基本形式是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵AC=AD，BC=BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．
故选：A．
由AC=AD，BC=BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，即可得AB垂直平分CD．
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接AP，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴∠ARP=∠ASP=90°，点P在∠BAC的平分线上，
∴PA平分∠BAC，
∴①正确；
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
由勾股定理得：AR2=AP2−PR2，AS2=AP2−PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，
∴②正确；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP/​/AR，
∴③正确；
∵没有条件能证明△BRP≌△CSP，
∴④错误；
综上，正确的序号为：①②③．
故选：A．
根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上即可推出PA平分∠BAC；根据勾股定理即可推出AS=AR；根据平行线判定推出QP//AB即可；没有条件能推出△BRP≌△CSP．
本题考查了角平分线的判定，勾股定理，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
11.【答案】4x2−y2
【解析】解：原式=(2x)2−y2
=4x2−y2．
故答案为：4x2−y2．
直接根据平方差公式进行运算即可．
此题考查了平方差公式，属于基础题，掌握平方差公式的形式是解答本题的关键．
12.【答案】360
【解析】【分析】
本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和等于360度即可求解．
【解答】
解：七边形的外角和为360°．
故答案为：360．
13.【答案】−12
【解析】解：∵x2y+xy2=xy(x+y)，
将x+y=3，xy=−4代入，
原式=−4×3=−12．
故答案为：−12．
将代数式因式分解，然后代入x+y=3，xy=−1，即可求值．
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：∵B点在AD的垂直平分线上，
∴BA=BD，
∴∠D=∠BAD=15°，
∴∠ABC=∠D+∠BAD=30°，
∵∠ACD=90°，AC=4，
∴AB=2AC=8，
故答案为：8．
利用线段垂直平分线的性质可得BA=BD，从而可得∠D=∠BAD=15°，然后利用三角形的外角性质可得∠ABC=30°，最后在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】5cm
【解析】解：作P关于OA的对称点，以及关于OB的对称点，连接两个对称点，交OA、OB分别于E、F，则此时△PEF的周长最小，
∵点P在∠AOB的角平分线上，
∴∠AOP=12∠AOB=30°，
∴直角△OPG中，PG=12OP=5cm．
∴PP1=2PG=10cm．
∴∠P1PO=60°，
∴∠P1=30°，
∴PM=12PP1=5cm．
故答案为5cm．
作P关于OA的对称点，以及关于OB的对称点，连接两个对称点，交OA、OB分别于E、F，则此时△PEF的周长最小，则PM的长度就是所求的量，利用直角三角形的性质即可求解．
本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，以及最短路径问题，正确确定E、F的位置是关键．
16.【答案】解：∵10a=2，10b=3，
∴10a+b=10a×10b=2×3=6．
【解析】根据逆用同底数幂的乘法的运算法则，即可求解．
本题考查了同底数幂的乘法，熟知同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
17.【答案】解：(−5xy)⋅(2x)2÷x3y
=(−5xy)⋅4x2÷x3y
=−20x3y÷x3y
=−20．
【解析】先算积的乘方，再算单项式的乘除法即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：设该化肥厂原计划每天生产化肥x吨，则实际每天生产(x+3)吨，
由题意得，120x=180x+3，
解得x=6．
经检验：x=6是原方程的解．
答：该化肥厂原计划每天生产化肥6吨．
【解析】设该化肥厂原计划每天生产化肥x吨，则实际每天生产(x+3)吨，根据实际生产180吨与计划生产120吨所用的时间相同，列方程求解．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
19.【答案】解：∵FD//EC，∠D=42°，
∴∠BCE=∠D=42°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB=2∠BCE=84°，
∵∠A=46°，
∴∠B=180°−84°−46°=50°．
【解析】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠BCE的度数．
根据平行线的性质得出∠BCE的度数，进而利用角平分线的定义解答即可．
20.【答案】1 −1 4 −2 3 −4
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；A1(1,−1)，B1(4,−2)，C1(3,−4)，
故答案为：1，−1；4，−2；3，−4；
(2)S△ABC=3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3=72．
(1)根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据割补法求解即可．
本题考查了作图−轴对称变换，熟记轴对称变换的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵DB=DE，
∴∠E=∠DBE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠DBC=30°，
∴∠E=∠DBE=30°，
∴∠BDE=120°；
(2)∵∠ACB=60°，∠E=30°，
∴∠CDE=∠ACB−∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE，
∴△CED是等腰三角形．
【解析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质得到∠E=∠DBE，根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=60°，求得∠DBC=30°，根据三角形的内角和即可得到结论；
(2)根据三角形的外角的性质得到∠CDE=∠ACB−∠E=30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
22.【答案】解：原式=x+1x−3÷x(x+1)(x+3)(x−3)，
=x+1x−3⋅(x+3)(x−3)x(x+1)，
=x+3x，
将x=3时，
原式=3+33=2．
【解析】根据分式的加法和除法法则进行化简，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则．
23.【答案】(1)证明：∵MF//AN，
∴∠MFP=∠NCP，
在△PMF和△PNC中，
∠MFP=∠NCP∠MPF=∠NPCPM=PN，
∴△PMF≌△PNC(AAS)；
(2)证明：由(1)得：△PMF≌△PNC，
∴FM=CN，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵MF//AN，
∴∠MFB=∠ACB，
∴∠B=∠MFB，
∴BM=FM，
∴BM=CN．
【解析】(1)由平行线的性质得出∠MFP=∠NCP，由AAS证明△PMF≌△PNC即可；
(2)由全等三角形的性质得出FM=CN，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B=∠MFB，证出BM=FM，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
24.【答案】解：设另一个因式为(x+p)，
由题意得：x2+3x−k=(x+p)(x−5)，
即x2+3x−k=x2+(p−5)x−5p，
则有p−5=3−5p=−k,
解得p=8k=40,
所以另一个因式为：(x+8)；k的值为40．
【解析】设另一个因式为(x+p)，得x2+3x−k=(x+p)(x−5)=x2+(p−5)x−5p，可知p−5=3，−5p=−k，继而求出p和k的值及另一个因式．
本题考查因式分解，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
25.【答案】(1)解：∵|n−4|+ m+n=0，
∴n−4=0，m+n=0，
解得m=−4，n=4，
∴m=−4，n=4；
(2)证明：①如图，过点E作EH⊥x轴于点H.则∠EDH+∠DEH=90°．

∵∠EDB=90°．
∴∠EDH+∠BDO=90°．
∴∠BDO=∠DEH．
在△EHD和△DOB中，
∠DEH=∠BDO∠DHE=∠BOD=90°DE=DB，
∴△EHD≌△DOB(AAS)．
∴DH=OB=OA=4，EH=OD．
而AH=DH+AD=OA+AD=OD．
∴EH=AH．
∴△EHA为等腰直角三角形，
∴∠AEH=45°=∠BAO，
又∵∠BAO=∠BDA+∠ABD，∠AEH=∠AED+∠DEH，
∴∠AED=∠ABD．
②如图，过点A作AM⊥BE交于点M，过点A作AN⊥ED延长线交于点N．

∴∠AND=∠AMB=90°，
又∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∴∠BAD=135°，
又∵∠BED=45°，四边形ABED内角和360°，
∴∠ABE+∠ADE=180°，
又∵∠ADN+∠ADE=180°，
∴∠ABE=∠ADN，
在△ABM和△ADN中，
∠AND=∠AMB=90°∠ABM=∠ADNAB=AD，
∴△ABM≌△ADN(AAS)．
∴AM=AN．
∴∠AED=∠AEB，
即AE平分∠BED．
【解析】(1)根据绝对值和二次根式的非负性求解即可；
(2)①过点E作EH⊥x轴于点H，首先根据同角的余角相等得到∠BDO=∠DEH，然后证明△EHD≌△DOB(AAS)，进而得到△EHA为等腰直角三角形，即可求解；
②过点A作AM⊥BE交于点M，过点A作AN⊥ED延长线交于点N，首先根据四边形内角和得到∠ABE=∠ADN，然后证明△ABM≌△ADN(AAS)，最后根据角平分线的性质定理的逆定理求解即可．
本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、二次根式的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．