2023-2024学年河北省廊坊市安次区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省廊坊市安次区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. ①⑤B. ②⑤C. ④⑤D. ①③
2.计算x3⋅x2的结果是( )
A. x6B. x5C. x2D. x
3.已知图中的两个三角形全等，则∠α等于( )
A. 72°B. 60°C. 58°D. 50°
4.如图中∠1是三角形一个外角的是( )
A. B.
C. D.
5.下面运算正确的是( )
A. 7m2−5m2=2B. x8÷x2=x4
C. (a−b)2=a2−b2D. (2x2)3=8x6
6.分式1x+3有意义时x的取值范围是( )
A. x≠3B. x>−3C. x≥−3D. x≠−3
7.等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长( )
A. 17B. 22C. 17或22D. 21
8.一个多边形的内角是1980°，则这个多边形的边数是( )
A. 11B. 13C. 9D. 10
9.如果x2+(n−3)x+16是个完全平方式，那么n的值是( )
A. 11B. −5C. 11或−5D. ±8
10.点P在∠AOB的平分线上，且点P到OA边的距离等于2，点Q是OB边上的任意一点，则PQ的长不可能是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11.某机床厂原计划在一定期限内生产240套机床，在实际生产中通过改进技术，结果每天比原计划多生产4套，并且提前5天完成任务．设原计划每天生产x套机床，根据题意，下列方程正确的是( )
A. 240x+5=240x+4B. 240x−5=240x+4C. 240x+5=240x−4D. 240x−5=240x−4
12.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若AC=5，AB=12.则△ACD的周长为( )
A. 5
B. 11
C. 12
D. 17
13.如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余分剪拼成一个长方形(如图②)，则上述操作所能验证的公式是( )
A. a2+ab=a(a+b)B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2−b2=(a+b)(a−b)
14.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD/​/BC.求证AB=AC．
以下是排乱的证明过程：
①又∠1=∠2，
②∴∠B=∠C，
③∵AD/​/BC，
④∴∠1=∠B，∠2=∠C，
⑤∴AB=AC．
证明步骤正确的顺序是( )
A. ③→②→①→④→⑤B. ③→④→①→②→⑤
C. ①→②→④→③→⑤D. ①→④→③→②→⑤
15.嘉琪是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a−b，x−y，x+y，a+b，x2−y2，a2−b2分别对应下列六个字：坊、爱、我、廊、丽、美，现将(x2−y2)a2−(x2−y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A. 我爱美B. 廊坊美丽C. 爱我廊坊D. 美我廊坊
16.已知△ABC是等腰三角形，BC边上的高恰好等于BC的一半，则∠BAC的度数是( )
A. 75°B. 90°或75°或25°C. 75°或15°D. 90°或75°或15°
二、填空题：本题共3小题，共12分。
17.如图，自行车的车架做成三角形的形状，该设计是利用三角形的______．
18.在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，D是BC的中点，连结AD，则∠DAC= ______ ．
19.如图，Rt△ABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M，∠A=15°，BM=2，则△AMB的面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
计算：
(1)(y+2)(y−2)−(y−1)(y+5)；
(2)x−8x−7−8=17−x．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：x−2x2−1÷x−2x2+2x+1−(1x−1+1)，其中，x=3．
22.(本小题8分)
在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A(−4,5)，C(−1,3)，A1(4,5)，B1(2,1)，△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称．
(1)在网格内完善平面直角坐标系；
(2)点B坐标是______ ，点C1坐标是______ ；
(3)求△A1B1C1的面积．
23.(本小题10分)
下面是多媒体上的一道习题：
请将下面的解题过程补充完整．
24.(本小题10分)
A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
25.(本小题10分)
在△ABC和△DBE中，∠ACB=∠DBE=90°，E是BC的中点，EF⊥AB于F，且AB=DE．
(1)观察并猜想，BD与BC有何数量关系？并证明你猜想的结论．
(2)若BD=10，试求AC的长．
26.(本小题12分)
数学课上，老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ______ DB(填“>”，“<”或“=”)．
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE ______ DB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：如图2，过点E作EF/​/BC，交AC于点F，请你完成解答过程．
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在射线AB上，点D在射线CB上，且ED=EC若△ABC的边长为1，AE=2，画出符合条件的图，求CD的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可知，①⑤不是轴对称图形，②③④是轴对称图形．
故选：A．
利用轴对称图形的定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】B
【解析】解：x3⋅x2=x3+2=x5．
故选：B．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am⋅an=am+n，计算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠α=50°．
故选：D．
直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．
本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：由三角形外角的定义可知，D选项中的∠1是三角形一个外角，其它的都不符合题意．
故选：D．
根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可．
本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：7m2−5m2=2m2，则A不符合题意；
x8÷x2=x6，则B不符合题意；
(a−b)2=a2−2ab+b2，则C不符合题意；
(2x2)3=8x6，则D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，完全平方公式，积的乘方法则将各式计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵分式1x+3有意义，
∴x的取值范围为：x≠−3．
故选：D．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：9为腰长时，三角形的周长为9+9+4=22，
9为底边长时，4+4<9，不能组成三角形，
故选：B．
分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题关键，又利用了三角形三边的关系：两边之和大于第三边．
8.【答案】B
【解析】解：根据n边形的内角和公式，得
(n−2)⋅180=1980，
解得n=14．
∴这个多边形的边数是13．
故选：B．
n边形的内角和是(n−2)⋅180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
9.【答案】C
【解析】解：∵x2+(n−3)x+16=x2+(n−3)x+42是完全平方式，
∴n−3=±(2×4)，
解得：n=11或−5，
故选：C．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出n的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的形式是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离为2，
∴点P到OB边的距离为2，
∴PQ的最小值为2．
故PQ不可能是1．
故选：A．
根据角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短即可进行解答．
本题主要考查了角平分线的性质以及垂线段最短，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
11.【答案】B
【解析】解：实际用的时间为：240x+4，
原计划用的时间为：240x，
则方程可表示为：240x−5=240x+4．
故选B．
关键描述语为：提前5天完成任务．等量关系为：原计划用的时间−5=实际用的时间．
找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
12.【答案】D
【解析】解：由作法得MN垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=5+12=17．
故选：D．
利用基本作图得到MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，然后利用等线段代换得到△ACD的周长=AC+AB．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
13.【答案】D
【解析】解：由图①得，空白图形面积=a2−b2；
由图②得，空白图形面积=(a+b)(a−b)．
故可得公式：a2−b2=(a+b)(a−b).所以可排除A，B，C选项．
所以本题答案为D．
根据题意，首先由图形分别求出面积，即可．
本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合并熟练掌握相关几何图形的面积计算方法是解题的关键．
14.【答案】B
【解析】解：∵③AD//BC，
∴④∠1=∠B，∠2=∠C，
∵①∠1=∠2，
∴②∠B=∠C，
∴⑤AB=AC，
故证明步骤正确的顺序是③→④→①→②→⑤，
故选：B．
先由平行线的性质得∠1=∠B，∠2=∠C，等量代换得到∠B=∠C，然后由等角对等边即可得出结论．
本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定和平行线的性质是解题的关键．
15.【答案】C
【解析】解：原式=(x2−y2)(a2−b2)=(x−y)(x+y)(a−b)(a+b)
由题意可知：(x−y)(x+y)(a−b)(a+b)可表示为“爱我廊坊”．
故选：C．
将原式进行因式分解即可求出答案
本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力．
16.【答案】D
【解析】解：①BC边为底边时，AD=12BC=BD=CD，
所以△ABD和△ADC为等腰直角三角形，
∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°．
②BC边为腰时可分为
和
两种情况，垂足在三角形内部时，AD=12BC=12AC，
所以∠C=30°，又因为AC=BC，所以∠BAC=∠ABC=12(180°−∠C)=75°．
垂足落在三角形外时，由图知AD=12AB，
所以∠ABD=30°，所以∠BAC=∠C=12∠ABD=15°．
故答案为D．
题中并没有告诉我们BC边是底边还是腰，又因为当BC为腰时垂足可以落在三角形内部，也可以落在外部，所以分三种情况进行讨论．
本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．做此类题时要心细，画出图形可以帮我们更好的理解此题．
17.【答案】稳定性
【解析】解：自行车的车架做成三角形，这是应用了三角形的稳定性；
故答案为：稳定性．
利用三角形的稳定性解答即可．
此题考查的是三角形具有稳定性这一性质，应注意对基础知识的掌握和理解．
18.【答案】40°
【解析】解：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵∠B=50°，
∴∠BAC=80°，
∴∠DAC=40°．
故答案为：40°．
根据等腰三角形的性质可得到AD是顶角的角平分线，再根据三角形内角和定理不难求得顶角的度数，最后根据角平分线的定义即可求解．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
19.【答案】1
【解析】解：∵Rt△ABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M，∠A=15°，BM=2，
∴AM=BM=2，∠ABM=∠A=15°，
∴∠BMC=∠A+∠ABM=30°，
∴BC=12BM=12×2=1，MC= BM2−BC2= 22−12= 3，
∴S△AMB=12AM⋅BC=12×2×1=1．
故答案为：1．
先根据线段垂直平分线的性质得出AM=BM，∠ABM=∠A=15°，再根据三角形外角的性质求出∠BMC的度数，由直角三角形的性质求出MC及BC的长，进而可得出结论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=y2−4−(y2+4y−5)
=y2−4−y2−4y+5
=1−4y；
(2)原方程去分母得：x−8−8(x−7)=−1，
去括号得：x−8−8x+56=−1，
移项，合并同类项得：−7x=−49，
系数化为1得：x=7，
检验：将x=7代入(x−7)得7−7=0，
则x=7是分式方程的增根，
故原方程无解．
【解析】(1)利用平方差公式及多项式乘多项式法则计算即可；
(2)利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查整式的运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
21.【答案】解：原式=x−2(x+1)(x−1)÷x−2(x+1)2−xx−1，
=x−2(x+1)(x−1)×(x+1)2x−2−xx−1，
=x+1x−1−xx−1，
=1x−1，
当x=3，原式=12．
【解析】要熟悉混合运算的顺序，分式的除法转化为分式的乘法运算，最后算减法，注意化简后，将x=3代入化简后的式子求出即可．
此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解，除法要统一为乘法运算是解题关键．
22.【答案】(−2,1) (1,3)
【解析】解：(1)如图所示：建立直角坐标系如下，
(2)由图可知，B(−2,1)，
∵A(−4,5)，A1(4,5)，B1(2,1)，
∴△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，如图，
∴C1(1,3)；
故答案为：(−2,1)，(1,3)；
(3)△A1B1C1的面积为3×4−12×2×1−12×2×3−12×2×4=4．
(1)根据A(−4,5)，C(−1,3)确定原点位置，然后作出坐标系即可；
(2)根据点B的位置写出点B的坐标即可，根据图形可知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，即可得到点C1坐标；
(3)分割法求出△A1B1C1的面积即可．
本题考查坐标与轴对称，根据已知点的坐标，确定原点的位置是解题的关键．
23.【答案】BD SAS 3 1 7 0.5 3.5
【解析】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图：
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
在△ADC和△EDB中，
AD=DE∠ADC=∠BDECD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴EB=AC=3，
在△ABE中，根据“三角形三边关系”可知：1又∵AE=2AD
∴0.5故答案为：BD；SAS；3；1；7；0.5；3.5．
延长AD到E，使AD=DE，连接BE，利用中线的性质及全等三角形的判定及性质可得EB=AC，再利用三角形三边关系即可求解．
本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键．
24.【答案】解：设B型机器人每小时搬运x kg化工原料，则A型机器人每小时搬运(x+30)kg化工原料．
依题意可得：900x+30=600x，
解得x=60，
经检验，x=60是原方程的解，
则x+30=90．
答：B型机器人每小时搬运60kg化工原料，则A型机器人每小时搬运90kg化工原料．
【解析】设未知数根据数量关系直接列方程求解即可．
此题考查分式方程的实际应用，解题关键是根据数量关系列方程，易错点是得到方程的解需要检验．
25.【答案】
(1)BD=BC，
证明：∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，∠FEB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠FEB，
在△ACB和△EBD中
∵∠A=∠DEB∠ACB=∠DBCAB=DE，
∴△ACB≌△EBD(AAS)，
∴BD=BC；
(2)解：∵由(1)知：△ACB≌△EBD，
∴BC=BD=10，BE=AC，
∵E为BC中点，
∴BE=12BC=5m，即AC=5m．
【解析】(1)根据三角形内角和定理求出∠A=∠DEB，根据AAS证△ACB≌△EBD，根据全等三角形性质推出即可；
(2)根据全等推出AC=BE，BC=BD=10，根据线段中点求出BE，即可求出AC．
本题考查了三角形的内角和定理，线段中点定义，全等三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
26.【答案】= =
【解析】解：(1)如图1，
∵点E是等边△ABC的边AB的中点，
∴CE⊥AC，∠ABC=60°，
∴∠BCE=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∴∠BED=∠ABC−∠D=30°=∠D，
∴BD=BE，
∵点E是AB的中点，
∴BE=AE，
∴BD=AE，
故答案为：=．
(2)过E作EF/​/BC交AC于F，如图2，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中
∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFCDE=CE，
∴△DEB≌△ECF(AAS)，
∴BD=EF=AE，
即AE=BD，
故答案为：=．
(3)过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，如图3，
则AM/​/EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=12BC=12，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AB=1，AE=2，
∴AB=BE=1，
∵EN⊥DC，AM⊥BC，
∴∠AMB=∠ENB=90°，
在△ABM和△EBN中，
∠ABM=∠EBN∠AMB=∠ENBAB=BE，
∴△AMB≌△ENB(AAS)，
∴BN=BM=12，
∴CN=1+12=32，
∴CD=2CN=3．
(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
(2)过E作EF/​/BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
(3)过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，证得△AMB≌△ENB(AAS)，进而得到BN=BM=12，CN=32，CD=2CN=3．
本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解答本题的关键是画出辅助线，构造全等的三角形．如图AD是△ABC的中线，AB=4，AC=3，求AD的取值范围．
解：延长AD至点E，使ED=AD，连接BE．
∵AD是△ABC的中线，
∴CD= ______ ，
在△ACD和△EBD中，
AD=ED∠ADC==BD，( )
∴△ACD≌△EBD(______ 填判定定理用字母表示)，
∴BE=AC= ______ ，
在△ABE中，根据“三角形三边关系”可知：______ 又∵AE=2AD，
∴ ______