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2023-2024学年安徽省阜阳市高一（上）期末数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年安徽省阜阳市高一（上）期末数学模拟试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−1A. {−1,0}B. {0,1}C. {−1,0,1}D. {−1,0,1,2}
2.2010年某高校有2400名毕业生参加国家公务员考试，其中专科生有200人，本科生有1000人，研究生有1200人，现用分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况，从中抽取一个容量为n的样本，已知从专科生中抽取的人数为10人，则n等于( )
A. 100B. 200C. 120D. 240
3.函数y=lg12(2−x−x2)的增区间为( )
A. (−∞,−12)B. (−2,−12)C. (−12,+∞)D. (−12,1)
4.函数f(x)=4x−2x的零点所在区间是( )
A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)
5.若函数f(x)的定义域为[0,4]，则函数g(x)=f(x+2)+1 x−1的定义域为( )
A. (1,2)B. (1,4)C. (1,2]D. (1,4]
6.甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制(先胜三场者获胜，比赛结束)，根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“客客主主客”，设甲队主场取胜的概率为0.5，客场取胜的概率为0.4，且各场比赛相互独立，则甲队在0：1落后的情况下最后获胜的概率为( )
A. 0.24B. 0.25C. 0.2D. 0.3
7.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则满足不等式[x]2+5[x]−14≤0解集是( )
A. [−7,−2]B. [−8,3)C. [−7,3)D. [−7,−3]
8.已知f(x)=4x−2x+2+m,x≤0x+1x,x>0的最小值为2，则m的取值范围为( )
A. (−∞,3]B. (−∞,5]C. [3,+∞)D. [5,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，下列说法正确的是( )
A. 求频率分布直方图中a的值为0.006
B. 估计该企业的职工对该部门评分的中位数为5357
C. 估计该企业的职工对该部门评分的平均值为76.5
D. 从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率为110
10.下面命题正确的是( )
A. “a>1”是“1a<1”的充分不必要条件
B. 命题“若x<1，则x2<1”的否定是“存在x<1，则x2≥1”．
C. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
11.有以下判断，其中是正确判断的有( )
A. f(x)=|x|x与g(x)=1,x≥0−1,x<0表示同一函数
B. 函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个
C. 若f(x)=|x−1|−|x|，则f(f(12))=1
D. 函数f(x)=2x2+1x2+1的最小值为2 2−2
12.已知函数f(x)=ln( x2+1+x)+2x−12x+1+3，函数g(x)满足g(−x)+g(x)=6.则( )
A. f(lg2022)+f(lg12022)=6
B. 函数g(x)的图象关于点(0,3)对称
C. 若实数a、b满足f(a)+f(b)>6，则a+b>0
D. 若函数f(x)与g(x)图象的交点为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，则x1+y1+x2+y2+x3+y3=6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.同时抛三枚均匀的硬币，则事件“恰有2个正面朝上”的概率为______．
14.若函数f(x)=a−22x−1是奇函数，则a=______．
15.已知函数f(x)的定义域为R，f(1)=3，对任意两个不等的实数a，b都有f(a)−f(b)a−b>1，则不等式f(x2−x−1)16.方程 −x2+4x−3=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
化简下列式子并求值：
(1)lg14−2lg73+lg7−lg18；
(2)(278)−23−(499)0.5+(0.2)−2×225−(0.081)0．
18.(本小题12分)
已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是13，12，14，面试合格的概率分别是12，13，23．
(1)求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
(2)求甲、乙两位考生中且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
(3)求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．
19.(本小题12分)
已知正数x，y满足x+y=1．
(1)求xy的最大值；
(2)求1x+2y+1的最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x−a2x+1(a∈R)是奇函数．
(1)求a的值，并判断f(x)的单调性(不必说明理由)；
(2)若存在x∈(1,2)，使不等式f(x)−(2x+1)b>0成立，求实数b的取值范围．
21.(本小题12分)
某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如图频率分布直方图：
(1)已知样本中分数在[40,50)的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
(2)试估计测评成绩的第三四分位数；
(3)已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(1x+ax+a−3)(a≥0)
(1)当a=0时，求f(x)有意义时x的取值范围；
(2)若f(x)在x>0时都有意义，求实数a的取值范围；
(3)若关于x的方程f(x)=lg2(2x+a−3)+1有且仅有一个解，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
进行交集的运算即可．
本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：∵A={x|−1∴A∩B={0,1}．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：每个个体被抽到的概率为10200=120，则n=2400×120=120，
故选：C．
先求出每个个体被抽到的概率，用总体数量乘以每个个体被抽到的概率就等于容量n的值．
本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．
3.【答案】D
【解析】解：设t=2−x−x2(−2函数y=lg12(2−x−x2)即为y=lg12t，
由y=lg12t在t∈(0,+∞)递减，
可得函数y=lg12(2−x−x2)的增区间即为t=2−x−x2(−2而设t=2−x−x2在(−12,1)上递减，
故选：D．
由复合函数的单调性，以及对数函数、二次函数的单调性，可得所求增区间．
本题考查复合函数的单调性，以及对数函数、二次函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A，当x<0时，4x<0，2x>0，∴f(x)<0，∴f(x)在(−1,0)内无零点，A错误；
对于B，当x从正方向无限趋近于0时，4x→+∞，则f(x)→+∞；又f(1)=4−2=2，∴f(x)在(0,1)内无零点，B错误；
对于C，∵f(1)=4−2=2，f(2)=2−4=−2，且f(x)在(1,2)上连续，∴f(x)在(1,2)内有零点，C正确；
对于D，f(2)=2−4=−2，f(3)=43−8=−203，∴f(x)在(2,3)内无零点，D错误．
故选：C．
根据零点存在定理依次判断各选项中区域端点处的符号即可．
本题考查函数零点存在定理的应用，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)的定义域为[0,4]，
对于函数g(x)=f(x+2)+1 x−1，
则0≤x+2≤4x−1>0，解得1即函数g(x)=f(x+2)+1 x−1的定义域为(1,2]．
故选：C．
根据题意可得出关于x的不等式组，由此可解得函数g(x)的定义域．
本题考查了求函数的定义域问题，考查转化思想，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可知，甲队在第一场比赛输了，若甲队在0：1落后的情况下最后获胜，分以下几种情况讨论：
①甲队在第二、三、四场比赛都获胜，概率为P1=0.4×0.52=0.1；
②甲队在第二场比赛输了，在第三、四、五场比赛获胜，概率为P2=0.6×0.52×0.4=0.06；
③甲队在第二、四、五场比赛获胜，在第三场比赛输了，概率为P3=0.4×0.52×0.4=0.04；
④甲队在第二、三、五场比赛获胜，在第四场比赛输了，概率为P4=0.4×0.52×0.4=0.04．
综上所述，所求概率为0.1+0.06+0.04×2=0.24．
故选：A．
对甲队在后几场的比赛结果进行分类讨论，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率．
本题考查独立事件和互斥事件的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由不等式[x]2+5[x]−14≤0，解得−7≤[x]≤2，
因为[x]表示不超过x的最大整数，所以−7≤x<3，
故不等式[x]2+5[x]−14≤0解集为[−7,3)．
故选：C．
由一元二次不等式的解法结合题设条件求解即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：f(x)=4x−2x+2+m,x≤0x+1x,x>0，
当x>0时，f(x)=x+1x≥2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立；
∴若f(x)=4x−2x+2+m,x≤0x+1x,x>0的最小值为2，
则x≤0时，4x−2x+2+m≥2恒成立，
即m≥−4x+4⋅2x+2在(−∞,0]上恒成立，
令t=2x，则m≥−t2+4t+2在t∈(0,1]上恒成立，
而g(t)=−t2+4t+2在t∈(0,1]上为增函数，
∴−t2+4t+2≤−1+4+2=5，则m≥5．
∴m的取值范围为[5,+∞)．
故选：D．
利用基本不等式求得x>0是函数的最小值为2，问题转化为x≤0时，4x−2x+2+m≥2恒成立，即m≥−4x+4⋅2x+2在(−∞,0]上恒成立，换元后利用二次函数的单调性求最值，即可得到m的取值范围．
本题考查分段函数的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：选项A，由图可知，(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1，所以a=0.006，故A正确；
选项B，中位数为：70+0.05−×10=5357，故B正确；
选项C，平均值为：(45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018)×10=76.2，故C错误；
选项D，评分在[40,60)职工有(0.004+0.006)×10×50=5人，评分在[40,50)职工有0.004×10×50=2人，故概率为：C22C52=110，故D正确；
故选：ABD．
结合频率分布直方图的性质，对选项进行逐项分析验证，即可解出．
本题考查了古典概型的概率，学生的数学运算能力，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，a>1时，1a<1，充分性成立，
1a<1时，有a<0或a>1，必要性不成立，是充分不必要条件，所以A正确；
对于B，命题“任意x<1，则x2<1”的否定是“存在x<1，则x2≥1”，所以B正确；
对于C，x，y∈R，则x≥2且y≥2时，x2+y2≥4，充分性成立，
x2+y2≥4时，不能得出x≥2且y≥2，必要性不成立，是充分不必要条件，所以C错误；
对于D，设a，b∈R，a≠0时，不能得出ab≠0，充分性不成立；
“ab≠0”时，得出a≠0，必要性成立，是必要不充分条件，所以D正确．
故选：ABD．
分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD是否正确；
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，判断选项B是否正确．
本题考查了命题真假的判断问题，也考查了充分条件与必要条件的判断问题，是基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(x)的定义域为R，故不是相等函数，A错误；
对于B，根据函数的定义可知，当y=f(x)的定义域中含有1时，函数y=f(x)与x=1有一个交点(1,f(1))，
当y=f(x)的定义域中不含1时，函数y=f(x)与x=1没有交点，故B正确；
对于C，因为f(x)=|x−1|−|x|，则f(12)=0，所以f(f(12))=1，故C正确．
对于D，函数f(x)=2(x2+1)+1x2+1−2≥2 2(x2+1)×1x2+1−2=2 2−2，当且仅当(x2+1)2=12时取等号，该方程无解，即该等号不成立，故D错误；
故选：BC．
A根据相等函数的概念来判断；B根据函数的定义来判断；C直接代值计算；D基本不等式求最值时的适用条件来判断．
本题主要考查了函数的定义，以及判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A选项，由函数f(x)=ln( x2+1+x)+2x−12x+1+3，函数定义域为R，
则f(−x)=ln( x2+1−x)+2−x−12−x+1+3=ln( x2+1−x)−2x−12x+1+3，
所以f(−x)+f(x)=ln( x2+1+x)+2x−12x+1+3+ln( x2+1−x)−2x−12x+1+3
=ln( x2+1+x)( x2+1−x)+2x−12x+1+3−2x−12x+1+3=6，
所以f(−x)+f(x)=6，
所以f(lg2022)+f(lg12022)=f(lg2022)+f(−lg2022)=6.，A选项正确；
对于B选项，因为g(x)满足g(−x)+g(x)=6，g(x)的图象关于点(0,3)成中心对称，故B选项正确；
对于C选项，设h(x)=ln( x2+1+x)+2x−12x+1，则h(−x)+h(x)=0，
则h(x)为奇函数，由函数单调性的性质可知，
当x>0时，y=ln( x2+1+x)单调递增，y=2x−12x+1=1−22x+1单调递增，
所以h(x)单调递增，所以h(x)在R上为增函数，
则f(x)=h(x)+3也为R上的增函数，
因为实数a、b满足f(a)+f(b)>6，且f(−a)+f(a)=6，
则f(a)+f(b)>f(−a)+f(a)，即f(b)>f(−a)，所以b>−a，即a+b>0.故C选项正确；
对于D选项，由f(−x)+f(x)=6，g(−x)+g(x)=6，
所以f(x)的图象关于点(0,3)成中心对称，g(x)的图象也关于点(0,3)成中心对称，
令x=0，则f(0)=3，g(0)=3，
因为函数f(x)与g(x)图象的交点为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，
不妨设x1则y1+y2+y3=9.故D选项错误．
故选：ABC．
利用函数f(x)=ln( x2+1+x)+2x−12x+1+3的解析式可知，f(−x)+f(x)=6，即可判断A；
由g(−x)+g(x)=6即可判断B选项；
利用函数单调性的性质可判断函数f(x)=ln( x2+1+x)+2x−12x+1+3的单调性，即可判断C选项；
根据两个函数的对称性即可判断D选项．
本题考查了对数型、指数型函数的性质、考查了复合函数的奇偶性、单调性及对称性，属于中档题．
13.【答案】38
【解析】解：每枚硬币正面朝上的概率为12，正面朝上的次数X～B(3,12)，
故恰有2枚正面朝上的概率为∁32(12)2×12=38，
故答案为：38．
利用二项分布可解．
本题考查二项分布相关知识，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：因为函数的定义域为R，所以f(0)=0．
所以a−220+1=0，a=1．
所以f(x)=1−22x+1．
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(−x)=−f(x)即1−22−x+1=−(1−22x+1)，
所以1−2×2x2x+1=−1+22x+1，所以a=1．
故答案为：1．
由奇函数的性质得到f(0)=0，所以得到a=1，再结合奇函数的定义f(−x)=−f(x)解出a=1即可得到答案．
解决此类问题的关键是熟练掌握奇函数的定义以及判断充要条件时实际就是解题的等价过程，充要条件的判断一般与其他知识相结合出现在选择题或填空题中．
15.【答案】(−1,2)
【解析】解：不妨令a>b，则f(a)−f(b)a−b>1等价于f(a)−f(b)>a−b，
可得f(a)−a>f(b)−b，
构造函数h(x)=f(x)−x，则h(x)是R上的增函数，
因为f(1)=3，
所以f(x2−x−1)即h(x2−x−1)所以x2−x−1<1，解得−1所以不等式f(x2−x−1)故答案为：(−1,2)．
推导出函数h(x)=f(x)−x为R上的增函数，将所求不等式变形为h(x2−x−1)本题主要考查了函数的单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】[0, 24)
【解析】解：设f(x)= −x2+4x−3，如图所示，表示以(2,0)为圆心，1为半径的半圆，
由圆心(2,0)到y=ax+a的距离|3a| a2+1=1，
可得a= 24，
∵方程 −x2+4x−3=ax+a有两个不相等的实数根，
∴实数a的取值范围为[0, 24).
故答案为[0, 24).
设f(x)= −x2+4x−3，如图所示，表示以(2,0)为圆心，1为半径的半圆，由圆心(2,0)到y=ax+a的距离|3a| a2+1=1，可得a= 24，结合图象可得结论．
本题考查方程根的研究，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．
17.【答案】解：(1)lg14−2lg73+lg7−lg18=lg2+lg7−2(lg7−lg3)+lg7−(lg2+lg9)=lg2+lg7−2lg7+2lg3+lg7−lg2−2lg3=0．
(2)(278)−23−(499)0.5+(0.2)−2×225−(0.081)0=(3827)2− 499+52×225−1=49−73+1=−89．
【解析】(1)将式子用对数运算公式lgcab=lgca+lgcb,lgcab=lgca−lgcb，lgcab=blgca等展开合并化简即可求值；
(2)将式子用分数指数幂运算公式a−1=1a,amn=(na)m=nam等，进行化简求值即可．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设事件A表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，
则P(A)=13×12=16；
(2)设事件B表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，则P(B)=12×13=16，
则甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：
P=P(AB−+A−B)=P(A)P(B−)+P(A−)P(B)=16×56+56×16=518；
(3)设事件C表示获得该高校综合评价录取资格”，
则P(C)=14×23=16，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：P=1−P(A−B−C−)=1−56×56×56=91216．
【解析】(1)设事件A、B、C分别为“甲、乙、丙获得该高校综合评价录取资格”，根据独立事件概率计算方法可直接求出P(A)、P(B)、P(C)由此可得答案；
(2)结合(1)知甲、乙两位考生中且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率概率为P=P(AB−+A−B)=P(A)P(B−)+P(A−)P(B)，计算即可；
(3)先计算其对立事件概率，从而求解．
本题考查独立事件概率计算，对立事件的概率，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵x+y=1，x>0，y>0，
∴xy≤(x+y2)2=14，当且仅当x=y=12时等号成立，
故xy的最大值是14；
(2)∵x+y=1，即x+y+1=2
∴1x+2y+1=12(x+y+1)(1x+2y+1)=12(3+y+1x+2xy+1)=12(3+2 y+1x⋅2xy+1)=3+2 22，当且仅当y+1x=2xy+1,y+1= 2x,x=2 2−2,y=3−2 2时等号成立，
故1x+2y+1的最小值为3+2 22．
【解析】(1)利用基本不等式，即可得出答案；
(2)由x+y=1，则x+y+1=2，则1x+2y+1=12(x+y+1)(1x+2y+1)，利用基本不等式，即可得出答案．
本题考查基本不等式的应用，考查转化思想和整体思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意得f(0)=1−a2=0，
所以a=1，此时f(x)=2x−12x+1，经检验符合题意，
又f(x)=2x−12x+1=1−21+2x单调递增；
(2)若存在x∈(1,2)，使不等式f(x)−(2x+1)b>0成立，
所以b<2x−1(1+2x)2=1+2x−2(1+2x)2=11+2x−2(1+2x)2，
设t=11+2x，由x∈(1,2)可得t∈(15,13)，
即存在t∈(15,13)使得b根据二次函数的性质可知，当t=14时，(t−2t2)max=18，
所以b<18，
故b的取值范围为{b|b<18}.
【解析】(1)由已知结合奇函数的性质f(0)=0代入可求a，然后判断单调性；
(2)由已知不等式先进行分离参数，转化为求解相应函数的最值，结合二次函数的性质可求．
本题主要考查了基本初等函数的奇偶性及单调性的应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，二次函数性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，分数在[50,90)的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，
在样本中分数在[50,90)的人数为100×0.9=90人，
在样本中分数在[40,90)的人数为95人，
所以估计总体中分数在[40,90)的人数为400×0.95=380人，总体中分数小于40的人数为20人．
(2)测试成绩从低到高排序，样本中分数在[40,70)的频率为0.4，
样本中分数在[40,80)的频率为0.8，则75%分位数在[70,80)之间，
所以估计测评成绩的75%分位数为70+10×0.75−0.40.8−0.4=70+8.75=78.75．
(3)总样本的均值为34×70+14×80=72.5，
所以总样本的方差为s总2=34[10+(72.5−70)2]+14[12+(72.5−80)2]=1174．
【解析】(1)由频率分布直方图数据求解；
(2)由频率分布直方图数据求解；
(3)由平均数与方差的计算公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数、均值和方差的计算，属于基础题．
22.【答案】解：(1)要使f(x)=lg2(1x+ax+a−3)(a≥0)有意义，则1x+ax+a−3>0，
∵a=0，即1x−3>0，解得0所以x的取值范围为{x|0(2)f(x)在x>0时都有意义，即1x+ax+a−3>0在x>0时恒成立，
即ax2+(a−3)x+1>0在x>0时恒成立，
即a>3x−1x2+x=3x−1x21+1x在x>0时恒成立，只需a>g(x)max即可，
令g(x)=3x−1x21+1x，x>0，
令t=1x>0，h(t)=3t−t21+t=−(t+1)−4t+1+5，
∵t>0，(t+1)+4t+1≥2 (t+1)⋅4t+1=4，
当且仅当t+1=4t+1，且t>0，即t=1时等号成立，
∴h(t)=−(t+1)−4t+1+5=−(t+1+4t+1)+5≤−4+5=1，
∴g(x)≤1，即g(x)最大值为1，
∴a>1，即实数a的取值范围是(1,+∞)．
(3)由已知，f(x)=lg2(2x+a−3)+1=lg2(4x+2a−6)有且仅有一个解，
即lg2(4x+2a−6)=lg2(1x+ax+a−3)有且仅有一个解，
即4x+2a−6=1x+ax+a−3有且仅有一个解，
显然x≠0，则(a−4)x2−(a−3)x+1=0有且仅有一个解，
当a=4时，方程化为−x+1=0，解得x=1满足；
当a≠4时，一元二次方程(a−4)x2−(a−3)x+1=0有且只有一个解，
则Δ=(a−3)2−4(a−4)=a2−10a+25=0，此时a=5，x=1只有一个解．
综上所述，a=4或a=5．
【解析】(1)真数部分大于0，求解不等式即可；
(2)由题意可转化为1x+ax+a−3>0在x>0时恒成立，分离a，可转化为求最值的问题；
(3)方程有且仅有一个解，可转化为(a−4)x2−(a−3)x+1=0有且仅有一个解，讨论a与0的关系即可解出．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，对数函数的性质，不等式的解法，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
1.已知集合A={x|−1
2.2010年某高校有2400名毕业生参加国家公务员考试，其中专科生有200人，本科生有1000人，研究生有1200人，现用分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况，从中抽取一个容量为n的样本，已知从专科生中抽取的人数为10人，则n等于( )
A. 100B. 200C. 120D. 240
3.函数y=lg12(2−x−x2)的增区间为( )
A. (−∞,−12)B. (−2,−12)C. (−12,+∞)D. (−12,1)
4.函数f(x)=4x−2x的零点所在区间是( )
A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)
5.若函数f(x)的定义域为[0,4]，则函数g(x)=f(x+2)+1 x−1的定义域为( )
A. (1,2)B. (1,4)C. (1,2]D. (1,4]
6.甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制(先胜三场者获胜，比赛结束)，根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“客客主主客”，设甲队主场取胜的概率为0.5，客场取胜的概率为0.4，且各场比赛相互独立，则甲队在0：1落后的情况下最后获胜的概率为( )
A. 0.24B. 0.25C. 0.2D. 0.3
7.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则满足不等式[x]2+5[x]−14≤0解集是( )
A. [−7,−2]B. [−8,3)C. [−7,3)D. [−7,−3]
8.已知f(x)=4x−2x+2+m,x≤0x+1x,x>0的最小值为2，则m的取值范围为( )
A. (−∞,3]B. (−∞,5]C. [3,+∞)D. [5,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，下列说法正确的是( )
A. 求频率分布直方图中a的值为0.006
B. 估计该企业的职工对该部门评分的中位数为5357
C. 估计该企业的职工对该部门评分的平均值为76.5
D. 从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率为110
10.下面命题正确的是( )
A. “a>1”是“1a<1”的充分不必要条件
B. 命题“若x<1，则x2<1”的否定是“存在x<1，则x2≥1”．
C. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
11.有以下判断，其中是正确判断的有( )
A. f(x)=|x|x与g(x)=1,x≥0−1,x<0表示同一函数
B. 函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个
C. 若f(x)=|x−1|−|x|，则f(f(12))=1
D. 函数f(x)=2x2+1x2+1的最小值为2 2−2
12.已知函数f(x)=ln( x2+1+x)+2x−12x+1+3，函数g(x)满足g(−x)+g(x)=6.则( )
A. f(lg2022)+f(lg12022)=6
B. 函数g(x)的图象关于点(0,3)对称
C. 若实数a、b满足f(a)+f(b)>6，则a+b>0
D. 若函数f(x)与g(x)图象的交点为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，则x1+y1+x2+y2+x3+y3=6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.同时抛三枚均匀的硬币，则事件“恰有2个正面朝上”的概率为______．
14.若函数f(x)=a−22x−1是奇函数，则a=______．
15.已知函数f(x)的定义域为R，f(1)=3，对任意两个不等的实数a，b都有f(a)−f(b)a−b>1，则不等式f(x2−x−1)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
化简下列式子并求值：
(1)lg14−2lg73+lg7−lg18；
(2)(278)−23−(499)0.5+(0.2)−2×225−(0.081)0．
18.(本小题12分)
已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是13，12，14，面试合格的概率分别是12，13，23．
(1)求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
(2)求甲、乙两位考生中且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
(3)求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．
19.(本小题12分)
已知正数x，y满足x+y=1．
(1)求xy的最大值；
(2)求1x+2y+1的最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x−a2x+1(a∈R)是奇函数．
(1)求a的值，并判断f(x)的单调性(不必说明理由)；
(2)若存在x∈(1,2)，使不等式f(x)−(2x+1)b>0成立，求实数b的取值范围．
21.(本小题12分)
某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如图频率分布直方图：
(1)已知样本中分数在[40,50)的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
(2)试估计测评成绩的第三四分位数；
(3)已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(1x+ax+a−3)(a≥0)
(1)当a=0时，求f(x)有意义时x的取值范围；
(2)若f(x)在x>0时都有意义，求实数a的取值范围；
(3)若关于x的方程f(x)=lg2(2x+a−3)+1有且仅有一个解，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
进行交集的运算即可．
本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：∵A={x|−1
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：每个个体被抽到的概率为10200=120，则n=2400×120=120，
故选：C．
先求出每个个体被抽到的概率，用总体数量乘以每个个体被抽到的概率就等于容量n的值．
本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．
3.【答案】D
【解析】解：设t=2−x−x2(−2
由y=lg12t在t∈(0,+∞)递减，
可得函数y=lg12(2−x−x2)的增区间即为t=2−x−x2(−2
故选：D．
由复合函数的单调性，以及对数函数、二次函数的单调性，可得所求增区间．
本题考查复合函数的单调性，以及对数函数、二次函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A，当x<0时，4x<0，2x>0，∴f(x)<0，∴f(x)在(−1,0)内无零点，A错误；
对于B，当x从正方向无限趋近于0时，4x→+∞，则f(x)→+∞；又f(1)=4−2=2，∴f(x)在(0,1)内无零点，B错误；
对于C，∵f(1)=4−2=2，f(2)=2−4=−2，且f(x)在(1,2)上连续，∴f(x)在(1,2)内有零点，C正确；
对于D，f(2)=2−4=−2，f(3)=43−8=−203，∴f(x)在(2,3)内无零点，D错误．
故选：C．
根据零点存在定理依次判断各选项中区域端点处的符号即可．
本题考查函数零点存在定理的应用，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)的定义域为[0,4]，
对于函数g(x)=f(x+2)+1 x−1，
则0≤x+2≤4x−1>0，解得1
故选：C．
根据题意可得出关于x的不等式组，由此可解得函数g(x)的定义域．
本题考查了求函数的定义域问题，考查转化思想，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可知，甲队在第一场比赛输了，若甲队在0：1落后的情况下最后获胜，分以下几种情况讨论：
①甲队在第二、三、四场比赛都获胜，概率为P1=0.4×0.52=0.1；
②甲队在第二场比赛输了，在第三、四、五场比赛获胜，概率为P2=0.6×0.52×0.4=0.06；
③甲队在第二、四、五场比赛获胜，在第三场比赛输了，概率为P3=0.4×0.52×0.4=0.04；
④甲队在第二、三、五场比赛获胜，在第四场比赛输了，概率为P4=0.4×0.52×0.4=0.04．
综上所述，所求概率为0.1+0.06+0.04×2=0.24．
故选：A．
对甲队在后几场的比赛结果进行分类讨论，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率．
本题考查独立事件和互斥事件的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由不等式[x]2+5[x]−14≤0，解得−7≤[x]≤2，
因为[x]表示不超过x的最大整数，所以−7≤x<3，
故不等式[x]2+5[x]−14≤0解集为[−7,3)．
故选：C．
由一元二次不等式的解法结合题设条件求解即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：f(x)=4x−2x+2+m,x≤0x+1x,x>0，
当x>0时，f(x)=x+1x≥2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立；
∴若f(x)=4x−2x+2+m,x≤0x+1x,x>0的最小值为2，
则x≤0时，4x−2x+2+m≥2恒成立，
即m≥−4x+4⋅2x+2在(−∞,0]上恒成立，
令t=2x，则m≥−t2+4t+2在t∈(0,1]上恒成立，
而g(t)=−t2+4t+2在t∈(0,1]上为增函数，
∴−t2+4t+2≤−1+4+2=5，则m≥5．
∴m的取值范围为[5,+∞)．
故选：D．
利用基本不等式求得x>0是函数的最小值为2，问题转化为x≤0时，4x−2x+2+m≥2恒成立，即m≥−4x+4⋅2x+2在(−∞,0]上恒成立，换元后利用二次函数的单调性求最值，即可得到m的取值范围．
本题考查分段函数的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：选项A，由图可知，(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1，所以a=0.006，故A正确；
选项B，中位数为：70+0.05−×10=5357，故B正确；
选项C，平均值为：(45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018)×10=76.2，故C错误；
选项D，评分在[40,60)职工有(0.004+0.006)×10×50=5人，评分在[40,50)职工有0.004×10×50=2人，故概率为：C22C52=110，故D正确；
故选：ABD．
结合频率分布直方图的性质，对选项进行逐项分析验证，即可解出．
本题考查了古典概型的概率，学生的数学运算能力，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，a>1时，1a<1，充分性成立，
1a<1时，有a<0或a>1，必要性不成立，是充分不必要条件，所以A正确；
对于B，命题“任意x<1，则x2<1”的否定是“存在x<1，则x2≥1”，所以B正确；
对于C，x，y∈R，则x≥2且y≥2时，x2+y2≥4，充分性成立，
x2+y2≥4时，不能得出x≥2且y≥2，必要性不成立，是充分不必要条件，所以C错误；
对于D，设a，b∈R，a≠0时，不能得出ab≠0，充分性不成立；
“ab≠0”时，得出a≠0，必要性成立，是必要不充分条件，所以D正确．
故选：ABD．
分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD是否正确；
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，判断选项B是否正确．
本题考查了命题真假的判断问题，也考查了充分条件与必要条件的判断问题，是基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(x)的定义域为R，故不是相等函数，A错误；
对于B，根据函数的定义可知，当y=f(x)的定义域中含有1时，函数y=f(x)与x=1有一个交点(1,f(1))，
当y=f(x)的定义域中不含1时，函数y=f(x)与x=1没有交点，故B正确；
对于C，因为f(x)=|x−1|−|x|，则f(12)=0，所以f(f(12))=1，故C正确．
对于D，函数f(x)=2(x2+1)+1x2+1−2≥2 2(x2+1)×1x2+1−2=2 2−2，当且仅当(x2+1)2=12时取等号，该方程无解，即该等号不成立，故D错误；
故选：BC．
A根据相等函数的概念来判断；B根据函数的定义来判断；C直接代值计算；D基本不等式求最值时的适用条件来判断．
本题主要考查了函数的定义，以及判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A选项，由函数f(x)=ln( x2+1+x)+2x−12x+1+3，函数定义域为R，
则f(−x)=ln( x2+1−x)+2−x−12−x+1+3=ln( x2+1−x)−2x−12x+1+3，
所以f(−x)+f(x)=ln( x2+1+x)+2x−12x+1+3+ln( x2+1−x)−2x−12x+1+3
=ln( x2+1+x)( x2+1−x)+2x−12x+1+3−2x−12x+1+3=6，
所以f(−x)+f(x)=6，
所以f(lg2022)+f(lg12022)=f(lg2022)+f(−lg2022)=6.，A选项正确；
对于B选项，因为g(x)满足g(−x)+g(x)=6，g(x)的图象关于点(0,3)成中心对称，故B选项正确；
对于C选项，设h(x)=ln( x2+1+x)+2x−12x+1，则h(−x)+h(x)=0，
则h(x)为奇函数，由函数单调性的性质可知，
当x>0时，y=ln( x2+1+x)单调递增，y=2x−12x+1=1−22x+1单调递增，
所以h(x)单调递增，所以h(x)在R上为增函数，
则f(x)=h(x)+3也为R上的增函数，
因为实数a、b满足f(a)+f(b)>6，且f(−a)+f(a)=6，
则f(a)+f(b)>f(−a)+f(a)，即f(b)>f(−a)，所以b>−a，即a+b>0.故C选项正确；
对于D选项，由f(−x)+f(x)=6，g(−x)+g(x)=6，
所以f(x)的图象关于点(0,3)成中心对称，g(x)的图象也关于点(0,3)成中心对称，
令x=0，则f(0)=3，g(0)=3，
因为函数f(x)与g(x)图象的交点为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，
不妨设x1
故选：ABC．
利用函数f(x)=ln( x2+1+x)+2x−12x+1+3的解析式可知，f(−x)+f(x)=6，即可判断A；
由g(−x)+g(x)=6即可判断B选项；
利用函数单调性的性质可判断函数f(x)=ln( x2+1+x)+2x−12x+1+3的单调性，即可判断C选项；
根据两个函数的对称性即可判断D选项．
本题考查了对数型、指数型函数的性质、考查了复合函数的奇偶性、单调性及对称性，属于中档题．
13.【答案】38
【解析】解：每枚硬币正面朝上的概率为12，正面朝上的次数X～B(3,12)，
故恰有2枚正面朝上的概率为∁32(12)2×12=38，
故答案为：38．
利用二项分布可解．
本题考查二项分布相关知识，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：因为函数的定义域为R，所以f(0)=0．
所以a−220+1=0，a=1．
所以f(x)=1−22x+1．
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(−x)=−f(x)即1−22−x+1=−(1−22x+1)，
所以1−2×2x2x+1=−1+22x+1，所以a=1．
故答案为：1．
由奇函数的性质得到f(0)=0，所以得到a=1，再结合奇函数的定义f(−x)=−f(x)解出a=1即可得到答案．
解决此类问题的关键是熟练掌握奇函数的定义以及判断充要条件时实际就是解题的等价过程，充要条件的判断一般与其他知识相结合出现在选择题或填空题中．
15.【答案】(−1,2)
【解析】解：不妨令a>b，则f(a)−f(b)a−b>1等价于f(a)−f(b)>a−b，
可得f(a)−a>f(b)−b，
构造函数h(x)=f(x)−x，则h(x)是R上的增函数，
因为f(1)=3，
所以f(x2−x−1)
推导出函数h(x)=f(x)−x为R上的增函数，将所求不等式变形为h(x2−x−1)
16.【答案】[0, 24)
【解析】解：设f(x)= −x2+4x−3，如图所示，表示以(2,0)为圆心，1为半径的半圆，
由圆心(2,0)到y=ax+a的距离|3a| a2+1=1，
可得a= 24，
∵方程 −x2+4x−3=ax+a有两个不相等的实数根，
∴实数a的取值范围为[0, 24).
故答案为[0, 24).
设f(x)= −x2+4x−3，如图所示，表示以(2,0)为圆心，1为半径的半圆，由圆心(2,0)到y=ax+a的距离|3a| a2+1=1，可得a= 24，结合图象可得结论．
本题考查方程根的研究，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．
17.【答案】解：(1)lg14−2lg73+lg7−lg18=lg2+lg7−2(lg7−lg3)+lg7−(lg2+lg9)=lg2+lg7−2lg7+2lg3+lg7−lg2−2lg3=0．
(2)(278)−23−(499)0.5+(0.2)−2×225−(0.081)0=(3827)2− 499+52×225−1=49−73+1=−89．
【解析】(1)将式子用对数运算公式lgcab=lgca+lgcb,lgcab=lgca−lgcb，lgcab=blgca等展开合并化简即可求值；
(2)将式子用分数指数幂运算公式a−1=1a,amn=(na)m=nam等，进行化简求值即可．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设事件A表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，
则P(A)=13×12=16；
(2)设事件B表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，则P(B)=12×13=16，
则甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：
P=P(AB−+A−B)=P(A)P(B−)+P(A−)P(B)=16×56+56×16=518；
(3)设事件C表示获得该高校综合评价录取资格”，
则P(C)=14×23=16，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：P=1−P(A−B−C−)=1−56×56×56=91216．
【解析】(1)设事件A、B、C分别为“甲、乙、丙获得该高校综合评价录取资格”，根据独立事件概率计算方法可直接求出P(A)、P(B)、P(C)由此可得答案；
(2)结合(1)知甲、乙两位考生中且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率概率为P=P(AB−+A−B)=P(A)P(B−)+P(A−)P(B)，计算即可；
(3)先计算其对立事件概率，从而求解．
本题考查独立事件概率计算，对立事件的概率，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵x+y=1，x>0，y>0，
∴xy≤(x+y2)2=14，当且仅当x=y=12时等号成立，
故xy的最大值是14；
(2)∵x+y=1，即x+y+1=2
∴1x+2y+1=12(x+y+1)(1x+2y+1)=12(3+y+1x+2xy+1)=12(3+2 y+1x⋅2xy+1)=3+2 22，当且仅当y+1x=2xy+1,y+1= 2x,x=2 2−2,y=3−2 2时等号成立，
故1x+2y+1的最小值为3+2 22．
【解析】(1)利用基本不等式，即可得出答案；
(2)由x+y=1，则x+y+1=2，则1x+2y+1=12(x+y+1)(1x+2y+1)，利用基本不等式，即可得出答案．
本题考查基本不等式的应用，考查转化思想和整体思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意得f(0)=1−a2=0，
所以a=1，此时f(x)=2x−12x+1，经检验符合题意，
又f(x)=2x−12x+1=1−21+2x单调递增；
(2)若存在x∈(1,2)，使不等式f(x)−(2x+1)b>0成立，
所以b<2x−1(1+2x)2=1+2x−2(1+2x)2=11+2x−2(1+2x)2，
设t=11+2x，由x∈(1,2)可得t∈(15,13)，
即存在t∈(15,13)使得b
所以b<18，
故b的取值范围为{b|b<18}.
【解析】(1)由已知结合奇函数的性质f(0)=0代入可求a，然后判断单调性；
(2)由已知不等式先进行分离参数，转化为求解相应函数的最值，结合二次函数的性质可求．
本题主要考查了基本初等函数的奇偶性及单调性的应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，二次函数性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，分数在[50,90)的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，
在样本中分数在[50,90)的人数为100×0.9=90人，
在样本中分数在[40,90)的人数为95人，
所以估计总体中分数在[40,90)的人数为400×0.95=380人，总体中分数小于40的人数为20人．
(2)测试成绩从低到高排序，样本中分数在[40,70)的频率为0.4，
样本中分数在[40,80)的频率为0.8，则75%分位数在[70,80)之间，
所以估计测评成绩的75%分位数为70+10×0.75−0.40.8−0.4=70+8.75=78.75．
(3)总样本的均值为34×70+14×80=72.5，
所以总样本的方差为s总2=34[10+(72.5−70)2]+14[12+(72.5−80)2]=1174．
【解析】(1)由频率分布直方图数据求解；
(2)由频率分布直方图数据求解；
(3)由平均数与方差的计算公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数、均值和方差的计算，属于基础题．
22.【答案】解：(1)要使f(x)=lg2(1x+ax+a−3)(a≥0)有意义，则1x+ax+a−3>0，
∵a=0，即1x−3>0，解得0
即ax2+(a−3)x+1>0在x>0时恒成立，
即a>3x−1x2+x=3x−1x21+1x在x>0时恒成立，只需a>g(x)max即可，
令g(x)=3x−1x21+1x，x>0，
令t=1x>0，h(t)=3t−t21+t=−(t+1)−4t+1+5，
∵t>0，(t+1)+4t+1≥2 (t+1)⋅4t+1=4，
当且仅当t+1=4t+1，且t>0，即t=1时等号成立，
∴h(t)=−(t+1)−4t+1+5=−(t+1+4t+1)+5≤−4+5=1，
∴g(x)≤1，即g(x)最大值为1，
∴a>1，即实数a的取值范围是(1,+∞)．
(3)由已知，f(x)=lg2(2x+a−3)+1=lg2(4x+2a−6)有且仅有一个解，
即lg2(4x+2a−6)=lg2(1x+ax+a−3)有且仅有一个解，
即4x+2a−6=1x+ax+a−3有且仅有一个解，
显然x≠0，则(a−4)x2−(a−3)x+1=0有且仅有一个解，
当a=4时，方程化为−x+1=0，解得x=1满足；
当a≠4时，一元二次方程(a−4)x2−(a−3)x+1=0有且只有一个解，
则Δ=(a−3)2−4(a−4)=a2−10a+25=0，此时a=5，x=1只有一个解．
综上所述，a=4或a=5．
【解析】(1)真数部分大于0，求解不等式即可；
(2)由题意可转化为1x+ax+a−3>0在x>0时恒成立，分离a，可转化为求最值的问题；
(3)方程有且仅有一个解，可转化为(a−4)x2−(a−3)x+1=0有且仅有一个解，讨论a与0的关系即可解出．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，对数函数的性质，不等式的解法，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
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