2023-2024学年天津市耀华中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市耀华中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是( )
A. x+y+1=0B. x+y−1=0C. x−y+1=0D. x−y−1=0
2.M(x0,y0)为圆x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为( )
A. 相切B. 相交C. 相离D. 相切或相交
3.圆(x+2)2+y2=4与圆(x−2)2+(y−1)2=9的位置关系为
( )
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
4.空间四边形ABCD中，若向量AB=(−3,5,2)，CD=(−7,−1,−4)点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为( )
A. (2,3,3)
B. (−2,−3,−3)
C. (5,−2,1)
D. (−5,2,−1)
5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？( )
A. 6斤B. 7斤C. 9斤D. 15斤
6.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=( )
A. 152B. 172C. 314D. 334
7.等比数列{an}中，a1=512，公比q=−12，用Mn表示它的前n项之积，即Mn=a1⋅a2⋅a3…an，则数列{Mn}中的最大项是( )
A. M11B. M10C. M9D. M8
8.已知数列{an}的前n项之和Sn=n2−4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为( )
A. 61B. 65C. 67D. 68
9.以双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点F，与y轴交于P，Q两点，若|PQ|=2 33|OF|，则双曲线C的离心率是( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
10.对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数.已知数列{an}的通项公式an=1 n+1+ n，前n项和为Sn，则[S1]+[S2]+…+[S30]=( )
A. 65B. 67C. 74D. 82
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知离心率为3 55的双曲线C：x2a2−y24=1(a>0)的左焦点与抛物线y2=2mx的焦点重合，则实数m= ______ ．
12.直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2−2mx−2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m= ______ ．
13.已知数列{an}满足an+1an=n+2n(n∈N∗)，且a1=1，则an=______．
14.若数列{an}的通项公式an=(−1)n⋅(3n−2)，则数列{an}的前2023项的和= ______ ．
15.等差数列{an} 中，Sn是它的前n项和，且S6S8，则
①此数列的公差d0)的左、右焦点F1，F2，离心率为12，点M是椭圆上的动点，△MF1F2的最大面积是 3．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)圆E经过椭圆的左右焦点，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于两点P，Q，且PQ=λOA(λ≠0)．
(i)求直线OA的斜率；
(ii)当△APQ的面积取到最大值时，求直线l的方程．
18.(本小题10分)
已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈N*，定义bn=an+1−an．
(Ⅰ)若bn=n+1，
(i)求a3的值和数列{an}的通项公式；
(ii)求数列{1an}的前n项和Sn；
(Ⅱ)若bn+1=bn+2bn(n∈N*)，且b=2，b2=3，求数列{bn}的前2022项的和．
19.(本小题10分)
已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项an；
(2)求数列{n2an}的前n项和Tn；
(3)若存在n∈N*，使得an≥(n+1)λ成立，求实数λ的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：易知点C为(−1,0)，
因为直线x+y=0的斜率是−1，
所以与直线x+y=0垂直直线的斜率为1，
所以要求直线方程是y=x+1即x−y+1=0．
故选C．
先求C点坐标和与直线x+y=0垂直直线的斜率，再由点斜式写出直线方程．
本题主要考查两直线垂直的条件和直线方程的点斜式，同时考查圆一般方程的圆心坐标．
2.【答案】C
【解析】解：由圆的方程得到圆心坐标为(0,0)，半径r=a，
由M为圆内一点得到： x02+y02a2a=a=r，
所以直线与圆的位置关系为：相离．
故选：C．
由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．
此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径，属于基础题．
求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．
【解答】
解：圆(x+2)2+y2=4的圆心C1(−2,0)，半径r=2．
圆(x−2)2+(y−1)2=9的圆心C2(2,1)，半径R=3，
两圆的圆心距d= 2−(−2)2+1−02= 17，
R+r=5，R−r=1，
R+r>d>R−r，
所以两圆相交，
故选：B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了向量的线性运算、向量坐标运算，属于基础题．
点E，F分别为线段BC，AD的中点，O为空间内任一点，可得EF=OF−OE，OF=12(OA+OD)，OE=12(OB+OC)，代入计算即可得出．
【解答】
解：∵AB=(−3,5,2)，∴BA=(3,−5,−2)，
∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，O为空间内任一点，
∴EF=OF−OE，OF=12(OA+OD)，OE=12(OB+OC)，
∴EF=12(OA+OD)−12(OB+OC)
=12(BA+CD)
=12[(3,−5,−2)+(−7,−1,−4)]
=12(−4,−6,−6)
=(−2,−3,−3)．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由每一尺的重量构成等差数列{an}，a1=4，a5=2，利用求和公式即可得出．
【解答】
解：由每一尺的重量构成等差数列{an}，a1=4，a5=2，
∴该金锤共重5×(4+2)2=15斤．
故选D．
6.【答案】C
【解析】解：设由正数组成的等比数列{an}的公比为q，则q>0，
由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，
∴S3=a1+a2+a3=1q2+1q+1=7，解得q=12，或q=−13(舍去)，
∴a1=1q2=4，
∴S5=4×(1−125)1−12=314
故选：C
由题意可得a3=1，再由S3=1q2+1q+1=7可得q=12，进而可得a1的值，由求和公式可得．
本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题设an=512⋅(−12)n−1，
∴Mn=a1⋅a2⋅a3…an=[512×(−12)0]×[512×(−12)1]×[512×(−12)2]×…×[512×(−12)n−1]=512n×(−12)1+2+3+…+(n−1)
=(−1)n(n−1)2⋅2n(19−n)2
∵n(19−n)2=−12[(n−192)2−3614]，
∴n=9或10时，2n(19−n)2取最大值，且n=9时，(−1)n(n−1)2=1；n=10时，(−1)n(n−1)2=−1，
∴M9最大．
故选：C．
确定数列的通项，求出Mn，即可求得数列{Mn}中的最大项．
本题考查等比数列的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题．此题若直接用列举法可很简明求解：a1=512，a2=−256，a3=128，a4=−64，a5=32，a6=−16，a7=8，a8=−4，a9=2，a10=−1，当n≥11时，|an|0，M10