2023-2024学年黑龙江省龙东地区五校高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省龙东地区五校高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.与−37°角终边相同的角是( )
A. 37°B. 367°C. −323°D. −397°
2.已知集合A={x∈Z|x2−x−2≤0}，则集合A的非空真子集的个数为( )
A. 6B. 7C. 14D. 15
3.“x>y”是“x3−y>x2y−x”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.要得到函数f(x)=sin(2x−π6)的图象，可以将函数g(x)=cs(2x−π3)的图象( )
A. 向右平移π6个单位长度B. 向左平移π6个单位长度
C. 向右平移π3个单位长度D. 向左平移π3个单位长度
5.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为89cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为( )
A. 22cmB. 26cmC. 28cmD. 30cm
6.2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N=N0(12)t5730(N0表示碳14原有的质量).经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的516，据此推测该石制品生产的时间距今约(参考数据：ln2≈0.69，ln5≈1.61)( )
A. 9560年B. 9550年C. 8370年D. 8230年
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=lg2x+2x−5，则不等式(x−1)f(x)>0的解集为( )
A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−2,0)∪(2,+∞)
C. (−2,0)∪(0,1)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,1)∪(2,+∞)
8.已知4−a=2a，b=lg95+lg23，5a+12a=13c，则( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. a>c>b
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，同时满足①在(0,π4)上是增函数；②为奇函数；③最小正周期为π的是( )
A. y=sin2xB. y=cs2xC. y=tanxD. y=tan2x
10.已知m>0，n>0，m+n=mn，则( )
A. m≥2B. mn≥4C. m+n≥4D. 2m+n≥6
11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )
A. π是函数y=|f(3x)+1|的一个周期
B. x=2π是函数f(x)的图象的一条对称轴
C. 函数f(x)在[−π,−2π3]上单调递减
D. ∀x∈[π6,2π3]，f(x)> 2恒成立
12.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)=2−x−1,x≤0f(x−1)−f(x−2),x>0，则下列结论中正确的是( )
A. f(0)=0B. x>0时，f(x+6)=f(x)
C. f(2023)+f(2024)=0D. f(x)在[−2024,2024]上有675个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知α∈{−2,−1,−12,12,1,2}，若幂函数f(x)=xα为偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则α的取值集合是______ ．
14.若函数f(x)=lga(ax−2)(a>0且a≠1)在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是______ ．
15.已知α∈(0,π2)，且tan(π4+α)=32cs2α，则sin2α= ______ ．
16.已知函数f(x)=sinπx,x∈[−4,4]lg2024(x−3),x∈(4,+∞)，若满足f(x1)=f(x2)=…=f(x9)(x1,x2,…,x9互不相等)，则x1+x2+…+x9的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知角α的终边过点P(1,m)，且sinα=2 55．
(1)求tanα的值；
(2)若tan(α−β)=−1，求tan2β的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=lgax+b(a>0且a≠1)的图象经过点(2,0)和(12,−2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若[f(x)]2−2f(x)−3=0，求实数x的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(π2−x2)cs(3π2−x2)−2 3sin2x2+ 3．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[0,π]上的单调性及最值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2+3x+2(a<0)．
(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(b,2)，求a，b的值；
(2)当x∈[−2,0]时，f(2x)≤−4x+1−2x+3恒成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
对于定义域为D的函数f(x)，如果存在区间[a,b]⊆D，使得f(x)在区间[a,b]上是单调函数，且函数y=f(x)，x∈[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]是函数y=f(x)的一个“保值区间”．
(1)判断函数y=(x−2)2−4(x∈[2,+∞))和函数y=6−8x(x>0)是否存在“保值区间”，如果存在，写出符合条件的一个“保值区间”(直接写出结论，不要求证明)；
(2)如果[a,b]是函数f(x)=m+2m−4m2x(m≠0)的一个“保值区间”，求b−a的最大值．
22.(本小题12分)
已知点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))是函数f(x)= 2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<0)图象上的任意两点，f(0)=−1，且当|f(x1)−f(x2)|=2 2时，|x1−x2|的最小值为π．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若方程af(x)+sin2x−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：与−37°角终边相同的角的集合为{θ|θ=−37°+k⋅360°,k∈Z}形式，
令k=−1可得，θ=−397°，所以−37°与−397°终边相同，其他选项均不合题意．
故选：D．
首先写出与−37°角终边相同的角的集合，再赋值k，即可判断选项．
本题考查终边相同角的概念，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由不等式x2−x−2≤0，解得−1≤x≤2，所以集合A={−1,0,1,2}，
所以集合A的非空真子集的个数为24−2=14．
故选：C．
首先求解集合A，再代入其非空真子集的个数的公式．
本题主要考查非空真子集个数的求解，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，可得x3−y−(x2y−x)=x3−x2y+x−y=x2(x−y)+x−y=(x2+1)(x−y)，
当x>y时，可推出(x2+1)(x−y)>0，即x3−y>x2y−x成立，
反之，由x3−y>x2y−x>0，即(x2+1)(x−y)>0，也可以得到x>y．
因此，“x>y”是“x3−y>x2y−x”的充要条件．
故选：C．
根据题意，利用不等式的性质，结合充要条件的定义进行正反论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的性质、充要条件的定义等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：要得到函数f(x)=sin(2x−π6)的图象，可以将函数g(x)=cs(2x−π3)的图象向右平移π6个单位，即y=cs(2x−2π3)=cs(2x−π2−π6)=sin(2x−π6)的图象．
故选：A．
直接利用三角函数的诱导公式和函数的图象的平移变换求出结果．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：如图，设弧AB的长为acm，弧CD的长为bcm．
因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5，所以a=2.5OA，b=2.5OC，
即OA=a2.5，OC=b2.5，因为AC=OA−OC=a−b2.5=18，
所以a−b=45.又因为a+b=89，联立可得a−b=45a+b=89，解得a=67b=22，
所以该扇环的内弧长为22cm．
故选：A．
设弧AB的长为acm，弧CD的长为bcm，根据弧长公式结合已知可推得a−b=45.结合已知条件得出方程组，求解即可得出答案．
本题考查弧长公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意，N0(12)t5730=516N0，即(12)t5730=516，
所以t5730ln12=ln516，
所以t=5730ln516ln12=5730(ln5−4ln2)−ln2=5730×(4−ln5ln2)≈9550．
故选：B．
由题意得N0(12)t5730=516N0，再结合指对互化的知识以及对数的运算性质可得答案．
本题考查了指数函数模型的应用，指数式与对数式的互化，对数的运算性质的应用，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：当x>0时，f(x)=lg2x+2x−5单调递增，又f(2)=1+4−5=0，
故当x∈(0,2)时，f(x)<0，当x∈(2,+∞)时，f(x)>0，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x∈(−2,0)时，f(x)>0，
当x∈(−∞,−2)时，f(x)<0．
若x>1，(x−1)f(x)>0.故f(x)>0，解集为(2,+∞)；
若x<1，(x−1)f(x)>0，故f(x)<0，解集为(−∞,−2)∪(0,1)，
综上，解集为(−∞,−2)∪(0,1)∪(2,+∞)．
故选：D．
由于x>0时f(x)=lg2x+2x−5单调递增，且f(2)=0，则x∈(0,2)时，f(x)<0，x∈(2,+∞)时，f(x)>0，再结合奇偶性即可得x∈(−2,0)时，f(x)>0，
x∈(−∞,−2)时，f(x)<0，分x>1和x<1两种情况讨论即可得解集．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：显然函数f(a)=4−a−2a在R上单调递减，
f(1)>0，f(2)<0，
则1又b=lg95+lg23>lg94+lg23=lg32+lg23=lg32+1lg32>2，则b>2；
由5a+12a=13c，得(513)a+(1213)a=13c−a，而函数y=(513)x+(1213)x在R上单调递减，
则13c−a=(513)a+(1213)a>(513)2+(1213)2=1，因此c−a>0，即c>a，
又1故选：B．
根据给定条件，构造函数并判断单调性，结合零点存在性定理，借助中间值比较大小即得．
本题考查指对运算及函数单调性应用，是基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于函数y=sin2x，满足①在(0,π4)上是增函数；②为奇函数；③最小正周期为2π2=π，
故A满足题意．
对于函数y=cs2x在(0,π4)上是减函数；为偶函数；最小正周期为2π2=π，
故B不满足题意．
对于函数y=tanx满足①在(0,π4)上是增函数；②为奇函数；③最小正周期为π，
故C满足题意．
对于函数y=tan2x在(0,π4)上是增函数，为奇函数，最小正周期为π2，
故D不满足题意．
故选：AC．
由题意，利用三角函数的奇偶性、单调性、周期性，得出结论．
本题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、周期性，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：由m+n=mn，得n=mm−1.又m>0，n>0，所以m>1，取m=32，则n=3，此时m<2，A错误；
因为m>0，n>0，mn=m+n≥2 mn(当且仅当m=n时取等号)，所以 mn≥2，mn≥4，B正确；
因为m>0，n>0，m+n=mn≤(m+n2)2(当且仅当m=n时取等号)，所以m+n≥4成立，故C正确；
因为m>0，n>0，m+n=mn，所以1m+1n=1，
2m+n=(2m+n)(1m+1n)=3+nm+2mn≥3+2 2，
当且仅当n= 2m时取等号，联立m+n=mnn= 2m，解得m=1+ 22,n= 2+1，
而3+2 2<6，故D错误．
故选：BC．
首先由条件可得n=mm−1，结合m>0，n>0，即可判断A；利用基本不等式判断BC，利用“1”的妙用，变形2m+n=(2m+n)(1m+1n)，展开后，利用基本不等式，即可判断D．
本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由题图得f(0)=2sinφ=1，|φ|<π2，所以φ=π6，
因为f(3π2)=2sin(3ωπ2+π6)=−1，ω>0，所以3ωπ2+π6=7π6，
解得ω=23，所以f(x)=2sin(23x+π6)，
对于A，f(3x)+1=2sin(2x+π6)+1，设g(x)=|f(3x)+1|=|2sin(2x+π6)+1|，
g(x+π)=|2sin[2(x+π)+π6]+1|=|2sin(2x+2π+π6)+1|=|2sin(2x+π6)+1|=g(x)，
π是函数g(x)的一个周期，故A正确；
对于B，当x=2π时，有f(x)=2sin(23×2π+π6)=2sin3π2=−2，此时函数取最小值2，故B正确；
对于C，x∈[−π,−2π3]时，23x+π6∈[−π2,−5π18]，因为y=sinx在[−π2,−5π18]上单调递增，
所以函数y=f(x)在[−π,−2π3]上单调递增，故C错误；
对于D，因为x∈[π6,2π3]，23x+π6∈[5π18,11π18]，
因为函数y=sinx在区间[5π18,π2]上单调递增，在区间[π2,11π18]上单调递减，
所以f(x)≥2sin5π18>2sinπ4= 2，故D正确．
故选：ABD．
根据图像可得f(0)=2sinφ=1，f(3π2)=2sin(3ωπ2+π6)=−1，求出函数解析式，然后利用周期函数的定义，判断A；
利用代入法，结合三角函数的图象和性质，判断BC；
根据f(x)的最小值，结合不等式的性质，判断D．
本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对A，f(0)=20−1=0，A正确；
对B，当x>0时，f(x)=f(x−1)−f(x−2)，即f(x+2)=f(x+1)−f(x)，
则f(x+3)=f(x+2)−f(x+1)，即得f(x+3)=−f(x)，则f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，B正确；
对C，f(2023)=f(337×6+1)=f(1)=f(0)−f(−1)=0−1=−1，
f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=f(1)−f(0)=−1，C错误；
对D，当x<0时，f(x)=2−x−1>0，此时函数无零点；
由于f(0)=0，则f(6)=f(5)−f(4)=f(4)−f(3)−f(4)=−f(3)=f(0)=0，故f(3)=0，
则f(0)=f(3)=f(6)=f(9)=f(12)=⋯=f(2022)=0，由于2022=3×674，
故f(x)在[−2024,2024]上有675个零点，D正确．
故选：ABD．
直接将x=0代入即可求得f(0)，则A可判断；利用递推关系即可求得f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，则B可判断；由B选项的结论可得f(2023)=f(337×6+1)，f(2024)=f(337×6+2)，再结合分段函数解析式，即可判断C；当x<0时，f(x)=2−x−1>0，此时函数无零点；由于f(0)=0，结合B选项的结论，可得f(x)在[−2024,2024]上的零点个数．
本题考查函数的零点的计算，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】{−2}
【解析】解：因为幂函数f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减，所以α<0，
当α=−2时，f(x)=x−2，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
又f(−x)=(−x)−2=x−2=f(x)，故f(x)=x−2为偶函数，满足要求．
当α=−1时，f(x)=x−1，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，又f(−x)=−x−1=−f(x)，
故f(x)=x−1为奇函数，舍去．
当α=−12时，f(x)=x−12，定义域为(0,+∞)，故不为偶函数，故舍去．
综上，α的取值集合是为{−2}．
故答案为：{−2}．
由题意，首先由幂函数为单调递减函数，确定α为负数，再分别代入α的取值，判断函数是否为偶函数，即可确定α的取值．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
14.【答案】(2,+∞)
【解析】解：根据题意，设t=ax−2，则y=lgat，
由于a>0且a≠1，则t=ax−2在[1,2]上单调递增，
若函数f(x)=lga(ax−2)(a>0且a≠1)在[1,2]上单调递增，
必有a>1a−2>0，解可得a>2，即a的取值范围为(2,+∞)．
故答案为：(2,+∞)．
根据题意，设t=ax−2，则y=lgat，分析t=ax−2的单调性，结合复合函数单调性的判断方法可得a>1a−2>0，解可得答案．
本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
15.【答案】13
【解析】解；由tan(π4+α)=32cs2α，
可得sin(π4+α)cs(π4+α)=32cs2α=32sin(π2+2α)，
即sin(π4+α)cs(π4+α)=3sin(π4+α)cs(π4+α)．
由于α∈(0,π2)，故π4+α∈(π4,3π4)，则sin(π4+α)≠0，
所以有1cs(π4+α)=3cs(π4+α)，则cs2(π4+α)=13，
所以有1+cs(π2+2α)2=1−sin2α2=13，解得sin2α=13．
故答案为：13．
根据已知切化弦结合二倍角公式化简，再根据角的范围得出sin(π4+α)≠0，整理推得1−sin2α2=13，求解即可得出答案．
本题考查两角和差公式，属于中档题．
16.【答案】[0,2023)
【解析】解：根据题意，作出函数f(x)=sinπx,x∈[−4,4]lg2024(x−3),x∈(4,+∞)图象，
不妨设x1如图，根据三角函数的对称性得x1+x22=−72，x3+x42=−32，x5+x62=12，x7+x82=52，
所以x1+x2+⋯+x8=−4，另一方面x9=4或0即x9∈[4,2027)，所以x1+x2+⋯+x9=−4+x9∈[0,2023)．
故答案为：[0,2023)．
首先作出函数f(x)，并利用三角函数的对称性和对数函数的性质，求得x1+x2+⋯+x9的取值范围．
本题考查三角函数的性质，考查零点的性质，考查函数的性质，属于难题．
17.【答案】解：(1)由题意，sinα=m 1+m2=2 55，解得m=2，
则tanα=2；
(2)∵tanβ=tan[α−(α−β)]=tanα−tan(α−β)1+tanα⋅tan(α−β)=2−(−1)1+2×(−1)=−3，
∴tan2β=2tanβ1−tan2β=−61−9=34．
【解析】(1)根据任意角三角函数的定义求解即可；
(2)根据正切的两角和差公式计算即可．
本题考查两角和差的正切公式，考查任意角三角函数的定义，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题可知：f(2)=lga2+b=0与f(12)=lga12+b=−2，
解得：a=2，b=−1，
所以f(x)=lg2x−1，x>0；
(2)由[f(x)]2−2f(x)−3=0可知f(x)=−1或f(x)=3，
又由(1)可知lg2x−1=−1或lg2x−1=3，
解得：x=1或x=16．
【解析】(1)联立f(2)=lga2+b=0与f(12)=lga12+b=−2，从而可求出参数a、b的值；
(2)利用f(x)=−1或f(x)=3，结合f(x)的解析式即可求出实数x的值；
本题考查考查了的对数的运算及对数函数的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵f(x)=2csx2⋅(−sinx2)− 3(1−csx)+ 3= 3csx−sinx=2cs(x+π6)，
∴f(x)的最小正周期T=2π1=2π；
(2)∵x∈[0,π]，
∴x+π6∈[π6,7π6]，
当x∈[0,5π6]，x+π6∈[π6,π]，
当x∈[5π6,π]，x+π6∈[π,7π6]，
∴f(x)的单调减区间为[0,5π6]，增区间为[5π6,π]，
f(x)min=f(5π6)=−2，f(x)max=f(0)= 3．
【解析】(1)化简得f(x)=2cs(x+π6)，即可求得f(x)的最小正周期；
(2)利用余弦函数的性质可求得f(x)在区间[0,π]上的单调性及最值．
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦函数的单调区间与最值的求法，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意，由一元二次不等式的解法可得，
b和2都是方程ax2+3x+2=0的根且b<2，
由韦达定理可得b+2=−3a2b=2a，解得a=−2b=−12．
故a=−2，b=−12．
(2)因为f(x)=ax2+3x+2，所以f(2x)=a(2x)2+3×2x+2．
则f(2x)≤−4x+1−2x+3可化为a(2x)2+3×2x+2≤−4x+1−2x+3，
整理可得(a+4)(2x)2+4⋅2x−1≤0．
令t=2x，x∈[−2,0]，所以t∈[14,1]，
则上式可化为(a+4)t2+4t−1≤0在[14,1]上恒成立，
即a≤(1t)2−4t−4在[14,1]上恒成立．
令h(t)=(1t)2−4t−4，
因为h(t)=(1t)2−4t−4=(1t−2)2−8，
所以当1t=2时，即t=12时，h(t)min=−8，所以a≤−8．
又因为a<0，所以实数a的取值范围为(−∞,−8]．
【解析】(1)根据已知结合一元二次不等式的解法，列出方程组，求解即可得出答案；
(2)代入整理可得(a+4)t2+4t−1≤0在[14,1]上恒成立，即a≤(1t)2−4t−4在[14,1]上恒成立．令h(t)=(1t)2−4t−4，根据二次函数的性质，求出函数令h(t)的最小值，即可得出答案．
本题考查了一元二次不等式的解法、转化思想及二次函数的性质，属于中档题．
21.【答案】解：(1)假设函数y=(x−2)2−4存在“保值区间”为[a,b]，
易知y=(x−2)2−4在[2,+∞)上单调递增，
则有(a−2)2−4=a(b−2)2−4=b得a=0或a=5，b=0或b=5，
又a故y=(x−2)2−4不存在保值区间；
而y=6−8x(x>0)是增函数，假设其存在“保值区间”为[a,b]，
则有6−8a=a6−8b=ba(2)易知f(x)=1+2m−4m2x(m≠0)在(−∞,0)和(0,+∞)上都是增函数，
因此保值区间[a,b]⊆(−∞，0)或[a,b]⊆(0，+∞)，
由题意f(a)=af(b)=b，所以f(x)=x有两个同号的不等实根x1，x2，
由f(x)=1+2m−4m2x=x⇒m2x2−(m2+2m)x+4=0，
所以Δ=(m2+2m)2−16m2>0⇒m2(m+6)(m−2)>0，
解得m<−6或m>2
且x1x2=4m2>0⇒x1，x2同号，x1+x2=m2+2mm2=m+2m>0，满足题意，
所以b−a=|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= (m+2)2m2−16m2
= −12m2+4m+1= −12(1m−16)2+43，
因为m<−6或m>2，所以当1m=16，即m=6时，(b−a)max= 43=2 33．
故b−a的最大值是2 33．
【解析】(1)首先根据“保值区间”的定义，列式f(a)=af(b)=b，并判断是否存在满足条件的a和b；
(2)首先由题意转化为方程f(x)=x在区间(−∞,0)或(0,+∞)有2个解，再利用“保值区间”的定义转化b−a=|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2，再代入韦达定理，转化为二次函数求最值问题．
本题考查函数新定义，以及函数的单调性，函数的零点问题的综合应用，本题的关键是理解“保值区间”的定义，从而转化为方程f(x)=x解的问题，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意f(0)= 2sinφ=−1，sinφ=− 22，
因为−π2<φ<0，所以φ=−π4，
又因为当|f(x1)−f(x2)|=2 2时，|x1−x2|的最小值为π，
所以12T=π|ω|=π，即T=2π，ω=1，
所以f(x)= 2sin(x−π4)．
(2)方程af(x)+sin2x−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解，
即2sinxcsx+a(sinx−csx)−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解，
令sinx−csx=t，所以t=sinx−csx= 2sin(x−π4)，
由−π4≤x≤π2，所以−π2≤x−π4≤π4，
所以− 2≤ 2sin(x−π4)≤1，则− 2≤t≤1，
因为(sinx−csx)2=t2，所以2sinxcsx=1−t2，
所以2sinxcsx+a(sinx−csx)−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解，
等价于1−t2+at−a−1=0在[− 2,1]上有解，即a(t−1)=t2在[− 2,1]上有解，
①t=1时，方程无解；
②t∈[− 2,1)时，a=t2t−1有解，即a=t2t−1=t−1+1t−1+2在t∈[− 2,1)有解，
令h(t)=t−1+1t−1+2，t∈[− 2,1)，则t−1∈[−1− 2,0),−(t−1)∈(0,1+ 2]，
则h(t)=−[−(t−1)+1−(t−1)]+2≤−2 −(t−1)⋅1−(t−1)+2=0，
当且仅当−(t−1)=1−(t−1)，即t=0时，等号成立，
所以h(t)=t−1+1t−1+2的值域为(−∞,0]，
所以a=t2t−1=t−1+1t−1+2，在t∈[− 2,1)有解等价于a≤0．
综上：实数a的取值范围为(−∞,0]．
【解析】(1)先代入f(0)=−1，求φ，再由条件求得函数的最小正周期，即可求ω，求得函数的解析式；
(2)先整理方程为2sinxcsx+a(sinx−csx)−a−1=0，再运用换元法，设sinx−csx=t，并求得t的取值范围，参变分离，转化为a=t2t−1在区间[− 2,1]上有解，利用基本不等式求实数a的取值范围．
本题考查了三角恒等变换、三角函数的性质、对勾函数的性质及基本不式的应用，考查运算求解能力，是中档题．