2023-2024学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.cs2π3=( )
A. 12B. 32C. −12D. − 32
2.“a=b”是“ac=bc”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.将这一事实表示成一个不等式为( )
A. ab4.已知点(1,−3)在角θ的终边上，则tan(θ+π4)的值为( )
A. −12B. −2C. 12D. 2
5.如图中，①②③④中不属于函数y=3x，y=2x，y=(12)x中一个的是( )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
6.已知f(x)=x2+1,x≥02x,x<0，若f(a)=5，则实数a为( )
A. −2或2B. 2或52C. −2或52D. 2
7.已知a=lg52，b=1lg0.20.5，c=8−13，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A. a8.定义在R上的函数f(x)满足：f(x+1)是奇函数，且函数y=f(x)的图象与函数y=1x−1的交点为(x1,y1)(x2,y2)，…，(xm,ym)，则x1+x2+⋯+xm=( )
A. 0B. m2C. mD. 2m
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合A={x∈R|x2−1=0}，则( )
A. 0∈AB. 1∈A
C. A∪{x∈R|x2+1=0}=AD. A∩{x∈R|x≤1}=A
10.下列说法正确的是( )
A. 1080°与720°的终边相同
B. 若α=2rad，则csα>0
C. 若α是第二象限角，则α2是第一象限角
D. 已知某扇形的半径为2，面积为π，那么此扇形的弧长为π
11.教材中用二分法求方程2x+3x−7=0的近似解时，设函数f(x)=2x+3x−7来研究，通过计算列出了它的对应值表：
分析表中数据，则下列说法正确的是( )
A. h>0
B. 方程2x+3x−7=0有实数解
C. 若精确度到0.1，则近似解可取为1.375
D. 若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375
12.已知函数f(x)=ex−1,x≥m−x2−4x−4,xA. 函数f(x)至少有1个零点
B. 函数f(x)至多有1个零点
C. 当m<−3时，若x1≠x2，则f(x1)−f(x2)x1−x2>0
D. 当m=0时，方程f[f(x)]=0恰有4个不同实数根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题“∃x∈R，x2+x−1<0“的否定是______ ．
14.已知函数f(x)在R上单调递增，若f(lg2m)>f(1)，则实数m的取值范围为______ ．
15.已知指数函数y=f(x)和幂函数y=g(x)的图象都过点P(12,2)，若f(x1)=g(x2)=4，则x1x2= ______ ．
16.立德学校为了表彰在体育运动会上表现优秀的班级，特制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，∠PBA=∠QAB=π3，∠AOB=2θ(0<θ<π2)，AQ=PQ=PB，则PQ= ______ (用θ表示)，据调研发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时θ的值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x2−7x+10<0}，B={x|a−2(1)求∁UA；
(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=xx2+1．
(1)判断f(x)的奇偶性，并根据定义证明；
(2)判断函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调性，并根据定义证明．
19.(本小题12分)
已知角α是第二象限角，它的终边与单位圆交于点P(m,n)．
(1)若n=35，求2sin(π+α)+cs(−α)cs(π2+α)+2csα的值；
(2)若cs(α−π4)= 1010，求m的值．
20.(本小题12分)
某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300(万元)引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产x(单位：百台)另需投入成本C(x)(万元)，当年产量不足50(百台)时，C(x)=10x2+200x(万元)；当年产量不小于50(百台)时，C(x)=602x+100002x−50−4500(万元)，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完．
(1)求年利润L(x)(万元)关于年产量x(百台)的函数解析式；(利润=销售额一投入成本−固定成本)
(2)当年产量为多少时，年利润L(x)最大？并求出最大年利润．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=4csxsin(x+π3)− 3,x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递减区间；
(2)设函数g(x)=f(x+π12)+4csx−1，求函数g(x)在[−π6,5π6]上的最大值、最小值．
22.(本小题12分)
定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x,−10，a≠1，且f(1)=e，其中e是自然对数的底，e=2.71828…．
(1)求a的值；
(2)当x≥0时，求函数f(x)的解析式；
(3)若存在x2>x1≥0，满足f(x2)=ef(x1)，求x1⋅f(x2)的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：cs2π3=cs(π−π3)=−csπ3=−12
故选：C．
直接利用诱导公式得出所求的式子等于−csπ3，然后根据特殊角的三角函数值得出结果．
本题考查了三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：当a=b时，两边都乘以c，可得ac=bc，充分性成立；
当ac=bc时，可能c=0，得到不到a=b，必要性不成立．
综上所述，“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件．
故选：A．
根据充分必要条件的定义，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查充要条件的定义及其判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：这一事实表示成一个不等式为：ab证明如下：b>a>0，m>0，
则ab−a+mb+m=a(b+m)−b(a+m)b(b+m)=m(a−b)b(b+m)<0，即abab故选：B．
先表示不等式，再结合作差法证明，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为点(1,−3)在角θ的终边上，
所以tanθ=−3，
则tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=−3+11−(−3)=−12．
故选：A．
由已知利用任意角的三角函数的定义可求tanθ的值，进而利用两角和的正切公式即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由指数函数的性质可知：
①是y=(12)x的部分图象；③是y=2x的部分图象；④是y=3x的部分图象；
所以只有②不是指数函数的图象．
故选：B．
根据指数函数的图象的特征即可得答案．
本题主要幂函数的图象，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=x2+1,x≥02x,x<0，f(a)=5，
∴当a≥0时，a2+1=5，求得a=2．
当a<0时，2a=5，求得a∈⌀．
综上可得，实数a=2．
故选：D．
由题意，利用分段函数的解析式，分类讨论，求出实数a的值．
本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵0∵0=lg0.211，
又∵c=8−13=12，
∴a故选：A．
利用对数函数的单调性求解．
本题主要考查了三个数比较大小，考查了对数函数的性质，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵f(x+1)是奇函数，
∴f(x)的图象关于(1,0)成中心对称，
又y=1x−1的图象也关于(1,0)成中心对称，
∵y=f(x)的图象与函数y=1x−1的交点为(x1,y1)(x2,y2)，…，(xm,ym)，
∴x1+xm=x2+xm−1=⋯=2，
∴x1+x2+⋯+xm=12×2m=m，
故选：C．
依题意，可得f(x)的图象与y=1x−1的图象均关于(1,0)成中心对称，从而可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：集合A={x∈R|x2−1=0}={−1,1}，
∴1∈A，0∉A，则B正确，A错误；
A∪{x∈R|x2+1=0}=A∪⌀=A，C正确；
A∩{x∈R|x≤1}={−1,1}=A，D正确．
故选：BCD．
根据元素与集合的关系判断A，B；根据集合间的运算判断C，D．
本题考查集合的运算，考查元素与集合的关系，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：因为1080°=3×360°，720°=2×360°，即1080°与720°的终边相同，A正确；
若α=2rad，则csα<0，B错误；
α=840°是第二象限角，则α2=420°不是第一象限角，C错误；
若扇形的半径为2，面积为π，则π=12l×2=l，即此扇形的弧长为π，D正确．
故选：AD．
结合角的概念及扇形的弧长及面积公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了角的概念的应用，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：函数f(x)=2x+3x−7显然在R上单调递增，最多有一个零点，
又∵f(1.422)<0，f(1.4375)>0，
∴函数的零点在区间(1.422,1.4375)内，即方程2x+3x−7=0有实数解，故B正确，
∴函数在区间(1.4065,1.422)内没有零点，即h<0，故A错误，
∵f(1.375)<0，f(1.4375)>0，
∴函数的零点在区间(1.375,1.4375)内，又∵1.4375−1.375=0.0625<0.1，
∴若精确度到0.1，则近似解可取为1.375，故C正确，
∵函数的零点在区间(1.422,1.4375)内，且1.4375−1.422=0.0155>0.01，
∴若精确度为0.01，则近似解不能取1.4375，故D错误．
故选：BC．
根据二分法逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了二分法的定义和应用，函数了函数与方程的数学思想，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：作出函数y=ex−1和函数y=−x2−4x−4的图象如图所示：
当m>0时，函数f(x)只有1个零点，
当−2当m≤−2时，函数f(x)只有1个零点，故选项A正确，B错误；
当m<−3时，因为每一段单增，且e−3−1>−32+12−4=−1，所以函数f(x)为增函数，故选项C正确；
当m=0时，f(t)=0，t1=−2，t2=0，当f(x)=t1=−2时，该方程有两个解，
当f(x)=t2=0时，该方程有两个解，所以方程f[f(x)]=0有4个不同的解，故选项D正确．
故选：ACD．
作出函数y=ex−1和函数y=−x2−4x−4的图象，观察图象逐项分析即可得出答案．
本题考查了分段函数的性质、分类讨论思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
13.【答案】∀x∈R，x2+x−1≥0
【解析】解：“∃x∈R，x2+x−1<0“的否定是：∀x∈R，x2+x−1≥0．
故答案为：∀x∈R，x2+x−1≥0．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
14.【答案】{m|m>2}
【解析】解：函数f(x)在R上单调递增，
若f(lg2m)>f(1)，则lg2m>1，
解得m>2．
故答案为：{m|m>2}．
由已知结合函数的单调性即可求解．
本题主要考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】14
【解析】解：设指数函数y=f(x)=ax(a>0且a≠1)，
幂函数y=g(x)=xα，
指数函数y=f(x)和幂函数y=g(x)的图象都过点P(12,2)，
则a12=2(12)α=2，解得a=4，α=−1，
故f(x)=4x，g(x)=x−1，
f(x1)=g(x2)=4，
则4x1=4x2−1=4，解得x1=1x2=14，
故x1x2=1×14=14．
故答案为：14．
先设出指数函数、幂函数，再将对应的点代入解析式，即可求解．
本题主要考查幂函数、指数函数的定义，属于基础题．
16.【答案】10sinθ π4
【解析】解：作OM⊥QP交QP于M，交AB于C，且OC⊥AB，
则∠AOC=θ，则AB=20sinθ，OC=10csθ．
设AQ=QP=BP=x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，
因为∠PBA=∠QAB=60°，所以AE=BF=12x，
CM=PF= 32x,EF=QP=x，所以AB=2x，
所以AB=20sinθ=2x，即x=10sinθ，
所以OM=OC+CM=10csθ+ 32x=10csθ+5 3sinθ，
所以OP2=OM2+MP2=(10csθ+5 3sinθ)2+(5sinθ)2
=100cs2θ+75sin2θ+100 3sinθcsθ+25sin2θ=100+50 3sin2θ，
因为sin2θ∈[−1,1]，所以当sin2θ=1，即θ=π4时，OP2最大．
故答案为：10sinθ；π4．
作OM⊥QP交QP于M，交AB于C，由垂径定理可得AB=20sinθ，OC=10csθ，再作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，设AQ=QP=BP=x，解三角形即可求出PQ=10sinθ；由勾股定理可求出OP2=OM2+MP2=100+50 3sin2θ，即可知θ=π4时，OP2最大．
本题考查了三角函数在实际生活中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：A={x|x2−7x+10<0}={x|2(1)故∁UA={x|x≥5或x≤2}；
(2)若A⊆B，则a+2≥5a−2≤2，解得3≤a≤4，
故实数a的取值范围为[3,4]．
【解析】(1)先求出集合A，然后结合集合的补集运算即可求解；
(2)由已知结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合的补集运算及集合包含关系的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)为奇函数．
证明：∵f(x)=xx2+1的定义域为R，
且f(−x)=−x(−x)2+1=−x1+x2=−f(x)，
∴f(x)为奇函数；
(2)y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递减．
证明：令1≤x1则x2−x1>0，x2x1−1>0，
∴f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1=(x2−x1)(x1x2−1)(1+x12)(1+x22)>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递减．
【解析】(1)f(x)为奇函数，利用奇函数的定义证明即可；
(2)y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递减，利用函数单调性的定义证明即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)角α是第二象限角，它的终边与单位圆交于点P(m,n)，
若n=35，则m=− 1−(35)2=−45，则tanα=nm=−34，
可得原式=2sin(π+α)+csαcs(π2+α)+2csα=−2sinα+csα−sinα+2csα=1−2tanα2−tanα=1011．
(2)由题意sinα>0，csα<0，又cs(α−π4)= 1010，
则sinα+csα= 55，①两边平方，可得1+2sinαcsα=15，∴2sinαcsα=−45，
∴sinα−csα= (sinα−csα)2= 1−2sinαcsα= 1−(−45)=3 55②，
联立①②，可得sinα=2 55，csα=− 55，∴m=csα=− 55．
【解析】(1)利用诱导公式，三角函数定义即可求值；(2)利用两角和差公式，同角关系即可求值．
本题考查诱导公式，三角函数定义，两角和差公式的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)当0当x≥50时，L(x)=600x−C(x)−2300=−2x−100002x−50+2200，
所以Lx=−10x2+400x−2300,0(2)当0所以当x=20时，L(x)max=1700，
当x≥50时，L(x)=−2x−100002x−50+2200
=−[(2x−50)+100002x−50]+2150
≤2150−2 (2x−50)⋅100002x−50
=2150−2×100=1950，
当且仅当2x−50=100002x−50，即x=75时取等号，此时取得最大值为1950，
综上，当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元．
【解析】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到分段函数的性质以及基本不等式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
(1)对0(2)根据分段函数的性质分别求出最大值，比较即可求解．
21.【答案】解：(1)f(x)=4csxsin(x+π3)− 3=4csx(12sinx+ 32csx)=sin2x+ 3cs2x=2sin(2x+π3)，
故函数f(x)的最小正周期为2π2=π，
令π2+2kπ≤2x+π3≤2kπ+3π2，(k∈Z)，整理得π12+kπ≤x≤kπ+7π12，(k∈Z)，
故函数的单调递减区间为[π12+kπ,kπ+7π12]，(k∈Z)．
(2)g(x)=f(x+π12)+4csx−1=2sin(2x+π2)+4csx−1=4cs2x+4csx−3，
由于x∈[−π6,5π6]，
故csx∈[− 32,1]，
设csx=t，当t=−12时，函数取得最小值为−4，
当t=1时，函数取得最大值为5．
【解析】(1)首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出最小正周期和单调递减区间；
(2)利用关系式的变换和换元法的应用求出最大值和最小值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，换元法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)在R上是奇函数，当x<0时，f(x)=x,−1所以f(−1)=−f(1)，即−a=−e，解得a=e；
(2)当0又因为f(x)是奇函数，所以f(x)=x；
当x≥1时，−x≤−1，f(−x)=−ex，
又因为f(x)是奇函数，则f(x)=ex，
因为f(x)是定义R上的奇函数，则f(0)=0，
所以f(x)=x,0≤x<1ex,x≥1；
(3)若0≤x1所以x1f(x2)=x1x2=ex12∈(0,1e)；
若0≤x1<1≤x2，则由f(x2)=ef(x1)，得ex2=ex1，而ex2≥e，ex1所以等式不成立．
若1≤x1所以x1f(x2)=x1ex2=x1ex1+1≥e2，
综上，x1f(x2)的取值范围是(0,1e)∪[e2，+∞)．
【解析】(1)根据奇函数的定义与性质列方程求出a的值；
(2)根据奇函数的性质求出0(3)由函数解析式，根据x的范围分类讨论，分别得出x1x2的关系，把x1⋅f(x2)化为x1的函数，从而得出取值范围．
本题考查了函数的奇偶性应用问题，也考查了函数值的取值范围问题，是难题．x
1.25
1.375
1.40625
1.422
1.4375
1.5
f(x)
−0.87
−0.26
h
−0.05
0.02
0.33

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