2023-2024学年黑龙江省伊春一中高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省伊春一中高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.与−37°角终边相同的角是( )
A. 37°B. 367°C. −323°D. −397°
2.已知集合A={x∈Z|x2−x−2≤0}，则集合A的非空真子集的个数为( )
A. 6B. 7C. 14D. 15
3.“x>y”是“x3−y>x2y−x”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.要得到函数f(x)=sin(2x−π6)的图象，可以将函数g(x)=cs(2x−π3)的图象( )
A. 向右平移π6个单位长度B. 向左平移π6个单位长度
C. 向右平移π3个单位长度D. 向左平移π3个单位长度
5.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为89cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为( )
A. 22cmB. 26cmC. 28cmD. 30cm
6.2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N=N0(12)t5730(N0表示碳14原有的质量).经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的516，据此推测该石制品生产的时间距今约(参考数据：ln2≈0.69，ln5≈1.61)( )
A. 9560年B. 9550年C. 8370年D. 8230年
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=lg2x+2x−5，则不等式(x−1)f(x)>0的解集为( )
A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−2,0)∪(2,+∞)
C. (−2,0)∪(0,1)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,1)∪(2,+∞)
8.已知4−a=2a，b=lg95+lg23，5a+12a=13c，则( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. a>c>b
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，同时满足①在(0,π4)上是增函数；②为奇函数；③最小正周期为π的是( )
A. y=sin2xB. y=cs2xC. y=tanxD. y=tan2x
10.已知m>0，n>0，m+n=mn，则( )
A. m≥2B. mn≥4C. m+n≥4D. 2m+n≥6
11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ| 2恒成立
12.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)=2−x−1,x≤0f(x−1)−f(x−2),x>0，则下列结论中正确的是( )
A. f(0)=0B. x>0时，f(x+6)=f(x)
C. f(2023)+f(2024)=0D. f(x)在[−2024,2024]上有675个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知α∈{−2,−1,−12,12,1,2}，若幂函数f(x)=xα为偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则α的取值集合是______ ．
14.若函数f(x)=lga(ax−2)(a>0且a≠1)在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是______ ．
15.已知α∈(0,π2)，且tan(π4+α)=32cs2α，则sin2α= ______ ．
16.已知函数f(x)=sinπx,x∈[−4,4]lg2024(x−3),x∈(4,+∞)，若满足f(x1)=f(x2)=…=f(x9)(x1,x2,…,x9互不相等)，则x1+x2+…+x9的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知角α的终边过点P(1,m)，且sinα=2 55．
(1)求tanα的值；
(2)若tan(α−β)=−1，求tan2β的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=lgax+b(a>0且a≠1)的图象经过点(2,0)和(12,−2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若[f(x)]2−2f(x)−3=0，求实数x的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(π2−x2)cs(3π2−x2)−2 3sin2x2+ 3．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[0,π]上的单调性及最值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2+3x+2(a0的解集为(b,2)，求a，b的值；
(2)当x∈[−2,0]时，f(2x)≤−4x+1−2x+3恒成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
对于定义域为D的函数f(x)，如果存在区间[a,b]⊆D，使得f(x)在区间[a,b]上是单调函数，且函数y=f(x)，x∈[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]是函数y=f(x)的一个“保值区间”．
(1)判断函数y=(x−2)2−4(x∈[2,+∞))和函数y=6−8x(x>0)是否存在“保值区间”，如果存在，写出符合条件的一个“保值区间”(直接写出结论，不要求证明)；
(2)如果[a,b]是函数f(x)=m+2m−4m2x(m≠0)的一个“保值区间”，求b−a的最大值．
22.(本小题12分)
已知点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))是函数f(x)= 2sin(ωx+φ)(ω>0,−π20，即x3−y>x2y−x成立，
反之，由x3−y>x2y−x>0，即(x2+1)(x−y)>0，也可以得到x>y．
因此，“x>y”是“x3−y>x2y−x”的充要条件．
故选：C．
根据题意，利用不等式的性质，结合充要条件的定义进行正反论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的性质、充要条件的定义等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：要得到函数f(x)=sin(2x−π6)的图象，可以将函数g(x)=cs(2x−π3)的图象向右平移π6个单位，即y=cs(2x−2π3)=cs(2x−π2−π6)=sin(2x−π6)的图象．
故选：A．
直接利用三角函数的诱导公式和函数的图象的平移变换求出结果．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：如图，设弧AB的长为acm，弧CD的长为bcm．
因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5，所以a=2.5OA，b=2.5OC，
即OA=a2.5，OC=b2.5，因为AC=OA−OC=a−b2.5=18，
所以a−b=45.又因为a+b=89，联立可得a−b=45a+b=89，解得a=67b=22，
所以该扇环的内弧长为22cm．
故选：A．
设弧AB的长为acm，弧CD的长为bcm，根据弧长公式结合已知可推得a−b=45.结合已知条件得出方程组，求解即可得出答案．
本题考查弧长公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意，N0(12)t5730=516N0，即(12)t5730=516，
所以t5730ln12=ln516，
所以t=5730ln516ln12=5730(ln5−4ln2)−ln2=5730×(4−ln5ln2)≈9550．
故选：B．
由题意得N0(12)t5730=516N0，再结合指对互化的知识以及对数的运算性质可得答案．
本题考查了指数函数模型的应用，指数式与对数式的互化，对数的运算性质的应用，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：当x>0时，f(x)=lg2x+2x−5单调递增，又f(2)=1+4−5=0，
故当x∈(0,2)时，f(x)0，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x∈(−2,0)时，f(x)>0，
当x∈(−∞,−2)时，f(x)1，(x−1)f(x)>0.故f(x)>0，解集为(2,+∞)；
若x0，故f(x)0时f(x)=lg2x+2x−5单调递增，且f(2)=0，则x∈(0,2)时，f(x)0，再结合奇偶性即可得x∈(−2,0)时，f(x)>0，
x∈(−∞,−2)时，f(x)1和x0，f(2)2；
由5a+12a=13c，得(513)a+(1213)a=13c−a，而函数y=(513)x+(1213)x在R上单调递减，
则13c−a=(513)a+(1213)a>(513)2+(1213)2=1，因此c−a>0，即c>a，
又12sinπ4= 2，故D正确．
故选：ABD．
根据图像可得f(0)=2sinφ=1，f(3π2)=2sin(3ωπ2+π6)=−1，求出函数解析式，然后利用周期函数的定义，判断A；
利用代入法，结合三角函数的图象和性质，判断BC；
根据f(x)的最小值，结合不等式的性质，判断D．
本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对A，f(0)=20−1=0，A正确；
对B，当x>0时，f(x)=f(x−1)−f(x−2)，即f(x+2)=f(x+1)−f(x)，
则f(x+3)=f(x+2)−f(x+1)，即得f(x+3)=−f(x)，则f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，B正确；
对C，f(2023)=f(337×6+1)=f(1)=f(0)−f(−1)=0−1=−1，
f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=f(1)−f(0)=−1，C错误；
对D，当x0，此时函数无零点；
由于f(0)=0，则f(6)=f(5)−f(4)=f(4)−f(3)−f(4)=−f(3)=f(0)=0，故f(3)=0，
则f(0)=f(3)=f(6)=f(9)=f(12)=⋯=f(2022)=0，由于2022=3×674，
故f(x)在[−2024,2024]上有675个零点，D正确．
故选：ABD．
直接将x=0代入即可求得f(0)，则A可判断；利用递推关系即可求得f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，则B可判断；由B选项的结论可得f(2023)=f(337×6+1)，f(2024)=f(337×6+2)，再结合分段函数解析式，即可判断C；当x0，此时函数无零点；由于f(0)=0，结合B选项的结论，可得f(x)在[−2024,2024]上的零点个数．
本题考查函数的零点的计算，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】{−2}
【解析】解：因为幂函数f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减，所以α0且a≠1，则t=ax−2在[1,2]上单调递增，
若函数f(x)=lga(ax−2)(a>0且a≠1)在[1,2]上单调递增，
必有a>1a−2>0，解可得a>2，即a的取值范围为(2,+∞)．
故答案为：(2,+∞)．
根据题意，设t=ax−2，则y=lgat，分析t=ax−2的单调性，结合复合函数单调性的判断方法可得a>1a−2>0，解可得答案．
本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
15.【答案】13
【解析】解；由tan(π4+α)=32cs2α，
可得sin(π4+α)cs(π4+α)=32cs2α=32sin(π2+2α)，
即sin(π4+α)cs(π4+α)=3sin(π4+α)cs(π4+α)．
由于α∈(0,π2)，故π4+α∈(π4,3π4)，则sin(π4+α)≠0，
所以有1cs(π4+α)=3cs(π4+α)，则cs2(π4+α)=13，
所以有1+cs(π2+2α)2=1−sin2α2=13，解得sin2α=13．
故答案为：13．
根据已知切化弦结合二倍角公式化简，再根据角的范围得出sin(π4+α)≠0，整理推得1−sin2α2=13，求解即可得出答案．
本题考查两角和差公式，属于中档题．
16.【答案】[0,2023)
【解析】解：根据题意，作出函数f(x)=sinπx,x∈[−4,4]lg2024(x−3),x∈(4,+∞)图象，
不妨设x1